灰色-馬爾可夫模型在遂寧地區(qū)降水量中的應用1

1、灰色馬爾可夫模型在遂寧地區(qū)降水量中的應用陸鴻彬游泳（遂寧氣象局，四川遂寧，629000 ）摘要：本文根據(jù)遂寧地區(qū)1961-2000 年的降水量資料，通過年降水量與灰色預測結論的比較進行分級建立降水序列的分級標準， 采用規(guī)范化的各階自相關系數(shù)為權重， 通過狀態(tài)轉移概率矩陣預測未來時段的降水狀態(tài)， 并應用級別特征值計算具體的降水量。 通過建立的馬爾科夫模型對遂寧地區(qū) 2001-2011 年降水量進行預測和檢驗， 準確率較高， 能夠較好地滿足中長期降水預報的誤差要求。該方法客觀、準確、可靠、簡便，為遂寧區(qū)中長期降水的預測提供了新的解決途徑。關鍵詞：灰色預測；加權馬爾科夫鏈；年降水量；預測引言降水量是

2、影響區(qū)域氣候的重要氣象因子，與蒸發(fā)量、地表返照率、積雪量等各種氣象要素密切相關，同時也對人類生產生活活動有重要影響。在氣象學、水文學中， 降水量預測都是一項重要的研究工作。由于氣象系統(tǒng)的復雜性、多樣性，使得降水過程具有不確定性、較難精確預測的特點，尤其是對于較長時間段內的降水量的預測，更難以通過物理成因的分析來準確預測該時段內的降水量值。鑒于此，本文引入了灰色- 馬爾科夫鏈模型，以遂寧地區(qū)1961-2010年的全年降水量資料為例，探討了灰色- 馬爾科夫鏈模型在遂寧地區(qū)年降水量預測中的應用。2 、物理機制2.1 GM( 1 ,1)模型建模機理灰色系統(tǒng)是既含有已知的、又含有未知的或非確定的信息系統(tǒng)

3、。對灰色系統(tǒng)進行預測的方法即為灰色預測法?；疑到y(tǒng)理論是從信息的非完備性出發(fā)研究和處理復雜系統(tǒng)的理論，它不是從系統(tǒng)內部特殊的規(guī)律出發(fā)去研究系統(tǒng)，而是通過對系統(tǒng)某一層次的觀測資料加以數(shù)學處理， 達到在更高層次上了解系統(tǒng)內部變化趨勢、相互關系等機制的?；疑A測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相依程度，即進行關聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律， 生成有較強規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應的微分方程模型，從而預測事物未來發(fā)展的趨勢。2.2馬爾科夫鏈馬爾科夫過程一種典型的隨機過程。該過程是研究一個系統(tǒng)的狀況及其轉移的理論。它是通過對不同狀態(tài)的初始概率以及狀態(tài)之間的轉移概率的研究，來確定狀

4、態(tài)的變化趨勢，從而達到對未來進行預測的目的。馬爾科夫過程有兩個基本特征：一是 “無后效性”， 即事物將來的狀態(tài)及其出現(xiàn)的概率的大小，只取決于該事物現(xiàn)在所處的狀態(tài)，而與以前時間的狀態(tài)無關；二是“遍歷性”，是指不管事物現(xiàn)在出于什么狀態(tài)，在較長時間內， 馬爾科夫過程逐漸趨于穩(wěn)定狀況，而且與初始狀況無關。用數(shù)學語言描述馬爾科夫過程就是：設 X ( t), tT為隨機過程，若在t1, t2 , tn 1, tn (t1t2tn 1tnT )時刻對X (t)觀測得到相應的觀測值x1 , x2 , xn1 , xn滿足條件P X ( t n )x n X ( t n 1 )x n 1 , X ( t n 2

5、 )x n 2 , X ( t 1 )x 1P X ( t n )x n X ( t n 1 )x n 1或F Xxn ; t n x n 1 , x n 2 , x 2 , x1 ; t n 1 , t n 2 , t 2 , t1F Xx n ; t n x n 1 ; t n 1則稱此類過程為具有馬爾科夫性質的過程或馬爾科夫過程，簡稱馬氏過程。其中FX xn ;tn xn 1, xn 2 , x2, x1 ;tn 1 ,t n 2, t2, t1代表在 X (tn 1 )xn1, X (tn 2 ) xn 2 , X ( t1 )x1 的條件下時刻X (tn ) 取 xn 值得條件分布函

6、數(shù)。若把 tn 1時刻看成“現(xiàn)在” ，因為 t1t2tn 1 tn則 tn 就可以看成“將來”，t1, t2 , , tn 2 就當做“過去” 。因此上述定義可表述為現(xiàn)在的狀態(tài)X (tn 1 ) 取值為 xn 1 的條件下，將來狀態(tài)X (t) 的取值于過去狀態(tài)X (t ), X (t), X ( tn2) 的取值是無關的。n122.3加權馬爾科夫鏈預測模型的方法和步驟計算年降水量誤差序列的各階自相關系數(shù)n kn k( xt x)2rk(xt x)( xt k x) /t 1t 1rk 表示第 k 階自相關系數(shù)，表示第 t年的年降水量，表示近 51年北京市年降水量的平均值， n 為年降水量序列的

7、長度。規(guī)范化各階自相關系數(shù)，即：wk 為各種滯時的馬爾科夫鏈的權。mwkrk/rk(m5)k 1以前面的 m個時段的狀態(tài)為初始狀態(tài)，轉移步數(shù)為 1，2，?m。結合相應的狀態(tài)概率矩陣所對應的行向量，組成一個新的概率矩陣。將同一個狀態(tài)的m項預測概率與所對應的加權相乘之m后求和，即： piwk pi (k )k 1max( pi ， i E)所對應的狀態(tài)即為該時段指標值的預測狀態(tài)。3、實例分析遂寧市地處四川盆地中部丘陵區(qū)，位于涪江中游，是典型的農業(yè)區(qū)，屬四川盆地亞熱帶濕潤季風氣候區(qū)，氣候溫和，季風氣候顯著，具有冬暖春旱、夏熱秋涼的特征。雨量較為充沛，但分布不均，年季變幅大； 410 月為雨季，降雨量

8、占全年雨量的 89%左右；盛夏（ 78 月）易產生局地對流性天氣，降雨最為集中，常有暴雨洪澇災害；因其地形地勢、氣候變化和區(qū)域環(huán)流等的共同作用，也常造成春旱、夏旱、伏旱和冬干發(fā)生，其干旱具有種類齊全、發(fā)生頻繁、危害面積廣、損失程度重、季節(jié)性強等特點。由于降水時間分布極為不均，極端事件頻發(fā)， 給社會經(jīng)濟發(fā)展和糧食農作物的生產造成嚴重損失，因此深入分析遂寧地區(qū)近幾十年來的降水特征、變化規(guī)律， 對該地區(qū)短期氣候預測和保障農業(yè)持續(xù)穩(wěn)定增長具有重要意義。3.1灰色預測選 取1961-2011 年遂寧市年降水量的數(shù)據(jù)作為預測的原始時間序列，記為X (0)( x(0) (1),x(2)(2), , x(0)

9、 (51) ，其中x(0) (k) 表示第 1960 k 年的遂寧年降水量，k 1,2,51 。表 1 19612010 年遂寧市年降水量（單位：毫米）年份原始值年份原始值年份原始值年份原始值年份原始值1961891.51971753.719811191.7199110062001877.819621092.91972771.419821146.71992975.120021097.51963935.319731186.71983889.419931215.120031072.11964925.619741096.419841064.91994722.12004837.419651313.61

10、975964.519851195.91995602.920051058.91966741.51976735.31986833.81996648.52006549.81967790.91977907.11987929.81997610.42007933.71968909.51978832.21988954.919981037.820088591969857.919791013.61989913.21999892.320099901970959.91980997.61980866.72000871.920101146.9為了消除序列的隨機性，對原始序列進行一次累加，得到累加生成列X (1) ，如圖

11、 1所示。從圖中能明顯看出序列X (1) 的平滑的指數(shù)增長形式。圖 1年降水量累加為此，利用上述灰色預測法，作序列X (1) 的預測模型。計算過程通過在MATLAB軟件中進行。圖 2 年降水量實際值與灰色預測值對比從圖2 中可以看出，灰色預測的結果恰當?shù)姆从沉怂鞂幠杲邓康拈L期趨勢。在進行模型的殘差檢驗時， 模型的相對殘差序列中有較大的數(shù)，導致相對誤差較大的原因是由于指標的上下波動， 而不是預測值與實際值曲線的嚴重偏離，基于此， 不采用灰色預測法進行模型修正， 因為灰色預測得到的殘差已經(jīng)不是一組符號相同的數(shù)，根據(jù)灰色預測的原理， 這樣的修正已經(jīng)沒有什么意義了。因此本文根據(jù)年降水量波動的特點，采

12、用馬爾科夫法進行模型修正。3.2 利用馬爾科夫狀態(tài)轉移矩陣修正遂寧年降水量預測值從圖 2中可以獲得，灰色模型預測得到的預測結果呈現(xiàn)遞減的指數(shù)分布，恰當?shù)姆从沉藢嶋H值的長期趨勢， 但沒有反映出實際值本應出現(xiàn)的波動情況。此問題可以通過對灰色預測模型的結果進行馬爾科夫鏈改進來提高其預測的準確性。馬爾科夫鏈過程是以其發(fā)現(xiàn)者俄國著名的數(shù)學家馬爾科夫命名的，其目的是根據(jù)某些變量的現(xiàn)在狀態(tài)及其變化趨向，來預測它在未來某一特定期間可能出現(xiàn)的狀態(tài)，從而提供某種決策的依據(jù)。在本文中，將利用長度為40年的降水時間序列對年降水量進行預測，并與實際觀測值進行對比，評估加權馬爾科夫鏈模型對遂寧地區(qū)降水量的預測效果。首先，

13、本文以19612000年遂寧年降水量序列來預測2001年的年降水量，并與 2001年的年降水量實際觀測值進行對比。經(jīng)計算，遂寧 19612000年年降水量的均值為932.6mm，均方差為 166.3mm，為了獲得狀態(tài)轉移矩陣， 首先需要確定遂寧年降水量的狀態(tài)。根據(jù)馬爾科夫鏈分析方法的應用經(jīng)驗和實際情況，按照年降水量與灰色預測結論的比較，可以劃分為5種狀態(tài)，詳細情況列表如表 2：表2遂寧年降水量狀態(tài)劃分狀態(tài)狀態(tài)特點狀態(tài)區(qū)間包括年份年份總數(shù)名稱X?196619711976F 1旱X1994199519968年20%X1997 2006?196119671969F 2偏旱20%X X5%1972 1

14、978 19839年X1986 1990 2004F3正常F4偏澇?XX5%5%X?XX5%20% X1963 196419681970 197519771987 1988198915年1999 200020012007 2008201119621974197919801984199112年19921998200220032005 2009196519731981F 5澇?XXX20%19821985 19937年2010注：表中?X 表示實際年降水量均值。X 表示實際年降水量， X 表示灰色預測值，在進行降水量的預測時，主要考慮利用步長為15 的概率轉移矩陣進行計算。轉移矩陣 P(k)的第

15、i 行第 j 列元素表示由狀態(tài) i 經(jīng) k 步轉移至狀態(tài) j 的概率。統(tǒng)計得到步長為15 的各概率轉移矩陣。3.3對 2001 年遂寧年降水量預測和檢驗19962000 年分別經(jīng)過 51 步（年） 狀態(tài)轉移即到達 2001 年，為了求得 2001 年的年降水量預測值，可根據(jù) 19962000 年降水量所處狀態(tài)。根據(jù)公式，可以得到自相關系數(shù)， r1=0.1962 ，r2=-0.0386 ，r3=-0.0145. ，r4=-0.106. ，r5=0.0141 ，從而得到權重， w1=0.5311 ，w2=0.1045， w3=0.0392 ， w4=0.2871 ，w5=0.0381 。據(jù) 199

16、6-2000 年降水量及其相應的狀態(tài)轉移概率矩陣對 2001 年的降水量狀態(tài)及其降水量進預測。計算結果見表3。表 32001年加權馬爾科夫預測結果初始年滯時權重12345200010.53110.09660.14480.193100.0483199920.10450.00950.01900.02850.01900.0095199830.03920.00980.00490.009800.0098199740.2871000.16400.08200199650.03810.010900.010900.0054pi加權求和0.12680.16870.40640.10100.0730由表 3可知：當

17、i=3 時， pi=0.4064 為最大值，這說明2001年的降水量狀態(tài)為 3（正常），即降水量區(qū)間為 868.4,959.8，而 2001年實況降水量為877.8mm。當 =1.15 時，級別特征值為2.901 ，可以求出預測降水量為877.5mm，誤差為 0.04%。3.3 2001年到 2011年遂寧年降水量預測和檢驗表420012011年降水量預測值與實際觀測值對比表（單位：mm）年份馬爾科夫預測值實況值誤差 (%)2001年877.5877.8-0.042002 年910.11097.5-17.12003 年966.91072.1-9.82004 年971.6837.4162005

18、年971.91058.9-8.22006 年851.2549.854.82007 年844.3933.7-9.62008 年888.98593.52009 年889.1990-102010 年983.01146.9-14.32011 年833.9892.4-6.6分析表 4中的數(shù)據(jù)可知，若將預測值與觀測值的誤差控制在15%以內的預測認為是“有效預測” ，則對于遂寧地區(qū)20012011 年降水量的預測的有效率為81.8%，其中預測誤差在10%以內的年份占 63.6%。預測誤差較大的3 年分別為 2002、 2004 和 2006 年，尤其是誤差較大的2006 年是遂寧出現(xiàn)罕見高溫伏旱天氣，但仍預

19、報出偏旱狀況。預測起始年份狀態(tài)以及各類狀態(tài)間轉移的概率， 若待預測年份降水量為大旱或大澇， 則模型預測將可能會有較大誤差。但同時由于馬爾科夫鏈具有很強的 “自我調整能力” ，故其中某年的預測誤差偏大并不會影響到后續(xù)年份的預測。4 結語降水量的預測在氣候預測中占有重要地位，但是中長期的降水量預測仍然是當前氣候預測中的難題。 本文利用灰色 - 馬爾科夫鏈模型和遂寧地區(qū)50 年的年降水量資料， 對 20012011十一年的年降水量進行了預測并與實際觀測值進行對比，可得到以下結論：1）灰色模型預測得到的預測結果呈現(xiàn)遞減的指數(shù)分布，恰當?shù)姆从沉藢嶋H值的長期趨勢，但沒有反映出實際值本應出現(xiàn)的波動情況。2）

20、 利用年降水量與灰色預測結論的比較分級法對年降水量進行分級， 并確定各年降水量的狀態(tài)，較好把遂寧年降水量分為 5級；3）馬爾科夫鏈模型預測以各種步長的概率轉移矩陣為依據(jù)，用各種步長的馬爾可夫鏈加權來預測降水量狀態(tài)；4 ）馬爾科夫鏈模型預測能較好的預測年降水量，以遂寧11年時間長度的降水量預測為例，預測誤差在 15%以內的年份占 81.8%；5） 對于大旱或大澇年份降水量的預測，馬爾科夫鏈模型存在著預測誤差偏大的缺陷，需要在后續(xù)研究中進一步調整模型預測方法，以期得到更好的預測效果。參考文獻： 張曙紅等 . 灰色馬爾科夫 SCGM(1,1)預測模型 J. 佛山科學技術學院學報：自然科學版， 200

21、4，3（ 1） :16-19.孫才志 , 張戈 , 林學鈺 . 加權馬爾可夫模型在降水豐枯狀況預測中的應用J. 系統(tǒng)工程理論與實踐 , 2003, (4): 100-105.馬占青 , 徐明仙 , 俞衛(wèi)陽等 . 年降水量統(tǒng)計馬爾科夫預測模型及其應用 J. 自然資源學報, 2010, 25(6): 1033-1041.5權馬爾科夫鏈在北京市年降水量預科協(xié)論壇 2010年第 1期（下）作者簡介陸鴻彬出生1980年3月 29日現(xiàn)在遂寧市氣象局從事天氣預報與服務工作，氣象臺副臺長、 工程師，地址遂寧市明月路557號，郵編 629000，電話， E-mail ：出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分， 益州疲弊， 此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內，忠志之士忘身于外者