CT平行束和扇形束算法的轉(zhuǎn)換(蒼松書店)課件

1、平行束和扇形束算法的轉(zhuǎn)換16級 曹婷婷、敖經(jīng)盛2017年7月1學堂A平行束和扇形束算法的轉(zhuǎn)換1學堂A平行束圖像重建(FBP)扇形束圖像重建2學堂A平行束圖像重建(FBP)2學堂A平行束圖像重建1、圖像重建的基本原理 CT中用探測器測量X射線透過人體后的強度值，即為X射線與人體相互作用后沿某一方向的線積分（投影）。x射線掃描通過路徑后 其中P為投影值 基本出發(fā)點是：尋求衰減系數(shù) 分布。3學堂A平行束圖像重建1、圖像重建的基本原理 CT中用中心切片定理: 二維圖像的一維投影（線積分）的傅立葉變換，恰好等于圖像本身的二維傅立葉變換的一個特定截面。4學堂A中心切片定理: 二維圖像的一維投影（線積分）的

2、傅立葉變換，恰 通過轉(zhuǎn)動投影方向，可以得到各個方向上傅立葉變換的特定截面，從而獲得整個二維平面的傅立葉變換，最后由傅立葉逆變換得到重建的圖像5學堂A 通過轉(zhuǎn)動投影方向，可以得到各個方向上傅立葉變換的特定截面，平行束圖像重建濾波反投影法（FBP)（1）求投影數(shù)據(jù) 的以s為變量的一維傅里葉變換，得到（2）對 乘以斜波濾波器的傳遞函數(shù) ，得到（3）求 的以 為變量的以為傅里葉反變換，得到 6學堂A平行束圖像重建濾波反投影法（FBP)6學堂A將直角坐標（u，v）轉(zhuǎn)換成極坐標（w, ）.雅各比行列式為故則7學堂A將直角坐標（u，v）轉(zhuǎn)換成極坐標（w, ）.雅各比行列式為具體的推導根據(jù)中心切片定理，可以用

3、P來代替F:其中 是斜坡濾波器的傳遞函數(shù)8學堂A具體的推導根據(jù)中心切片定理，可以用P來代替F:其中 交換積分次序：卷積的形式卷積核最終的形式：9學堂A交換積分次序：卷積的形式卷積核最終的形式：9學堂A扇形束圖像重建 對于平行束成像，我們用中心切片定理推導出了一些圖像重建的算法。對于扇形束成像，并沒有相應的中心切片定理。轉(zhuǎn)換的思路： 把所有的扇形束射線放在一起進行分組，把互相平行的射線分為一組，這樣就把扇形束的成像問題簡化為平行束的成像問題。10學堂A扇形束圖像重建 對于平行束成像，我們用中心切片定理推導出對與扇形束成像，我們并沒有相應的中心切片定理。我們只好想個別的辦法來推導扇形束的圖像重建算

4、法。這個辦法就是把扇形束的成像問題轉(zhuǎn)化成平行光束的成像問題，把平行光束圖像重建的算法修正一下然后應用于解決扇形束的成像問題中。11學堂A對與扇形束成像，我們并沒有相應的中心切片定理。我們只好想個別12學堂A12學堂A13學堂A13學堂A等角度扇形重建算法出發(fā)點是平行束的FBP的算法推導，但是要用極坐標 ，而不是直角坐標系（x,y）的表達式，所以要對坐標進行替換：14學堂A等角度扇形重建算法出發(fā)點是平行束的FBP的算法推導，但是要已知平行束重建算法為：轉(zhuǎn)化為極坐標后得：15學堂A15學堂A利用 將平行束的變量dsd換成扇形束的變量dd，其中雅克比因子為 ，這樣可得變成對這一部分利用幾何關(guān)系化簡1

5、6學堂A利用 17學堂A17學堂A斜坡濾波器卷積核的一個特殊性質(zhì)：證明過程如下：斜坡濾波卷積核的定義是不加窗時成立，加窗時會使重建不精確18學堂A斜坡濾波器卷積核的一個特殊性質(zhì)：證明過程如下：斜坡濾波卷積核19學堂A19學堂A 假如我們現(xiàn)在想重建某點 的值，我們先確定一個，即確定了源的位置，由于重建點的位置也是確定的，故D和均為確定的值。然后用卷積核 對不同角的信號進行卷積。 當這個 角度的卷積完成后，我們對0-180所有角度的做一個積分，即背投影過程。 這就是扇形束的濾波背投影算法。20學堂A 假如我們現(xiàn)在想重建某點 短掃描在平行光束成像中，當探測器繞物體旋轉(zhuǎn)2 (即360), 每一條投影射

6、線都被測了兩次。冗余的數(shù)據(jù)可由下面這個表達式給出可見, 由兩個面對面的探測器測得的數(shù)據(jù)都是冗余的。所以，探測器旋轉(zhuǎn)180 即可提供足夠的數(shù)據(jù)。21學堂A短掃描在平行光束成像中，當探測器繞物體旋轉(zhuǎn)2 (即360根據(jù)同樣的道理，當扇形束探測器旋轉(zhuǎn)2, 每條投影射線也都被測到了兩次。冗余的數(shù)據(jù)可由下面這個表達式給出由于數(shù)據(jù)冗余，在扇形束數(shù)據(jù)采集中沒有必要讓探測器做2 全掃描。掃描角度() 可以小于2, 這種掃描方式叫做短掃描。22學堂A根據(jù)同樣的道理，當扇形束探測器旋轉(zhuǎn)2, 每條投影射線也都被 角度 的最小取值范圍取決于數(shù)據(jù)采集時物體與探測器之間的幾何關(guān)系。角度的最小取值區(qū)間可能小于 (下圖左)，可

7、能等于 (中)，也可能大于 ( 右)。確定掃描區(qū)間的原則是，我們感興趣的物體中的每一點都要有180的角度覆蓋。要注意的是，在扇形束短掃描成像中，并不是所有的線積分都被剛好測到一次。有些線積分被測到一次，而另一些線積分會被測到兩次。即使在掃描角度 的范圍小于 的情形, 還是有一些線積分會被測到兩次的。其實，任何直線，只要它與扇形的焦點軌跡有兩個交點，那么沿這條線的線積分就被測到了兩次(圖3.10)。23學堂A 角度 的最小取值范圍取決于數(shù)據(jù)采集時物體與探測器其實，任何直線，只要它與扇形的焦點軌跡有兩個交點，那么沿這條線的線積分就被測到了兩次。為了獲得足夠的數(shù)據(jù)來做斷層成像，我們要求過物體的每一條線的線積分都要至少被測到一次。對于冗余的數(shù)據(jù)，在圖像重建時需要施加適當?shù)臋?quán)函數(shù)來處理。舉例來說，若一個線積分被測到了兩次，對它們要進行加權(quán)，而且它們的權(quán)因子之和一定