《線性代數(shù)及其應(yīng)用》第一章Ch1.5

1、線性代數(shù)及其應(yīng)用線性方程組的解集Slide 1.5- 2齊次線性方程組線性方程組稱為齊次的，若它可以寫為 的形式，其中A是 矩陣而0是 中的零向量。 這樣的方程組 至少有一個(gè)解，即 ， ( 中的零向量)。零解通常稱為平凡解。齊次線性方程組 有非平凡解，當(dāng)且僅當(dāng)方程至少有一個(gè)自由變量。Slide 1.5- 3齊次線性方程組例 1: 確定下列齊次線性方程組是否有非平凡解，并描述它的解集。解: 設(shè) A 為該方程組的系數(shù)矩陣，用行化簡(jiǎn)法將增廣矩陣 化為階梯形。Slide 1.5- 4齊次線性方程組因 x3 是自由變量， 有非平凡解 (對(duì)x3 的每一個(gè)值都有一個(gè)解)。繼續(xù)將 化為簡(jiǎn)化行階梯形：Slide

2、 1.5- 5齊次線性方程組求解基本變量 x1 和 x2 得到： ， ，其中x3 是自由變量。 的通解寫成向量形式如下： , 其中 。 Slide 1.5- 6齊次線性方程組這里 x3 由通解向量的表達(dá)式中作為公因子提出來。這說明 的每一個(gè)解都是v的倍數(shù)。平凡解可由 得到。幾何意義下，解集是 中通過0點(diǎn)的一條直線。Slide 1.5- 7參數(shù)向量形式形如 (s, t 為實(shí)數(shù))的方程稱為平面的參數(shù)向量方程。在例1中, 方程 (x3 是自由變量), 或 (其中 t 為實(shí)數(shù) ), 是直線的參數(shù)方程。當(dāng)解集用向量顯示表示為如例1時(shí)，我們稱之為解的參數(shù)向量形式。Slide 1.5- 8非齊次線性方程組的

3、解當(dāng)非齊次線性方程組有無窮多解時(shí)，可表示為參數(shù)向量形式，即由一個(gè)向量加上滿足對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一些向量的任意線性組合的形式。例 2: 描述 的解，其中 ，和 。Slide 1.5- 9非齊次線性方程組的解解: 對(duì) 做行變換得 , .所以 , , x3 是自由變量。Slide 1.5- 10非齊次線性方程組的解 的通解寫成向量形式如下：pvSlide 1.5- 11非齊次線性方程組的解方程 , 或用t 表示一般的參數(shù) (t 為實(shí)數(shù)) -(1) 就是用參數(shù)向量形式表示了 的解集。方程 的解集有參數(shù)向量形式 (t 為實(shí)數(shù) ) -(2)(v與（1）中的v相同)。所以 的解可以由向量p加上 的解來得

4、到。Slide 1.5- 12非齊次線性方程組的解向量p 本身剛好是 的一個(gè)特解（對(duì)應(yīng)(1)中 ）。為了從幾何上描述 的解集，我們可以把向量加法解釋為平移。給定 或 中的 v 和 p ，把p加上v的結(jié)果就是把v沿著通過p和0直線的平行方向移動(dòng)。 Slide 1.5- 13非齊次線性方程組的解我們稱v 被平移p到 , 如下圖。若 或 中的直線L上的每一點(diǎn)被平移p，就得到一條平行于L的直線，如下圖。Slide 1.5- 14非齊次線性方程組的解設(shè)L 是通過0 和 v 的直線, 由方程(2)表示。L 的每個(gè)點(diǎn)加上 p 得到由方程(1) 表示的平移后的直線。我們稱(1)為通過 p 平行于 v的直線方程。所以 的解集是一條通過 p 而平行于 的直線，下一頁的圖形說明了這一結(jié)論。Slide 1.5- 15非齊次線性方程組的解圖中 和 的解集之間的關(guān)系可以推廣到任意相容的方程 ，雖然當(dāng)自由變量有多個(gè)時(shí)，解集將多于一條直線。下面的定理給出了這一結(jié)論。 Slide 1.5- 16非齊次線性方程組的解定理6: 設(shè)方程 對(duì)某個(gè)b 是相容的，p是一個(gè)特解，則 的解集是所有形如 的向量集，其中 是齊次方程 的任意一個(gè)解。定理6說明，若 有解，則解集可由 的解平移向量p 得到，p是 的任意一個(gè)特解。Slide 1.5- 17把相容方程組的解集表示成參數(shù)向量形式將增廣矩陣行化簡(jiǎn)為簡(jiǎn)化階梯形。把