概率統(tǒng)計(jì)2.2離散型隨機(jī)變量的概率分布(分布律)課件

1、 第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量定義離散型隨機(jī)變量分布律幾種常見分布2022/10/4一.離散型隨機(jī)變量的分布律引例如圖中所示，從中任取 3 個(gè)球取到的白球數(shù) X 是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2取每個(gè)值的概率為：且：2022/10/4設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 所有可能取的值為 的概率為:則 稱為離散型 隨機(jī)變量X 的 概率分布 或 分布律.注: 分布律可以列表給出1.定義:其各個(gè)可能取值即事件2022/10/42. 性 質(zhì)用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是概率函數(shù)注 一般：求分布律時(shí)需驗(yàn)證這兩條性質(zhì)。若成 立則稱得上是分布律，否則說明分布律求錯(cuò). 具有離散型隨機(jī)變量才具有分布律

2、2022/10/4 X 的可能取值: 0, 1, 2. X 的各種可能取值的概率如下:解:設(shè)在15只同類型的零件中有兩只次品，現(xiàn)從中 抽取3只，以 X 表示取出3只中所含次品的個(gè)數(shù).求:X的分布律.例1.2022/10/4 某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求：他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù) X 的概率分布. X 可能取值為 0、1、2 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1從中抽取3只，求次品數(shù)不大于1只的概率有多大？思考題：答案：

3、例2.解：則：故得其分布律為：2022/10/4 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等. 以 X 表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)，求：X 的概率分布. 依題意, X 可取值 0, 1, 2, 3例3.解:Ai=第i個(gè)路口遇紅燈, i=1,2,3設(shè)路口3路口2路口1 則：P(X=0)=P(A1)=1/22022/10/4X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)Ai=第i個(gè)路口遇紅燈, i=1,2,3設(shè)路口1路口2路口3=1/8P(X=3)= P于是得其分布律為：顯 然，2022/10

4、/4 某加油站替公共汽車站代營(yíng)出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租公司得到 3元. 因代營(yíng)業(yè)務(wù)，每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi) 60元. 設(shè)每天出租汽車數(shù) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布如下： 求: 因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外 支出費(fèi)用的概率.例4.2022/10/4加油站代營(yíng)每出租一輛車，可得3元.若設(shè)每天出租汽車數(shù)為X，則因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入為 3X 元. 每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元， 即當(dāng)天的額外支出費(fèi)用. 因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外 支出費(fèi)用的概率為：P3X60即 : PX20分析：2022/10/4二. 幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布1.(0 1)分布若隨機(jī)

5、變量X只能取 0 與 1 兩個(gè)值,它的分布律為:則稱 X 服從 (0-1)分布，記為：列表:2022/10/4 它只發(fā)一彈，要么打中，要么打不 中，分別記為 1與 0分布律為：( 01 )分布的應(yīng)用很廣，比如:檢查產(chǎn)品的質(zhì)量(正品與次品)有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄券是否中獎(jiǎng)(中與不中)對(duì)嬰兒性別進(jìn)行登記(男與女)高射炮射擊敵機(jī)是否擊中等等.某次射擊,已知某射手的命中率為0.8.求:射擊一次命中目標(biāo)次數(shù)X的分布律.例4.解:注:2022/10/4設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) E 只有兩種可能的結(jié)果 則稱這樣的 n 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)概型 為：n 重貝努利概型. 設(shè)生男孩的概率為 p，生女孩的概率為 q=1-p，令 X 表示隨機(jī)抽查出生

6、的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù).求： X 的概率分布.貝努利概型:且在每次試驗(yàn)中 出現(xiàn)的概率為：例5. 2022/10/4X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為 p.男女X=0X =1X =2X =3X =4X的概率函數(shù)是：X可取值 0, 1, 2, 3, 4.2022/10/4將一枚均勻骰子拋擲 3 次，令:X 表示 3 次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)求: X的概率函數(shù)X的概率函數(shù)是：例6.解:顯然，2022/10/4 設(shè)一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為則在 n 次貝努利試驗(yàn)中事件A 恰發(fā)生 k 次概率為:按獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式可知，n 次試驗(yàn)中事件A 在某 k 次 ( 例如前 k 次) 發(fā)

7、生而其余 n-k 次不發(fā)生的概率應(yīng)為: 定 理證明:2022/10/4而且它們是相互獨(dú)立的，故在 n 次試驗(yàn)中A發(fā)生 k 次的概率 ( 依概率的加法定理) 為:概率 就等于二項(xiàng)式 的展開式中 的系數(shù)，這也是二項(xiàng)分布的名稱的由來. 由于現(xiàn)在只考慮事件A 在n 次試驗(yàn)中發(fā)生 k 次而不論在哪 k 次發(fā)生,所以它應(yīng)有 種不同的發(fā)生方式.注顯然它滿足：2022/10/4設(shè)某炮手射擊的命中率為 0.8，為炸毀某個(gè)目標(biāo)， 經(jīng)預(yù)測(cè)只要命中兩發(fā)就夠炸毀.問:希望發(fā)射5發(fā)炮彈就能炸毀目標(biāo)的可能性有多大?A : 發(fā)射 5 發(fā)炮彈就炸毀了目標(biāo)例7.解:（恰好中兩發(fā)）=（至少中兩發(fā)）（恰好中三發(fā)）+（恰好中四發(fā)）+（

8、恰好中五發(fā)）+2022/10/4 對(duì)于固定n 及 p，當(dāng) k 增加時(shí) ，概率P(X=k) 先是隨之增加直至達(dá)到最大值，隨后單調(diào)減少.n=10,p=0.7nPk注特別當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布即為 ( 0-1 ) 分布二項(xiàng)分布 的圖形特點(diǎn)：XB(n,p)2022/10/4n=13,p=0.5Pkn0當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí) 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1處達(dá)到最大值.當(dāng) (n+1)p 不為整數(shù)時(shí)，概率 P(X=k) 在 k=(n+1)p 達(dá)到最大值其中：x 表示不超過 x 的最大整數(shù)2022/10/4若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各次試驗(yàn)條件就不同了，就不是

9、貝努里概型，此時(shí)，只能用古典概型求解.古典概型與貝努里概型 有何區(qū)別？注貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同，各次試驗(yàn)相互獨(dú)立（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A 或 且2022/10/4若一年中參加人壽保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率為0.005,現(xiàn)有10000個(gè)這類人參加人壽保險(xiǎn).試求：在未來一年中在這些保險(xiǎn)者里面:(1).有10人死亡的概率(2).死亡人數(shù)不超過10人的概率.設(shè) X: 在未來一年中這些保險(xiǎn)者中的死亡人數(shù).(1).有10人死亡的概率為：例9.解:這是貝努利概型.則：2022/10/4(2). 死亡人數(shù)不超過10人的概率是:這些計(jì)算是非常麻煩的，現(xiàn)給出

10、一個(gè)當(dāng) n 很大，p 很小時(shí)的近似計(jì)算公式，即二項(xiàng)分布的Possion逼近.泊松(Possion) 定理設(shè) 是一常數(shù) 則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù) k 有： 且2022/10/4證明:2022/10/4泊松定理中 的值有表可查例10. 用泊松定理中的近似公式計(jì)算例 9解：注:一般的用 去近似二項(xiàng)分布的 當(dāng)：時(shí)近似效果頗佳時(shí)近似效果更好見本教材第四版的P383的附表31萬人參加保險(xiǎn)，每人的死亡率為0.005.求:10人死亡小于10人死亡的概率2022/10/4這里 附表3 沒有列入，n 確實(shí)很大時(shí)更進(jìn)一步的計(jì)算將在第五章介紹中心極限定理之后再來解決比較方便.若現(xiàn)將“每個(gè)人死亡的概率改為0.0005”，

11、則注：2022/10/4 設(shè)有80 臺(tái)同類型設(shè)備，各工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理。現(xiàn)考慮兩種配備維修工人的方法：其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái).試比較：這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維 修的概率大小.（1）在第一種配備方法中則：在80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：例11解：人維護(hù)的20臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)2022/10/4（2）在第二種配備方法中則在80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為:時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)2022/10/4結(jié)論： 經(jīng)比較，采用第二種配備方法雖然人員

12、減少，每個(gè)人的任務(wù)加重(每人平均維護(hù) 27臺(tái)），但質(zhì)量不僅沒降低，反而提高了，故應(yīng)采用第二種配備方法。3. 泊松分布若隨機(jī)變量X 的所有可能取值為： 而它的分布律(它所取值的各個(gè)概率)為： 則 稱 X 服從參數(shù)為 的 泊松分布,記為定理：2022/10/4注泊松分布滿足分布律的兩個(gè)條件：泊松分布 的圖形特點(diǎn)：2022/10/4在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似 服從泊松分布。 若把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件。二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系由泊松分布的定義及泊松定理可知：當(dāng) 泊松分布是二項(xiàng)分布的近似。 （這是1837 年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的 ）比如：2022/10/4由泊松定理，n 重

13、貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故 等等 比如：2022/10/4 在自然界和人們的現(xiàn)實(shí)生活中,經(jīng)常要遇到在隨機(jī)時(shí)刻出現(xiàn)的某種事件.我們把在隨機(jī)時(shí)刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列,叫做隨機(jī)事件流.若事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性， 則稱該事件流為泊松事件流（泊松流）泊松分布產(chǎn)生的一般條件平穩(wěn)性:在任意時(shí)間區(qū)間內(nèi)，事件發(fā)生k 次(k0)的概率只依賴于區(qū)間長(zhǎng)度而與區(qū)間端點(diǎn)無關(guān).2022/10/4無后效性 普通性在不相重疊的時(shí)間段內(nèi)，事件的發(fā)生是相互獨(dú)立的.如果時(shí)間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次以上的概率可忽略不計(jì).例如：一放射性源放射出的 粒子數(shù)2022/10/4都可以看作泊松流.某電話交換臺(tái)收到的電 話呼叫數(shù)到某機(jī)場(chǎng)降落的飛 機(jī)數(shù)一個(gè)售貨員接待的 顧客數(shù)一臺(tái)紡紗機(jī)的斷頭數(shù) 例如2022/10/4 一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售 記錄知