第3章 圓的基本性質(zhì)（第一篇）（綜合復(fù)習(xí)）（解析版）

1、第三章 圓的基本性質(zhì)（第一篇）（綜合復(fù)習(xí)）目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc115264728 一、知識點(diǎn)梳理 PAGEREF _Toc115264728 h 1 HYPERLINK l _Toc115264729 二、知識點(diǎn)鞏固 PAGEREF _Toc115264729 h 1 HYPERLINK l _Toc115264730 1.圓的定義 PAGEREF _Toc115264730 h 1 HYPERLINK l _Toc115264731 2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 PAGEREF _Toc115264731 h 4 HYPERLINK l _Toc11

2、5264732 3.確定圓的條件 PAGEREF _Toc115264732 h 10 HYPERLINK l _Toc115264733 4.旋轉(zhuǎn)的概念 PAGEREF _Toc115264733 h 12 HYPERLINK l _Toc115264734 5.旋轉(zhuǎn)的作圖 PAGEREF _Toc115264734 h 13 HYPERLINK l _Toc115264735 6.垂徑定理 PAGEREF _Toc115264735 h 21 HYPERLINK l _Toc115264736 7.圓心角與弧的定義 PAGEREF _Toc115264736 h 32一、知識點(diǎn)梳理二、知識

3、點(diǎn)鞏固1.圓的定義如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”知識要點(diǎn)：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；圓是一條封閉曲線；圓指的是圓周，而不是圓面；連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.圓心到弦的距離叫做弦心距.直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.圓的任意一條直

4、徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；大于半圓的弧叫做優(yōu)?。恍∮诎雸A的弧叫做劣弧.半圓是弧，而弧不一定是半圓；無特殊說明時(shí)，弧指的是劣弧.在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；圓中兩平行弦所夾的弧相等.圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.（強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的）滿分必刷題：1如圖所示，OA、OB、OC、OD是圓的四條半徑，則圖中以B為端點(diǎn)的弧的條數(shù)有（）A6條B8條C2條D4條【分析】圓弧是圓上任意兩點(diǎn)間的部分，大于半圓的弧叫優(yōu)弧，小于半圓的弧叫劣?。槐绢}要求的弧

5、沒有規(guī)定是優(yōu)弧還是劣弧，所以兩種都可以考慮，據(jù)此解答【解答】解：由于題目沒有明確限定是優(yōu)弧還是劣弧，所以有下列6條以B為端點(diǎn)的弧：、故選：A【點(diǎn)評】本題側(cè)重考查圓弧的條數(shù)，了解圓弧的定義是解題關(guān)鍵2判斷下列說法：正確的打“”，錯(cuò)誤的打“（1）圓中的線段是弦； （2）直徑是圓中最長的弦； （3）經(jīng)過圓心的線段是直徑； （4）半徑相等的兩個(gè)圓是等圓； （5）長度相等的兩條弧是等?。?（6）弧是半圓，半圓是弧 【分析】根據(jù)弦，直徑，等弧，半圓等知識一一判斷即可【解答】解：（1）圓中的線段是弦；（2）直徑是圓中最長的弦；（3）經(jīng)過圓心的線段是直徑；（4）半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；（5）長度相等的兩條弧是

6、等弧；（6）弧是半圓，半圓是弧故答案為：【點(diǎn)評】本題考查圓的認(rèn)識，弦，直徑，等弧，半圓等知識，解題的關(guān)鍵是掌握基本知識，屬于中考?？碱}型3下列說法中：直徑是弦；弦是直徑；等弧的長度相等；弧是半圓正確的有 （）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別進(jìn)行判斷后即可確定正確的選項(xiàng)【解答】解：直徑是弦，正確，符合題意；弦不一定是直徑，錯(cuò)誤，不符合題意；等弧的長度相等，正確，符合題意；根據(jù)半圓的定義可知，半圓是弧，但弧不一定是半圓，錯(cuò)誤，不符合題意，正確的有2個(gè)，故選：B【點(diǎn)評】本題考查了圓的認(rèn)識及圓的有關(guān)定義，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)概念，難度不大4如圖所示，AB是O的直徑，圖中的

7、弦有哪些？哪一段弧是優(yōu)弧，哪一段弧是劣??？【分析】連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦，據(jù)此找出圖中的弦即可；圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，根據(jù)弧的概念找出圖中的所有?。唤酉聛砀鶕?jù)優(yōu)弧和劣弧的區(qū)別對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可【解答】解：圖中的弦有BC，AB，AC，圖中的劣弧有，圖中的優(yōu)弧有，【點(diǎn)評】本題考查了圓的認(rèn)識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外.若O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，那么：點(diǎn)P在圓內(nèi) d r ；點(diǎn)P在圓上 d = r ；點(diǎn)P在圓外 d r.需要注意的是點(diǎn)在圓上是指點(diǎn)在圓周

8、上，而不是點(diǎn)在圓面上 “”讀作“等價(jià)于”，它表示從左端可以推出右端，從右端也可以推出左端.滿分必刷題：5如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），ABx軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，OC2，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，連接BD，則BD的最大值為（）A3BCD【分析】作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到BDEC，求出ACE的最大值即可【解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E（4，3），則點(diǎn)B是AE的中點(diǎn)，又點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，BD是AEC的中位線，BDEC，當(dāng)AEC最大時(shí)，BD最大，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且OC2，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，2為半徑的O上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)EC經(jīng)過圓心O時(shí)，EC最大OB4，BE3，OE5

9、，CE的最大值為5+27，BD的最大值故選：B【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，確定BD為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵6如圖，ABC中，ABAC，BC24，ADBC于點(diǎn)D，AD5，P是半徑為3的A上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC，若E是PC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則DE長的最大值為（）A8B8.5C9D9.5【分析】連接PB，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到CDDB，根據(jù)三角形中位線定理得到DEPB，則當(dāng)PB取最大值時(shí)，DE的長最大，求得PB的最大值，即可求得DE長的最大值【解答】解：如圖，連接PB，ABAC，ADBC，CDDBBC12，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，DE是PBC的中位線，DEPB，

10、當(dāng)PB取最大值時(shí)，DE的長最P是半徑為3的A上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB過圓心A時(shí)，PB最大，BD12，AD5，AB，A的半徑為3，PB的最大值為13+316，DE長的最大值為8，故選：A【點(diǎn)評】本題考查的是點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形中位線定理，明確當(dāng)PB取最大值時(shí)，DE的長最大是解題的關(guān)鍵7O的直徑長為10，OA為8，則點(diǎn)A與O的位置關(guān)系為 點(diǎn)A在O外【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷【解答】解：O的半徑為5，點(diǎn)A到圓心O的距離為8，點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)A在O外故答案為：點(diǎn)A在O外【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離O

11、Pd，則有點(diǎn)P在圓外時(shí)，dr；點(diǎn)P在圓上時(shí)，dr；點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，dr反之也成立8在RtABC中，C90，AC4cm，BC3cm，D是AB邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，2.4cm為半徑作圓，則點(diǎn)D與C的位置關(guān)系是 點(diǎn)D在C外【分析】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，本題可由勾股定理等性質(zhì)算出點(diǎn)與圓心的距離d，則dr時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)【解答】解：由勾股定理，得AB（cm），CD是AB邊上的中線，CDAB2.5（cm），CD2.5cmC的半徑，點(diǎn)D在C外故答案為：點(diǎn)D在C外【點(diǎn)評】本題考查了對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓

12、心的距離為d，則有：當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)9如圖，點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑作M，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)C是M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BC，AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，線段OD的最大值是（2，2）【分析】根據(jù)垂徑定理得到OAOB，然后根據(jù)三角形中位線定理得到ODBC，ODBC，即當(dāng)BC取得最大值時(shí)，線段OD取得最大值，根據(jù)圓周角定理得到CAx軸，進(jìn)而求得OAD是等腰直角三角形，即可得到ADOA2，得到D的坐標(biāo)為（2，2）【解答】解：OMAB，OAOB，ADCD，ODBC，ODBC，當(dāng)BC取得最大值時(shí)，線段OD取得

13、最大值，如圖，BC為直徑，CAB90，CAx軸，OBOAOM，ABC45，ODBC，AOD45，AOD是等腰直角三角形，ADOA2，D的坐標(biāo)為（2，2），故答案為：（2，2）【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，垂徑定理、圓周角定理以及三角形中位線定理，明確當(dāng)BC為直徑時(shí)，線段OD取得最大值是解題的關(guān)鍵10如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（6，0），B（0，6），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC2，M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，當(dāng)OM取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （4，4）【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為2的B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點(diǎn)時(shí)，OM最小，在DB的延長線上時(shí)，OM最大，根據(jù)三角

14、形的中位線定理可得結(jié)論【解答】解：如圖，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC2，C在B上，且半徑為2，取ODOA6，連接CD，AMCM，ODOA，OM是ACD的中位線，OMCD，當(dāng)OM最大時(shí)，即CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在DB的延長線上時(shí)，OM最大，OBOD6，BOD90，BD6，CD6+28，C坐標(biāo)為（2，8），OMCD4，即OM的最大值為4，M坐標(biāo)為（4，4）故答案為：（4，4）【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)3.確定圓的條件（1）經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)能作無數(shù)個(gè)圓；（2）經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A、B能作無數(shù)個(gè)圓，這些圓的圓心在線

15、段AB的垂直平分線上；(3）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.只有確定了圓心和圓的半徑，這個(gè)圓的位置和大小才唯一確定.經(jīng)過三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.如圖：O是ABC的外接圓， ABC是O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)O是ABC的外心. 外心的性質(zhì)：外心是ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.滿分必刷題：11如圖，點(diǎn)A，B，C均在66的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，過A，B，C三點(diǎn)的外接圓內(nèi)部包含的格點(diǎn)數(shù)為（）A11B12C13D14【分析】根據(jù)圓的確定先做出過A，B，C三點(diǎn)的外接圓，從而得出答案【解答】解：如圖，分別作AB

16、、BC的中垂線，兩直線的交點(diǎn)為O，以O(shè)為圓心、OA為半徑作圓，則O即為過A，B，C三點(diǎn)的外接圓，由圖可知，O內(nèi)包含13個(gè)格點(diǎn)，故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查圓的確定，熟練掌握圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等得出其外接圓是解題的關(guān)鍵12已知M（1，2），N（3，3），P（x，y）三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，則以下P點(diǎn)坐標(biāo)不滿足要求的是（）A（3，5）B（3，5）C（1，2）D（1，2）【分析】利用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，再把每點(diǎn)代入函數(shù)解析式，根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，由于（1，2）在直線MN上，可知答案【解答】解：設(shè)直線MN的解析式為ykx+b，解得，yx+，當(dāng)x3時(shí)，y35；當(dāng)x3時(shí)，y1

17、2；當(dāng)x1時(shí)，y22；點(diǎn)C在直線MN上，該三點(diǎn)不能構(gòu)成圓故選：C【點(diǎn)評】考查了確定圓的條件及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”，難度不大13如圖，AC，BE是O的直徑，弦AD與BE交于點(diǎn)F，下列三角形中，外心不是（）AABEBACFCABDDADE【分析】利用外心的定義，外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，進(jìn)而判斷得出即可【解答】解：如圖所示：只有ACF的三個(gè)頂點(diǎn)不都在圓上，故外心不是點(diǎn)O的是ACF故選：B【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形外心的定義，正確把握外心的定義是解題關(guān)鍵4.旋轉(zhuǎn)的概念 一般地，一個(gè)圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，在運(yùn)

18、動(dòng)的過程中，原圖形上的所有點(diǎn)都繞一個(gè)固定的點(diǎn)，按同一個(gè)方向，轉(zhuǎn)動(dòng)同一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個(gè)固定的定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的角叫做旋轉(zhuǎn)角.如下圖，點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，AOA（或BOB或COC）是旋轉(zhuǎn)角. 如上圖，如果圖形上的點(diǎn)A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)A，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn). 點(diǎn)B與點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)C均是對應(yīng)點(diǎn)，線段AB與AB、線段AC與AC、線段BC與BC均是對應(yīng)線段.旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.圖形的旋轉(zhuǎn)要注意一下幾點(diǎn)：圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度.圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，

19、既可以按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).5.旋轉(zhuǎn)的作圖在畫旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形作圖的步驟：連接圖形中的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；把連線按要求（順時(shí)針或逆時(shí)針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；連接所得到的各對應(yīng)點(diǎn).滿分必刷題：14如圖，將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到AED，若線段AB5，則BE的長為（）A3B4C5D6【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ABAE，BAE60，可證ABE是等邊三角形，可得ABBE5，即可求解【解答】解：將ABC

20、繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到AED，ABAE，BAE60，ABE是等邊三角形，ABBE5，故選：C【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵15如圖，一直角三角板ABC，其中A30，ACB90，將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到EBD，延長AC交DE于F，若AF4，則AB的長為（）A2BC3D6【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ABBE，AE30，設(shè)BCx，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到ABDE2x，根據(jù)勾股定理得到ACx，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論【解答】解：把含30的直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到EBD，ABBE，AE30，ACB90，EDF90，設(shè)BCx，AB

21、BE2x，CEx，ACx，ECF90，E30，CFEF，CEx，CFx，AF4，x+x4，x3，AB2x6，故選：D【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵16如圖，在正方形ABCD中，將邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BC，連接CC、DC，若CCD90，CD4，則正方形ABCD的邊長為（）A8B10CD【分析】過點(diǎn)B作BECC于點(diǎn)E，證明BCECDC（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CECD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求出CC8，由勾股定理可得出答案【解答】解：過點(diǎn)B作BECC于點(diǎn)E，如圖：四邊形ABCD是正方形，BCCD，BCD90，B

22、CE+CCD90，BCE+CBE90，CCDCBE，又BECCCD，BCECDC（AAS），CECD4，將邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BC，BCBC，又BECC，CECECD4，CC8，CD4，正方形ABCD的邊長為4故選：D【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵17如圖，在ABC中，ABC120，將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到ADE，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為D、E（1）求證：E、D、B三點(diǎn)共線；（2）若AB2BC4，求點(diǎn)E到AB的距離【分析】（1）連接BD，根據(jù)將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到ADE，得BA

23、D60，ABAD，ADEABC120，知ABD是等邊三角形，可得ADB60，故ADE+ADB120+60180，E、D、B三點(diǎn)共線；（2）過A作AFBE于F，過E作EGAB于G，由ABD是等邊三角形，可得BDAB4，BE6，根據(jù)BAF30，可得BFAB2，AFBF2，由等面積法即得EG3【解答】（1）證明：連接BD，如圖：將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到ADE，BAD60，ABAD，ADEABC120，ABD是等邊三角形，ADB60，ADE+ADB120+60180，E、D、B三點(diǎn)共線；（2）過A作AFBE于F，過E作EGAB于G，如圖：由（1）知ABD是等邊三角形，BDAB4，BEBD+DE

24、BD+BC4+26，AFBE，BAF30，BFAB2，AFBF2，2SABEABEGBEAF，EG3，點(diǎn)E到AB的距離是3【點(diǎn)評】本題考查三角形中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用等面積法列方程解決問題18如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊AOB，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），每一次將AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到A1OB1，第二次旋轉(zhuǎn)后得到A2OB2，依次類推，則點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為 （22022，0）【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度為60，可知每旋轉(zhuǎn)6次點(diǎn)A的位置重復(fù)出現(xiàn)，由此可知第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A2與點(diǎn)A的位置相同，都在x軸的負(fù)半軸上，再由OAn2

25、n，即可求解【解答】解：A（1，0），OA1，每次旋轉(zhuǎn)角度為60，6次旋轉(zhuǎn)360，20226374，第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A2與點(diǎn)A的位置相同，都在x軸的負(fù)半軸上，第一次旋轉(zhuǎn)后，OA12，第二次旋轉(zhuǎn)后，OA222，第三次旋轉(zhuǎn)后，OA323，第2022次旋轉(zhuǎn)后，OA202222022，點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為（22022，0）故答案為：（22022，0）【點(diǎn)評】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度找到點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵19如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把矩形COAB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到矩形CDEF設(shè)若A（0，3），C（4，0），則BD2+BF2BC2的最小值為 4【分

26、析】過點(diǎn)B作BHEF交于H，取BGCF，連接EG，GF，EB，CE，則四邊形BCFG是平行四邊形，四邊形EDBG是平行四邊形，再由勾股定理可得BD2+BF2BC2BE2，當(dāng)BE最小時(shí)，BD2+BF2BC2的值最小，又由CEBCBEEC+BC，可得2BE8，可求BE的最小值為2，即可求BD2+BF2BC2的最小值為4【解答】解：過點(diǎn)B作BHEF交于H，取BGCF，連接EG，GF，EB，CE，四邊形CDEF是矩形，CFEF，DEEF，BGCF，DEBG，四邊形BCFG是平行四邊形，四邊形EDBG是平行四邊形，BDEG，BCGF，BD2+BF2BC2EG2+BF2GF2EH2+GH2+BH2+HF2

27、HG2HF2EH2+BH2BE2，當(dāng)BE最小時(shí)，BD2+BF2BC2的值最小，A（0，3），C（4，0），OC4，OA3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，CD4，DE3，CE5，CEBCBEEC+BC，2BE8，BE的最小值為2，BD2+BF2BC2的最小值為4，故答案為：4【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，三角形的邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵20在RtABC中，C90，點(diǎn)O為RtABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO、BO、CO，且AOCCOBBOA120，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60，得到AOB（得到A、O的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A、O）（1）用尺規(guī)作圖作出A

28、OB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）證明：點(diǎn)C、O、O和A四點(diǎn)共線【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）連接OO，證明COO180，AOO180，可得結(jié)論【解答】（1）解：如圖，AOB即為所求；（2）證明：連接OOBOBO，BOB60，OBO是等邊三角形，BOOBOO60，BOCAOBAOB120，COO180，AOO180，點(diǎn)C、O、O和A四點(diǎn)共線【點(diǎn)評】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型6.垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧. 推論一：平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦,并且平分這條弦所對

29、的兩段弧。幾何語言：DC是直徑，AE=EB直徑DC垂直于弦AB，推論二：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,并且平分這條弦所對的另一條弧。幾何語言：CD垂直平分AB，推論三：在同圓或者 HYPERLINK t /item/%E5%9E%82%E5%BE%84%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank 等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等。 在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）垂徑定理在考試中是常考知識點(diǎn)，一定要靈活運(yùn)用。滿分必刷題：

30、21已知：如圖，AB是O的直徑，弦CD交AB于E點(diǎn)，BE1，AE5，AEC30，則CD的長為（）A4B4C3D5【分析】作OMCD于點(diǎn)M，連接OC，在直角三角形OEM中，根據(jù)三角函數(shù)求得OM的長，然后在直角OCM中，利用勾股定理即可求得CM的長，進(jìn)而求得CD的長【解答】解：作OMCD于點(diǎn)M，連接OC，則CMCD，BE1，AE5，OCAB3，OEOBBE312，RtOME中，AEC30，OMOE21，在RtOCM中，OC2OM2+MC2，即3212+CM2，解得CM2，CD2CM224故選：A【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理、勾股定理及直角三角形的性質(zhì)，解答此類題目時(shí)要先作出輔助線，再利用勾股定理求

31、解22如圖，在O中，弦AB5，點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連結(jié)OC，過點(diǎn)C作CDOC交O于點(diǎn)D，則CD的最大值為（）A5B2.5C3D2【分析】連接OD，如圖，利用勾股定理得到CD，利用垂線段最短得到當(dāng)OCAB時(shí)，OC最小，再求出CD即可【解答】解：連接OD，如圖，CDOC，DCO90，CD，當(dāng)OC的值最小時(shí)，CD的值最大，而OCAB時(shí)，OC最小，此時(shí)D、B兩點(diǎn)重合，CDCBAB52.5，即CD的最大值為2.5，故選：B【點(diǎn)評】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識點(diǎn)，能求出點(diǎn)C的位置是解此題的關(guān)鍵23如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為E，若BECD8，則O的半徑的長是（）A5B4C3D2

32、【分析】連接OC，設(shè)O的半徑為R，則OE8R，根據(jù)垂徑定理得出CEDE4，根據(jù)勾股定理得出OC2CE2+OE2，代入后求出R即可【解答】解：連接OC，設(shè)O的半徑為R，則OE8R，CDAB，AB過圓心O，CD8，OEC90，CEDE4，由勾股定理得：OC2CE2+OE2，R242+（8R）2，解得：R5，即O的半徑長是5，故選：A【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵24如圖，CD是O的直徑，AB是弦，CDAB于E，DE2，AB8，則AC的長為（）A8B10C4D4【分析】連接OA，設(shè)O的半徑為R，則OAR，OER2，根據(jù)垂徑定理求出AEBE4，根據(jù)勾

33、股定理求出OA2OE2+AE2，得出R2（R2）2+42，求出R，再求出CE，最后根據(jù)勾股定理求出AC即可【解答】解：連接OA，設(shè)O的半徑為R，則OAR，OER2，CDAB，CD過圓心O，AB8，AEBE4，AEC90，由勾股定理得：OA2OE2+AE2，即R2（R2）2+42，解得：R5，即OAOC5，OE523，CEOC+OE5+38，AC4，故選：C【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵25已知O的半徑為7，AB是O的弦，點(diǎn)P在弦AB上若PA4，PB6，則OP（）AB4CD5【分析】過點(diǎn)O作OCAB于點(diǎn)C，連接OB，根據(jù)垂徑定理可得ACBC5，

34、所以PCPBBC1，根據(jù)勾股定理即可解決問題【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OCAB于點(diǎn)C，連接OB，則OB7，PA4，PB6，ABPA+PB10，OCAB，ACBC5，PCPBBC1，在RtOBC中，根據(jù)勾股定理得：OC2OB2BC2725224，在RtOPC中，根據(jù)勾股定理得：OP5，故選：D【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理26如圖，CD是圓O的弦，直徑ABCD，垂足為E，若AB12，BE3，則四邊形ACBD的面積為（）A36B24C18D72【分析】根據(jù)AB12，BE3，求出OE3，OC6，并利用勾股定理求出EC，根據(jù)垂徑定理求出CD，即可求出四邊形的面積【解

35、答】解：如圖，連接OC，AB12，BE3，OBOC6，OE3，ABCD，在RtCOE中，EC，CD2CE6，四邊形ACBD的面積故選：A【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧27如圖，在O中，點(diǎn)C為弦AB上一點(diǎn)，AB1，CDOC交O于點(diǎn)D，則線段CD的最大值是（）AB1CD2【分析】因?yàn)镃DOC交O于點(diǎn)D，連接OD，OCD是直角三角形，則CD，因?yàn)榘霃絆D是定值，當(dāng)OC取得最小值時(shí)線段CD取得最大值【解答】解：連接OD，CDOC交O于點(diǎn)D，OCD是直角三角形，根據(jù)勾股定理得CD，半徑OD是定值，當(dāng)OCAB時(shí)，線段OC最小，

36、此時(shí)D與B重合，CD，OCAB，ACBCAB，CDBC故選：A【點(diǎn)評】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂直于弦的直徑平分弦，利用勾股定理表示出CD是解題的關(guān)鍵28如圖，O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，若AE5，EB1，AEC30，則CD的長為（）A5B2C4D【分析】因?yàn)锳EC30，可過點(diǎn)O作OFCD于F，構(gòu)成直角三角形，先求得O的半徑為3，進(jìn)而求得OE312，根據(jù)30角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出OFOE1，再根據(jù)勾股定理求得CF的長，然后由垂徑定理求出CD的長【解答】解：過點(diǎn)O作OFCD于F，連接CO，AE5，BE1，AB6，O的半徑為3，OE312AEC30，OF1

37、，CF2，CD2CF4，故選：C【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵29如圖，在O中，弦ABOC于E點(diǎn)，C在圓上，AB8，CE2，則O的半徑AO5【分析】設(shè)OAOCr，利用勾股定理構(gòu)建方程求解【解答】解：設(shè)OAOCr，OCAB，OC是半徑，AEEB4，在RtAEO中，OA2AE2+OE2，r242+（r2）2，r5故答案為：5【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題30平面直角坐標(biāo)系xOy如圖所示，以原點(diǎn)O為圓心，以2為半徑的O中，弦AB，點(diǎn)C是弦AB中點(diǎn)，P（+1，1），連接PC，當(dāng)弦AB在

38、O上滑動(dòng)，線段PC掃過的面積為 +【分析】首先利用已知條件求得點(diǎn)C 的軌跡，可得線段PC掃過的面積為四邊形DOEP的面積+大扇形ODE的面積，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理，切線長定理，三角形、扇形的面積公式解答即可【解答】解：連接OC，OA，如圖，點(diǎn)C是弦AB中點(diǎn)，OCAB，ACBCAB，OC弦AB在O上滑動(dòng)，點(diǎn)C的軌跡為以點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓，如圖中的虛線O，過點(diǎn)P作該圓的切線PD，PE，連接OD，OE，PO，如上圖，則ODOE利用勾股定理可求得PO，PD，PE是虛線O的切線，ODPD，OEPE，PDPE，DPOEPOsinOPD，OPD30，OPE30，DOP60，EOP60，DOE1

39、20線段PC掃過的面積為四邊形DOEP的面積+大扇形ODE的面積，線段PC掃過的面積為2PDOD+故答案為：+【點(diǎn)評】本題主要考查了垂徑定理，切線長定理，三角形，扇形的面積，點(diǎn)的軌跡，確定出點(diǎn)C的軌跡是解題的關(guān)鍵31如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是O中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過圓心O交O于點(diǎn)D，并且AB4m，CD6m，則O的半徑長為 m【分析】連接OA，如圖，設(shè)O的半徑為rm，根據(jù)垂徑定理的推論得到CDAB，在RtAOC中利用勾股定理得到22+（6r）2r2，然后解方程即可【解答】解：連接OA，如圖，設(shè)O的半徑為rm，C是O中弦AB的中點(diǎn)，CD過圓心，CDAB，

40、ACBCAB2m，在RtAOC中，OArcm，OC（6r）m，22+（6r）2r2，解得r，即O的半徑長為m故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理的推論：平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對的兩條弧7.圓心角與弧的定義頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角如圖所示，AOB就是一個(gè)圓心角. 圓心角AOB所對的弦為線段AB，所對的弧為弧AB. 21的弧的定義1的圓心角所對的弧叫做1的弧.如下圖，圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等. 注意不是角與弧相等.即不能寫成圓心角AOB=. oac(sup12(),ab) 在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧.等弧的長度相等，所含度數(shù)相等（即彎曲程度相等）.滿

41、分必刷題：8.圓心角定理及推論圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對兩條弦的弦心距相等.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各對應(yīng)量都相等. 在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等，(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對的弧也分別相等).如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等。滿分必刷題：32如圖，AB為O的直徑，C，E是O上兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)C作CDAE交AE延長線于點(diǎn)D若

42、DE1，CD3，則OC的長為（）A5B2C3D【分析】過O點(diǎn)作OHAD于H，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AHEH，設(shè)O的半徑為r，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系和圓周角定理得到BOCA，則可判斷OCAD，接著證明四邊形OHDC為矩形，所以DHOCr，OHCD3，則DEDHDEr1，然后利用勾股定理得到32+（r1）2r2，最后解方程即可【解答】解：過O點(diǎn)作OHAD于H，如圖，則AHEH，設(shè)O的半徑為r，BOCA，OCAD，CDAE，四邊形OHDC為矩形，DHOCr，OHCD3，DEDHDEr1，在RtAOE中，32+（r1）2r2，解得r5，即OC的長為5故選：A【點(diǎn)評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在

43、同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等也考查了垂徑定理和勾股定理33如圖，不是O的圓心角的是（）AAOBBAODCBODDACD【分析】根據(jù)圓周角定義逐個(gè)判斷即可【解答】解：AOB、AOD、BOD都是圓心角，只有ACD不是圓心角，故選：D【點(diǎn)評】本題考查了圓心角的定義，能熟記圓心角定義是解此題的關(guān)鍵，頂點(diǎn)在圓心上，并且兩邊和圓相交的角，叫圓心角34如圖，AB和BC是O的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BCAB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，若，則CD的長為（）ABCD【分析】在CD上截取CEAB，連接CM

44、，EM，BM，AM，證明ABMCEM，得出BMEM，進(jìn)而得出BDDE即可解答【解答】解：如圖，在CD上截取CEAB，連接CM，EM，BM，AM，M是的中點(diǎn)，AMCM，又AC，在ABM和CEM中，ABMCEM（SAS），BMEM，MDBC，BDDE，CDCE+DEAB+BD23故選：D【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理以及圓心角，弦，弧之間的關(guān)系定理，熟記定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，在同圓或等圓中，圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性35如圖，在O中，ACAB，直徑BC2，則AD3【分析】如圖，連接DB，DC，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，DFAC交AC的延長線于點(diǎn)F證明四邊形DEAF是正方形，可得ADAF，想辦法求出AF，可得結(jié)論【解答】解：如圖，連接DB，DC，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，DFAC交AC的延長線于點(diǎn)FBC是直徑，BAC90，BC2，AB2AC，AC2，AB4，DEAEAFDFA90，四邊形DEAF是矩形，AD平分BAC，DEDF，四邊形DEAF是正方形，ADAF，DABDAC，BDCD，DEBF90，DBDC，DEDF，RtDEBRtDFC（HL），BECF，AB+