2023-2023年廣東高考理科數(shù)學卷及答案

1、絕密啟用前2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試廣東卷 數(shù) 學本試卷分選擇題和非選擇題兩局部.共4頁，總分值150分.考試時間120分鐘. 考前須知：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號寫在答題卡上.用2B鉛筆將答題卡試卷類型B涂黑。2每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用像皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.3考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回. 第一局部 選擇題共50分一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1、函數(shù)的定義域是A. B. C. D.2、假設(shè)

2、復數(shù)滿足方程，那么A. B. C. D.3、以下函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是圖1A. B. C. D.圖14、如圖1所示，是的邊上的中點，那么向量A. B.C. D.5、給出以下四個命題：= 1 * GB3如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，= 2 * GB3如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面= 3 * GB3如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行，= 4 * GB3如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.其中真命題的個數(shù)是A.4 B.3 C.2 D.16

3、、某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，那么其公差為A.5 B.4 C.3 D.2圖27、函數(shù)的反函數(shù)的圖像與軸交于點如圖2所示，那么方程在上的根是圖2A.4 B.3 C.2 D.18、雙曲線，那么雙曲線右支上的點到右焦點的距離與點到右準線的距離之比等于圖3A. B. C.2 D.4圖39、在約束條件下，當時，目標函數(shù)的最大值的變化范圍是A. B. C. D.10、對于任意的兩個實數(shù)對和，規(guī)定：，當且僅當；運算“為：；運算“為：，設(shè)，假設(shè)，那么A. B. C. D.第二局部 非選擇題共100分二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.11、_.12、棱長為3的正方體

4、的頂點都在同一球面上，那么該球的外表積為_.13、在的展開式中，的系數(shù)為_.圖414、在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成假設(shè)干堆“正三棱錐形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層第一層分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，那么；答案用表示.圖4三解答題：本大題共6小題，共80分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、(此題14分)函數(shù).(= 1 * ROMANI)求的最小正周期；(= 2 * ROMANII)求的的最大值和最小值；(= 3 * ROMANIII

5、)假設(shè)，求的值.16、(此題12分)某運發(fā)動射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下：789100現(xiàn)進行兩次射擊，以該運發(fā)動兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為. (= 1 * ROMANI)求該運發(fā)動兩次都命中7環(huán)的概率(= 2 * ROMANII)求的分布列(= 3 * ROMANIII) 求的數(shù)學期望.圖517、(此題14分)如圖5所示，、分別世、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑，,.圖5(= 1 * ROMANI)求二面角的大??；(= 2 * ROMANII)求直線與所成的角.18、(此題14分)設(shè)函數(shù)分別在處取得極小值、極大值.平面上點的坐標分別為、，該平面上動點滿足,點是點關(guān)于直線的對

6、稱點.求(= 1 * ROMANI)求點的坐標；(= 2 * ROMANII)求動點的軌跡方程.19、(此題14分)公比為的無窮等比數(shù)列各項的和為9，無窮等比數(shù)列各項的和為.(= 1 * ROMANI)求數(shù)列的首項和公比；(= 2 * ROMANII)對給定的，設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，求的前10項之和；(= 3 * ROMANIII)設(shè)為數(shù)列的第項，求，并求正整數(shù)，使得存在且不等于零.注：無窮等比數(shù)列各項的和即當時該無窮等比數(shù)列前項和的極限20、(此題12分)是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：= 1 * GB3對任意的，都有；= 2 * GB3存在常數(shù)，使得對任意的，都有.(=

7、1 * ROMANI)設(shè) ，證明：(= 2 * ROMANII)設(shè)，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的；(= 3 * ROMANIII) 設(shè)，任取，令，證明：給定正整數(shù)，對任意的正整數(shù)，成立不等式2006年高考數(shù)學參考答案廣東卷第一局部 選擇題50分1、解：由，應(yīng)選B.2、由，應(yīng)選D.3、B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內(nèi)不是奇函數(shù),是減函數(shù);應(yīng)選A.4、，應(yīng)選A.5、正確，應(yīng)選B.6、，應(yīng)選C.7、的根是2，應(yīng)選C8、依題意可知 ，應(yīng)選C.9、由交點為，當時可行域是四邊形OABC，此時，當時可行域是OA此時，應(yīng)選D.10、由得,所以,應(yīng)選B

8、.第二局部 非選擇題100分二、填空題11、12、13、所以的系數(shù)為14、10，三、解答題15解：的最小正周期為;的最大值為和最小值；因為，即,即 16解：()求該運發(fā)動兩次都命中7環(huán)的概率為；()的可能取值為7、8、9、10分布列為78910P0.040.210.390.36() 的數(shù)學希望為.17、解：()AD與兩圓所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依題意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小為450；()以O(shè)為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系如下圖，那么O0，0，0，A0，0，B，0，0,D0，8

9、，E0，0，8，F(xiàn)0，0所以，設(shè)異面直線BD與EF所成角為，那么直線BD與EF所成的角為18解:()令解得當時, 當時, ,當時,所以,函數(shù)在處取得極小值,在取得極大值,故,所以, 點A、B的坐標為.() 設(shè)，所以，又PQ的中點在上，所以消去得19解: ()依題意可知,()由()知,所以數(shù)列的的首項為,公差,即數(shù)列的前10項之和為155.()=，=當m=2時，=，當m2時，=0，所以m=220、解：對任意,所以對任意的，所以0,令=，所以反證法:設(shè)存在兩個使得,那么由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。，所以+絕密啟用前2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試廣東卷數(shù)學理科本試卷共4頁，21小題，總分

10、值150分，考試時間120分鐘?？记绊氈?.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鉛筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型B填涂在答題卡相應(yīng)位置上、將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處。 2.選擇題每題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。 3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4.作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題

11、的題號或題組號對應(yīng)的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。 5.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高。 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互獨立，那么. 用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式.選擇題：本大題共8小題，每題5分，總分值40分.1.函數(shù)的定義域為，的定義域為，那么A.B.C.D.2.假設(shè)復數(shù)是純虛數(shù)是虛數(shù)單位，是實數(shù)那么A.2B.C.D.3.假設(shè)函數(shù)A.最小正周期為的奇函數(shù)B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為的偶函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)4.客車從甲地以60 km/h的速度勻速行駛1小時

12、到達乙地，在乙地停留了半小時，然后以80 km/h的速度勻速行駛1小時到達丙地，以下描述客車從甲地出發(fā).經(jīng)過乙地，最后到達丙地所經(jīng)過的路程s與時間 A B C D5.數(shù)|an|的前n項和，第k項滿足,那么A. 9 B. 8 C. 7 D. 66.圖1是某縣參加2007年高考的學生身高條形統(tǒng)計圖，從左到右的各條形表示的學生人數(shù)依次記為A1、A2、A10如A2表示身高單位：cm150，155內(nèi)的學生人數(shù).圖2是統(tǒng)計圖1中身高在一定范圍內(nèi)學生人數(shù)的一個算法流程圖.現(xiàn)要統(tǒng)計身高在160180cm(含160cm,不含180cmA.i6 B. i7 C. i8 D. i97.圖3是某汽車維修公司的維修點環(huán)

13、形分布圖，公司在年初分配給A、B、C、D四個維修點的這批配件分別調(diào)整為40、45、61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進行，那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動件次n件配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維修點的調(diào)動件次為n為A. 15 B.16 C. 17 D.8.設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*即對任意的，對于有序元素對,在S中有唯一確定的元素與之對應(yīng).假設(shè)對任意的,有(,那么對任意的,以下等式中不恒成立的是 A. () B. ()C. ()D. ()()二、填空題：本大題共7小題，每題5分，總分值30分，其中1315題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前兩題得分.9.

14、甲、乙兩個袋中均裝有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相同.其中甲袋裝有4個紅球，2個白球，乙袋裝有1個紅球，5個白球. 現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各隨機取出一個球，那么取出的兩球都是紅球的概率為.答案用分數(shù)表示10.假設(shè)向量滿足與的夾角為120，那么.11.在平面直角坐標系中，有一定點2，1，假設(shè)線段的垂直平分線過拋物線的焦點，那么該拋物線的準線方程是.12.如果一個凸多面體棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有條.這些直線中共有對異面直線，那么 圖4;.答案用數(shù)字或的解析式表示13.坐標系與參數(shù)方程選做題在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，(參數(shù)),圓的參數(shù)方程為(參數(shù))，那

15、么圓的圓心坐標為，圓心到直線的距離為.14.不等式選講選做題設(shè)函數(shù);假設(shè)，那么的取值范圍是.15.幾何證明選講選做題如圖5所示，圓的直徑，為圓周上一點，過作圓的切線，過作的垂線，分別與直線、圓交于點、，那么，線段的長為 . 圖5三、解答題：本大題共有6小題，總分值80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16.本小題總分值12分 頂點的直角坐標分別為.1假設(shè)，求sin的值;2假設(shè)是鈍角，求的取值范圍.17.(此題總分值12分)下表提供了某廠節(jié)油降耗技術(shù)發(fā)行后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù).x3456y2.5344.51請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖

16、；2請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=;3該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤，試根據(jù)2求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？參考數(shù)值：32.5+43+54+64.566.518.本小題總分值14分在平面直角坐標系中，圓心在第二象限，半徑為2的圓C與直線相切于坐標原點O.橢圓1與圓C的一個交點到橢圓兩點的距離之和為10.1求圓C的方程.2試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長.假設(shè)存在，請求出點Q的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由.19.本小題總分值14分如圖6所示，等腰ABC的

17、底邊AB=6,高CD=3，點E是線段BD上異于點B、D的動點.點F在BC邊上，且EFAB.現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE.記 V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積.1求V(x)的表達式；2當x為何值時，V(x)取得最大值？3當V(x)取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值20.本小題總分值14分a是實數(shù)，函數(shù)如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求a的取值范圍.21.本小題總分值14分函數(shù)是方程的兩個根,是的導數(shù).設(shè),(1)求的值；(2)證明：對任意的正整數(shù)n，都有;(3)記,求數(shù)列的前n項和.2007年高考數(shù)學參考答案廣東卷一. CADB BCBA二. 9. 10. 11. 12

18、. ,12 , 13. 14. 15. 三.解答題16.(1)解:,設(shè)AC中點為M,那么; (2)解:,假設(shè)是鈍角,那么.17.解: (1) 散點圖略 (2) ; 所求的回歸方程為 (3) , 噸, 預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低(噸)18. 解:(1) 設(shè)圓C 的圓心為 那么 解得 所求的圓的方程為 (2) 由可得 橢圓的方程為 , 右焦點為 .設(shè)存在點滿足條件,那么解得故存在符合要求的點.19.解: (1)即; (2),時,時,時取得最大值.(3)以E為空間坐標原點,直線EF為軸,直線EB為軸,直線EP為軸建立空間直角坐標系,那么;,設(shè)異面直線AC與PF夾角是20.解:假設(shè),

19、那么有唯一零點為,故不符合要求;由, 且.由當時,當時,在兩個區(qū)間上分別遞增;當時,在兩個區(qū)間上分別遞減;由時,時,時,分析如圖:解法二: 假設(shè) , ,顯然在上沒有零點, 所以 令 得 當 時, 恰有一個零點在上; 當 即 時,也恰有一個零點在上; 當 在上有兩個零點時, 那么 或解得或因此的取值范圍是 或 ;21解:(1) 由 得 (2)(數(shù)學歸納法)當時,命題成立;假設(shè)當時命題成立,即,又等號成立時時,時命題成立;由知對任意均有. (3) 同理 又 數(shù)列是一個首項為 ,公比為2的等比數(shù)列;.絕密 啟用前2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 廣東卷 數(shù)學理科本試卷共4頁，21小題，總分值1

20、50分考試用時120分鐘考前須知： 1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上用2B鉛筆將試卷類型B填涂在答題卡相應(yīng)位置上將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處2選擇題每題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案答案不能答在試卷上3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須填寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無效4作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號或題組號對應(yīng)的信息點，再作

21、答漏涂、錯涂、多涂的，答案無效5考生必須保持答題卡的整潔考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回參考公式：如果事件互斥，那么是正整數(shù)，那么 一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，總分值40分。在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1，復數(shù)的實部為，虛部為1，那么的取值范圍是 A B C D2記等差數(shù)列的前項和為，假設(shè)，那么 A16 B24 C36 D48一年級二年級三年級女生373男生3773703某校共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如表1在全校學生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，那么應(yīng)在三年級抽取的學生人數(shù)為A24 B1

22、8 C16 D12 表14假設(shè)變量滿足那么的最大值是 A90 B80 C70 D405將正三棱柱截去三個角如圖1所示分別是三邊的中點得到幾何體如圖2，那么該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖或稱左視圖為 EEFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEABEBBECBED6命題所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，那么以下命題中為真命題的是 A BC D7設(shè)，假設(shè)函數(shù)，有大于零的極值點，那么 A BC D8在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點假設(shè)，那么 A BCD二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每題5分，總分值30分開始n開始n整除a?是輸入結(jié)束輸出圖3否9閱讀圖

23、3的程序框圖，假設(shè)輸入，那么輸出，注：框圖中的賦值符號“也可以寫成“或“10是正整數(shù)的展開式中，的系數(shù)小于120，那么11經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是 12函數(shù)，那么的最小正周期是二、選做題1315題，考生只能從中選做兩題13坐標系與參數(shù)方程選做題曲線的極坐標方程分別為，那么曲線與交點的極坐標為14不等式選講選做題，假設(shè)關(guān)于的方程有實根，那么的取值范圍是15幾何證明選講選做題是圓的切線，切點為，是圓的直徑，與圓交于點，那么圓的半徑三、解答題：本大題共6小題，總分值80分解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟16本小題總分值13分函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點1求的解析式；2，且，求

24、的值17本小題總分值13分隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元設(shè)1件產(chǎn)品的利潤單位：萬元為1求的分布列；2求1件產(chǎn)品的平均利潤即的數(shù)學期望；3經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，那么三等品率最多是多少？18本小題總分值14分AyxOBGFF1圖4設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點AyxOBGFF

25、1圖41求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；2設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？假設(shè)存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由不必具體求出這些點的坐標19本小題總分值14分設(shè)，函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性20本小題總分值14分FCPGEAB圖5D如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，垂直底面，分別是上的點，且，過點作的平行線交于FCPGEAB圖5D1求與平面所成角的正弦值；2證明：是直角三角形；3當時，求的面積21本小題總分值12分設(shè)為實數(shù)，是方程的兩個實根，數(shù)列滿足，1證明：，；2求數(shù)列的通項公式；3假設(shè)，求的前項和2023年普通

26、高等學校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(理科)參考答案一、選擇題：C D C C A D B B1C【解析】，而，即，2D【解析】，故3C【解析】依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學生的人數(shù)應(yīng)該是，即總體中各個年級的人數(shù)比例為，故在分層抽樣中應(yīng)在三年級抽取的學生人數(shù)為4C 5A6D【解析】不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述表達中只有 為真命題7B【解析】，假設(shè)函數(shù)在上有大于零的極值點，即有正根。當有成立時，顯然有，此時，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為。8B二、填空題： 9【解析】要結(jié)束程序的運算，就必須通過整除的條件運算，而同時也整除，那么的最小值應(yīng)為和的最小公倍數(shù)1

27、2，即此時有。10【解析】按二項式定理展開的通項為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1。11【解析】易知點C為，而直線與垂直，我們設(shè)待求的直線的方程為，將點C的坐標代入馬上就能求出參數(shù)的值為，故待求的直線的方程為。12【解析】，故函數(shù)的最小正周期。二、選做題1315題，考生只能從中選做兩題13【解析】由解得，即兩曲線的交點為。1415【解析】依題意，我們知道,由相似三角形的性質(zhì)我們有,即。三、解答題：本大題共6小題，總分值80分解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟16解：1依題意有，那么，將點代入得，而，故；2依題意有，而，。17解：1的所有可能取值有6，2，1，-2；，故的

28、分布列為：621-20.630.250.10.0223設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，那么此時1件產(chǎn)品的平均利潤為AyxOBGFAyxOBGFF1圖4所以三等品率最多為18解：1由得，當?shù)?，G點的坐標為， ，過點G的切線方程為即，令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；2過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，同理以為直角的只有一個。假設(shè)以為直角，設(shè)點坐標為，、兩點的坐標分別為和， 。關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。19解：，對于，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是

29、增函數(shù)；對于，當時，函數(shù)在上是減函數(shù)；FCPGEAB圖5D當FCPGEAB圖5D20解：1在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即為以為直角的直角三角形。PAABH=ABADPAABH=ABADPD由有,ADPD即， 33ADPD;(2),而,即,，,是直角三角形；3時,即,的面積21解：1由求根公式，不妨設(shè)，得，2設(shè)，那么，由得，消去，得，是方程的根，由題意可知，當時，此時方程組的解記為即、分別是公比為、的等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得,兩式相減，得，即，當時，即方程有重根，即，得，不妨設(shè)，由可知，即，等式兩邊同時除以，得，即數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，綜上所述，3把，代入，得，解得絕密 啟

30、用前2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 廣東卷 數(shù)學理科本試卷共4頁，21小題，總分值150分?？荚囉脮r120分鐘。參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高選擇題：本大題共8小題，每題5分，總分值40分在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的巳知全集，集合和的關(guān)系的韋恩enn圖如圖1所示，那么陰影局部所示的集合的元素共有A個 個個 無窮個設(shè)是復數(shù)，表示滿足的最小正整數(shù)，那么對虛數(shù)單位， 假設(shè)函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過點，那么 等比數(shù)列滿足，且，那么當時， 5給定以下四個命題：假設(shè)一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；假設(shè)一個平面經(jīng)

31、過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行；假設(shè)兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直其中，為真命題的是和 和 .和 和6一質(zhì)點受到平面上的三個力單位：牛頓的作用而處于平衡狀態(tài)成角，且的大小分別為和，那么的大小為 72023年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，假設(shè)其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，那么不同的選派方案共有36種 12種 18種 48種8甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā),并沿同一路線假定為直線行駛甲車、乙車的速度曲

32、線分別為如圖2所示那么對于圖中給定的，以下判斷中一定正確的是A在時刻，甲車在乙車前面B時刻后，甲車在乙車后面C在時刻，兩車的位置相同D時刻后，乙車在甲車前面二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每題5分，總分值30分一必做題題隨機抽取某產(chǎn)品件，測得其長度分別為，那么圖3所示的程序框圖輸出的，s表示的樣本的數(shù)字特征是注：框圖中的賦值符號“=也可以寫成“：=假設(shè)平面向量滿足，平行于軸，那么.11巳知橢圓的中心在坐標原點，長軸在軸上，離心率為，且上一點到的兩個焦點的距離之和為12，那么橢圓的方程為12離散型隨機變量的分布列如右表假設(shè)，那么，二選做題13 15題，考生只能從中選做兩題13坐標系與

33、參數(shù)方程選做題假設(shè)直線與直線為參數(shù)垂直，那么14不等式選講選做題不等式的實數(shù)解為15(幾何證明選講選做題如圖4，點是圓上的點， 且，那么圓的面積等于三、解答題：本大題共6小題，總分值80分 16(本小題總分值12分向量互相垂直，其中1求的值； 2假設(shè)，求的值17本小題總分值12分根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API為整數(shù)的不同，可將空氣質(zhì)量分級如下表:對某城市一年365天的空氣質(zhì)量進行監(jiān)測，獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間進行分組，得到頻率分布直方圖如圖5.1求直方圖中的值； 2計算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù)；3求該城市某一周至少有2天的空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率.(結(jié)果用分數(shù)表示365=73518本

34、小題總分值分如圖，正方體的棱長為，點是正方形的中心，點、分別是棱的中點設(shè)點分別是點，在平面內(nèi)的正投影求以為頂點，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；證明：直線；求異面直線所成角的正統(tǒng)值19本小題總分值分曲線與直線交于兩點和，且記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域含邊界為設(shè)點是上的任一點，且點與點和點均不重合假設(shè)點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 假設(shè)曲線與點有公共點，試求的最小值20本小題總分值分二次函數(shù)的導函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值設(shè)假設(shè)曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；如何取值時，函數(shù)存在零點，并求出零點

35、w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21本小題總分值分曲線從點向曲線引斜率為的切線，切點為求數(shù)列的通項公式； 證明： 2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(理科)參考答案一、選擇題1-8 BCBC DDAA二、填空題9.【解析】；平均數(shù)10.【解析】或，那么或11.【解析】，那么所求橢圓方程為.12.【解析】由題知，解得，.13.【解析】，得.14.【解析】且15.【解析】解法一：連結(jié)、，那么，那么；解法二：，那么.三、解答題16. 解：1與互相垂直，那么，即，代入得，又，.2，那么，17.1由圖可知，解得；2；3該城市一年中每天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為，那么空氣質(zhì)量

36、不為良且不為輕微污染的概率為，一周至少有兩天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為.18. 解：1依題作點、在平面 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 內(nèi)的正投影、，那么、分別為、的中點，連結(jié)、，那么所求為四棱錐的體積，其底面面積為 ，又面，.2以為坐標原點，、所在直線分別作軸，軸，軸，得、，又，那么，即，又， 平面.3，那么，設(shè)異面直線 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 所成角為，那么.19. 解：1聯(lián)立與得，那么中點，設(shè)線段 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 的中點 EMBED Equatio

37、n.KSEE3 * MERGEFORMAT 坐標為，那么，即，又點在曲線上，化簡可得，又點 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 是 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 上的任一點，且不與點 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 和點 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 重合，那么，即，中點 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 的軌跡方程為.xAxBD2曲線 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT ，

38、即圓：，其圓心坐標為，半徑由圖可知，當時，曲線 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 與點 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 有公共點；當時，要使曲線 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 與點 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 有公共點，只需圓心到直線 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 的距離，得，那么 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 的最小值為.20. 解：1依題可設(shè) ()，那么；

39、又的圖像與直線平行 ， ， 設(shè)，那么當且僅當時，取得最小值，即取得最小值當時， 解得 當時， 解得 2由()，得 當時，方程有一解，函數(shù)有一零點；當時，方程有二解，假設(shè)，函數(shù)有兩個零點，即；假設(shè)，函數(shù)有兩個零點，即；當時，方程有一解, , 函數(shù)有一零點 綜上，當時, 函數(shù)有一零點；當()，或時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)有一零點.21. 解：1設(shè)直線 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT ：，聯(lián)立得，那么，舍去，即，2證明：由于，可令函數(shù)，那么，令，得，給定區(qū)間，那么有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在恒成立，又，那么有，即.2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(廣

40、東卷)數(shù)學(理科)一.選擇題：本大題共8小題,每題5分,總分值40分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的.1.假設(shè)集合 EMBED Equation.DSMT4 那么集合 EMBED Equation.DSMT4 A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4 2.假設(shè)復數(shù) EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED E

41、quation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4 3.假設(shè)函數(shù) EMBED Equation.DSMT4 與 EMBED Equation.DSMT4 的定義域均為 EMBED Equation.DSMT4 ,那么A. EMBED Equation.DSMT4 與 EMBED Equation.DSMT4 均為偶函數(shù) B. EMBED Equation.DSMT4 為偶函數(shù), EMBED Equation.DSMT4 為奇函數(shù)C. EMBED Equation.DSMT4 與 EMBED Equation.DSMT4 均

42、為奇函數(shù) D. EMBED Equation.DSMT4 為奇函數(shù), EMBED Equation.DSMT4 為偶函數(shù)4. EMBED Equation.DSMT4 為等比數(shù)列, EMBED Equation.DSMT4 是它的前 EMBED Equation.DSMT4 項和.假設(shè) EMBED Equation.DSMT4 , 且 EMBED Equation.DSMT4 與 EMBED Equation.DSMT4 的等差中項為 EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 w_w w.k*s_5 u.c o_m A. EMBED Equat

43、ion.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4 5.“ EMBED Equation.DSMT4 是“一元二次方程 EMBED Equation.DSMT4 有實數(shù)解的A.充分非必要條件 B.充分必要條件 C.必要非充分條件 D.非充分必要條件6.如圖 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 為等邊三角形, EMBED Equation.DSMT4 / EMBED Equation.DSMT4 / EMBED Equation.DS

44、MT4 , EMBED Equation.DSMT4 平面 EMBED Equation.DSMT4 且 EMBED Equation.DSMT4 ,那么多面體 EMBED Equation.DSMT4 的正視圖是A.B.C. D. 7隨機變量 EMBED Equation.DSMT4 服從正態(tài)分布 EMBED Equation.DSMT4 ,且 EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBE

45、D Equation.DSMT4 8.為了迎接 EMBED Equation.DSMT4 年廣州亞運會,某大樓安裝 EMBED Equation.DSMT4 個彩燈,它們閃亮的順序不固定,每個彩燈閃亮只能是紅,橙,黃,綠,藍中的一種顏色,且這 EMBED Equation.DSMT4 個彩燈閃亮的顏色各不相同.記這這 EMBED Equation.DSMT4 個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍,在每個閃爍中,每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮,而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為 EMBED Equation.DSMT4 妙.如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍,那么需要的時間至少是A. EMBED Equation.DSM

46、T4 秒 B. EMBED Equation.DSMT4 秒 C. EMBED Equation.DSMT4 秒 D. EMBED Equation.DSMT4 秒二.填空題：本大題共7小題,考生作答6小題, 必做題(9-13題)每題5分,總分值30分.9.函數(shù) EMBED Equation.DSMT4 的定義域是 .10.假設(shè)向量 EMBED Equation.DSMT4 ,滿足條件 EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 .11. EMBED Equation.DSMT4 分別是 EMBED Equation.DSMT4 的三個內(nèi)角 EM

47、BED Equation.DSMT4 所對的邊,假設(shè) EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 .12.圓心在 EMBED Equation.DSMT4 軸上,半徑為 EMBED Equation.DSMT4 的圓 EMBED Equation.DSMT4 位于 EMBED Equation.DSMT4 軸左側(cè),且與直線 EMBED Equation.DSMT4 相切,那么圓 EMBED Equation.DSMT4 的方程是 .13.某城市缺水問題比擬突出,為了制定節(jié)水管理方法,對全市居民某年的月均用水量進行了抽樣調(diào)查,其中 EMBED Eq

48、uation.DSMT4 位居民的月均用水量分別為 EMBED Equation.DSMT4 (單位：噸),根據(jù)圖 EMBED Equation.DSMT4 所示的程序框圖,假設(shè) EMBED Equation.DSMT4 ,且 EMBED Equation.DSMT4 分別為 EMBED Equation.DSMT4 ,那么輸出的結(jié)果 EMBED Equation.DSMT4 為 .14.(幾何證明選講選做題)如圖 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 是半徑為 EMBED Equation.DSMT4 的圓 EMBED Equation.DS

49、MT4 的兩條弦,它們相交于 EMBED Equation.DSMT4 的中點 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 _. 15.(坐標系與參數(shù)方程選做題)在極坐標系 EMBED Equation.DSMT4 中,曲線 EMBED Equation.DSMT4 與 EMBED Equation.DSMT4 的交點的極坐標為_.三.解答題：本大題共6小題,總分值80分。解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。16.(14分)函數(shù) EMBED Equat

50、ion.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 時取得最大值 EMBED Equation.DSMT4 .(1)求 EMBED Equation.DSMT4 的最小正周期； (2)求 EMBED Equation.DSMT4 的解析式； (3)假設(shè) EMBED Equation.DSMT4 ,求 EMBED Equation.DSMT4 .17.(12分)某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨即抽取該流水線上 EMBED Equation.DSMT4 件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量(單位：克)的分組區(qū)間為 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Eq

51、uation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖4所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求重量超過 EMBED Equation.DSMT4 克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的 EMBED Equation.DSMT4 件產(chǎn)品中任取 EMBED Equation.DSMT4 件,設(shè) EMBED Equation.DSMT4 為重量超過 EMBED Equation.DSMT4 克的產(chǎn)品數(shù)量,求 EMBED Equation.DSMT4 的分布列；(3)從流水線上任取 EMBED Equation.

52、DSMT4 件產(chǎn)品,求恰有 EMBED Equation.DSMT4 件產(chǎn)品的重量超過 EMBED Equation.DSMT4 克的概率.18.(14分)如圖5,ABCE圍成圖形是半徑為 EMBED Equation.DSMT4 的半圓, EMBED Equation.DSMT4 為直徑,點 EMBED Equation.DSMT4 為弧AC的中點,點 EMBED Equation.DSMT4 和點 EMBED Equation.DSMT4 為線段 EMBED Equation.DSMT4 的三等分點。平面 EMBED Equation.DSMT4 外一點 EMBED Equation.DS

53、MT4 滿足 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .(1)證明： EMBED Equation.DSMT4 ；(2)點 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 分別為線段 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 上的點,使得 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,求平面 EMBED Equation.DSMT4 與平面 EMBED Equation.DSMT4 所成二面角的正弦值.19.(12分)

54、某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐.一個單位的午餐含 EMBED Equation.DSMT4 個單位的碳水化合物 EMBED Equation.DSMT4 個單位蛋白質(zhì)和 EMBED Equation.DSMT4 個單位的維生素 EMBED Equation.DSMT4 ；一個單位的晚餐含 EMBED Equation.DSMT4 個單位的碳水化合物, EMBED Equation.DSMT4 個單位的蛋白質(zhì)和 EMBED Equation.DSMT4 個單位的維生素 EMBED Equation.DSMT4 .另外,該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含 EMBED Equation.DSMT4

55、個單位的碳水化合物, EMBED Equation.DSMT4 個單位的蛋白質(zhì)和 EMBED Equation.DSMT4 個單位的維生素 EMBED Equation.DSMT4 .如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是 EMBED Equation.DSMT4 元和 EMBED Equation.DSMT4 元,那么要滿足上述的營養(yǎng)要求,并且花費最少,應(yīng)當為該兒童分別預(yù)定多少個單位的午餐和晚餐？20.(14分)雙曲線 EMBED Equation.DSMT4 的左、右頂點分別為 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,點 EMBED Equa

56、tion.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 是雙曲線上不同的兩個動點.(1)求直線 EMBED Equation.DSMT4 與 EMBED Equation.DSMT4 交點的軌跡 EMBED Equation.DSMT4 的方程；(2)假設(shè)過點 EMBED Equation.DSMT4 的兩條直線 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 與軌跡 EMBED Equation.DSMT4 都只有一個交點,且 EMBED Equation.DSMT4 ,求 EMBED Equation.DSMT4 的值.21.(14分)設(shè)

57、 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 是平面直角坐標系 EMBED Equation.DSMT4 上的兩點,先定義由點 EMBED Equation.DSMT4 到點 EMBED Equation.DSMT4 的一種折線距離 EMBED Equation.DSMT4 .對于平面 EMBED Equation.DSMT4 上給定的不同的兩點 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .(1)假設(shè)點 EMBED Equation.DSMT4 是平面 EMBED Equation.DSMT4 上的點,試

58、證明 EMBED Equation.DSMT4 ；(2)在平面 EMBED Equation.DSMT4 上是否存在點 EMBED Equation.DSMT4 ,同時滿足 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 假設(shè)存在,請求所給出所有符合條件的點；假設(shè)不存在,請予以證明.2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(理科)參考答案一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，總分值40分1D【解析】 EMBED Equation.DSMT4 2A【解析】 EMBED Equation.DSMT4 3B【解析】 EMBED Equation.DSM

59、T4 4C【解析】設(shè) EMBED Equation.DSMT4 的公比為 EMBED Equation.DSMT4 ，那么由等比數(shù)列的性質(zhì)知， EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 。由 EMBED Equation.DSMT4 與2 EMBED Equation.DSMT4 的等差中項為 EMBED Equation.DSMT4 知， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.

60、DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 .5A【解析】由 EMBED Equation.DSMT4 知， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 或由 EMBED Equation.DSMT4 得 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 。 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 反之不成立，應(yīng)選A。6D7B【