概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)5課件

1、第六講隨機(jī)變量及其分布 一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生 在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念. 1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； 七月份濟(jì)南的最高溫度；每天從濟(jì)南下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；2、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化. 正如裁判員在運(yùn)動場上不叫運(yùn)動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應(yīng)關(guān)系. 這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種取值為實(shí)數(shù)的函數(shù)（實(shí)值函數(shù)）.RX( ) 稱定義在樣本空間上取值為實(shí)數(shù)的函數(shù)稱為隨量機(jī)變簡記為 r.v.

2、 （Random Variable）例 拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果 , 可以用一個(gè)變量來描述. 注： 讓樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)對應(yīng)，賦予隨機(jī)變量一定的實(shí)際含義即可。例題舉例二、隨機(jī)變量的分類 重點(diǎn)介紹兩類： 如“取到次品的個(gè)數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)”等.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)一一列舉（有限或可列）例如，“電視機(jī)的壽命”，實(shí)際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值無窮多，充滿一個(gè)或幾個(gè)區(qū)間. 有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來. 三、引入隨機(jī)變量的意義 如：單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量. 事件:收到不少于

3、1次呼叫 X 1 沒有收到呼叫 X= 0 例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測量他的身高. 我們可以把可能的身高看作隨機(jī)變量X,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題. 如 X1.7; X1.5 1.5Xx一、定義：設(shè) X 是一個(gè) r.v，稱為 X 的分布函數(shù). 記作 X F(x) 或 FX(x). 如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X落在區(qū)間的概率.1、分布函數(shù)用來計(jì)算事件的概率；2、定義在R上，取值為0,1的函數(shù)，3、利用分布函數(shù)，可以求X所生成的任意事件的概率。三、分布函數(shù)的性質(zhì)(1) F(x) 非降，即若 x1x2，則F(x1) F(x2) ;(2) F(

4、) = F(x) = 0 (3) F(x) 右連續(xù)，即 如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)r.v X 的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)(1)-(3)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.F( ) = F(x) = 1試說明F(x)能否是某個(gè)r.v 的分布函數(shù).例 設(shè)有函數(shù) F(x)解： 注意到函數(shù) F(x)在 上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).例6 練習(xí)3以下首先介紹離散型隨機(jī)變量及其概率分布d.r.v. 設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是 x1, x2 , . 為了描述隨機(jī)變量 X ，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的所有可能取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概

5、率. 這樣，我們就掌握了X這個(gè)隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取3 個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2取每個(gè)值的概率為例1其中概率分布 (i=1,2, ) 滿足： i=1,2, （1）（2） 定義1 ：設(shè)xi(i=1,2, )是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱為離散型r.v.X的概率函數(shù)或概率分布.反之，用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是概率函數(shù)一、離散型r.v.概率分布的定義非負(fù)性正則性二 已知X的概率分布，求事件的概率。XP 0 1 2 30.2 0.3 0.1 0.4綜上：由X生成的任一事件的概率均可由其概率分布求出當(dāng) x0 時(shí)， X x = ， 故 F(x) =0例1，求 F(x).當(dāng) 0 x 1 時(shí)， F(x) = P(X x) = P(X=0) =F(x) = P(X x)解:由概率分布確定分布函數(shù)當(dāng) 1 x 2 時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =當(dāng) x 2 時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1例1，求 F(x).F(x) = P(X x)解:故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下.概率函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫 分布函數(shù)圖 不難看出，F(xiàn)(x) 的圖形是階梯狀的圖形，在 x=0，1，2 處有跳