2023中考真題匯編-二次函數(shù)

1、2023全國中考真題解析考點匯編二次函數(shù)的幾何應用一、選擇題1. 2023安順正方形ABCD邊長為1，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點，且AE=BF=CG=DH設小正方形EFGH的面積為y，AE=x那么y關于x的函數(shù)圖象大致是A、B、C、D、考點：二次函數(shù)綜合題。分析：由得BE=CF=DG=AH=1x，根據(jù)y=S正方形ABCDSAEHSBEFSCFGSDGH，求函數(shù)關系式，判斷函數(shù)圖象解答：解：依題意，得y=S正方形ABCDSAEHSBEFSCFGSDGH=14 QUOTE 1xx=2x22x+1，即y=2x22x+10 x1，拋物線開口向上，對稱軸為x= QUOTE ，應選

2、C點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合運用關鍵是根據(jù)題意，列出函數(shù)關系式，判斷圖形的自變量取值范圍，開口方向及對稱軸二、填空題1. 2023山東日照，16，4分正方形ABCD的邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AMMN當BM=2時，四邊形ABCN的面積最大考點：二次函數(shù)的最值；正方形的性質；相似三角形的判定與性質。專題：應用題。分析：設BM=x，那么MC=4x，當AMMN時，利用互余關系可證ABMMCN，利用相似比求CN，根據(jù)梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數(shù)的性質求面積的最大值解答：解：設BM=x，那么MC=4x，AMN=90，AMB=90NMC=MNC，AB

3、MMCN，那么，即，解得CN=，S四邊形ABCN= QUOTE 44+ QUOTE = QUOTE x2+2x+8， QUOTE 0，當x=2時，S四邊形ABCN最大故答案為：2點評：此題考查了二次函數(shù)的性質的運用關鍵是根據(jù)條件判斷相似三角形，利用相似比求函數(shù)關系式三、解答題1. 2023江蘇淮安，26，10分如圖，二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象與x軸的一個交點為A(4,0)，與y軸交于點B.(1)求此二次函數(shù)關系式和點B的坐標；(2)在x軸的正半軸上是否存在點P，使得PAB是以AB為底的等腰三角形？假設存在，求出點P的坐標；假設不存在，請說明理由.考點：二次函數(shù)綜合題。專題：綜合題。分析

4、：1把點A的坐標代入二次函數(shù)，求出b的值，確定二次函數(shù)關系式，把x=0代入二次函數(shù)求出點B的坐標2作AB的垂直平分線，交x軸于點P，求出點P的坐標，假設點P的橫坐標是正數(shù)，那么點P就符合題意，這樣的點是存在的解答：解：1把點A4，0代入二次函數(shù)有： 0=16+4b+3,得：b= QUOTE 所以二次函數(shù)的關系式為：y=x2+ QUOTE x+3當x=0時，y=3, 點B的坐標為0，32如圖：作AB的垂直平分線交x軸于點P，連接BP，那么：BP=AP設BP=AP=x，那么OP=4x，在直角OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+4x2,解得：x= QUOTE ，OP=4 QUOTE =

5、QUOTE 所以點P的坐標為： QUOTE ，0點評：此題考查的是二次函數(shù)的綜合題，1根據(jù)二次函數(shù)的概念求出拋物線的解析式及點B的坐標2根據(jù)等腰三角形的性質，利用勾股定理求出點P的坐標2. 2023江蘇淮安，28，12分如圖，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，點P在AB上，AP=2.點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立即以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止.在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與ABC在線段AB的同側，設E、F運動的時間為t秒t0，正方形EFGH與ABC重疊局

6、部面積為S.(1)當t=1時，正方形EFGH的邊長是；當t=3時，正方形EFGH的邊長是；(2)當0t2時，求S與t的函數(shù)關系式；(3)直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？考點：相似三角形的判定與性質；二次函數(shù)的最值；勾股定理；正方形的性質。專題：計算題；幾何動點問題；分類討論。分析：1當時t=1時，可得，EP=1，PF=1，EF=2即為正方形EFGH的邊長；當t=3時，PE=1，PF=3，即EF=4；2正方形EFGH與ABC重疊局部的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形；可分三段分別解答：當0t QUOTE 時；當 QUOTE t QUOTE 時；當 QUOTE t

7、2時；依次求S與t的函數(shù)關系式；3當t=5時，面積最大；解答：解：1當時t=1時，那么PE=1，PF=1，正方形EFGH的邊長是2；當t=3時，PE=1，PF=3，正方形EFGH的邊長是4；2：當0t QUOTE 時， S與t的函數(shù)關系式是y=2t2t=4t2；當 QUOTE t QUOTE 時， S與t的函數(shù)關系式是： y=4t2 QUOTE 2t QUOTE 2t QUOTE 2t QUOTE 2t = QUOTE t2+11t3；當 QUOTE t2時； S與t的函數(shù)關系式是y= QUOTE t+2 QUOTE t+2 QUOTE 2t2t=3t；3當t=5時，最大面積是： S=16 Q

8、UOTE QUOTE QUOTE = QUOTE ；點評：此題考查了動點函數(shù)問題，其中應用到了相似形、正方形及勾股定理的性質，鍛煉了學生運用綜合知識解答題目的能力3. 2023江蘇連云港，25，10分如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其頂點在直線y=2x上.(1)求a的值；(2)求A,B兩點的坐標;(3)以AC,CB為一組鄰邊作ABCD,那么點D關于x軸的對稱點D是否在該拋物線上?請說明理由.考點：二次函數(shù)綜合題。分析：1根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標的求法得出頂點坐標，再代入一次函數(shù)即可求出a的值；2根據(jù)二次函數(shù)解析式求出與x軸的交點坐標即是A，B兩點的坐標；3根據(jù)平行四邊形的性質得

9、出D點的坐標，即可得出D點的坐標，即可得出答案解答：解：1拋物線y= QUOTE x2x+a其頂點在直線y=2x上拋物線y= QUOTE x2x+a= QUOTE x22x+a= QUOTE x12 QUOTE +a，頂點坐標為：1， QUOTE +a，y=2x， QUOTE +a=2，a= QUOTE ；2二次函數(shù)解析式為：y= QUOTE x2x QUOTE ，拋物線y= QUOTE x2x QUOTE 與x軸交于點A，B，0= QUOTE x2x QUOTE ，整理得：x22x3=0，解得：x=1或3， A1，0，B3，0；3作出平行四邊形ACBD，作DEAB，二次函數(shù)解析式為：y= Q

10、UOTE x2x QUOTE ，圖象與y軸交點坐標為：0， QUOTE ，CO= QUOTE ，DE= QUOTE ，CAO=DBE，DEB=AOC，AOCBDE，AO=1，BE=1， D點的坐標為：2， QUOTE ，點D關于x軸的對稱點D坐標為：2， QUOTE ，代入解析式y(tǒng)= QUOTE x2x QUOTE ，左邊= QUOTE ，右邊= QUOTE 42 QUOTE = QUOTE ，D點在函數(shù)圖象上點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及平行四邊形的性質，根據(jù)平行四邊形的性質得出D點的坐標是解決問題的關鍵4. 2023江蘇蘇州，29，10分巳知二次函數(shù)y=ax2-6x+8a0的圖

11、象與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C點D是拋物線的頂點1如圖連接AC，將OAC沿直線AC翻折，假設點O的對應點0恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數(shù)a的值；2如圖，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是4，4、4，3，邊HG位于邊EF的右側小林同學經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個正確的命題：“假設點P是邊EH或邊HG上的任意一點，那么四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等即這四條線段不能構成平行四邊形“假設點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛剛的結論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；3如圖，當點P在拋物線對稱軸上時，設點P的縱坐標l是大于3的常數(shù)，試問：是否存在

12、一個正數(shù)阿a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等即這四條線段能構成平行四邊形？請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題分析：1此題需先求出拋物線與x軸交點坐標和對稱軸，再根據(jù)OAC=60得出AO，從而求出a2此題需先分兩種情況進行討論，當P是EF上任意一點時，可得PCPB，從而得出PBPA，PBPC，PBPD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形3此題需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出關于t與a的方程，從而得出a的值，即可求出答案解答：解：1令y0，由解得；令x0，解得y8a點A、B、C的坐標分別是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，該拋物線對稱軸

13、為直線x3OA2如圖，時拋物線與x軸交點為M，那么AM1由題意得：，OAM60BAyO(圖)xDCBAyO(圖)xDCEFGHM2假設點P是邊EF或邊FG上的任意一點，結論同樣成立如圖，設點P是邊EF上的任意一點 (不與點E重合)，連接PM點E(4，4)、F(4，3)與點B(4，0)在一直線上，點C在y軸上，PBPB又PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形設P是邊FG上的任意一點(不與點G重合)，點F的坐標是(4，3)，點G的坐標是(5，3)FB3，3PB3，4t2280方程7a22ta10有兩個不相等的實數(shù)根 顯然，滿足題意當

14、t是一個大于3的常數(shù),存在一個正數(shù)，使得線段PA、PB、PC能構成一個平行四邊形點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時要注意運用數(shù)形結合和分類討論，把二次函數(shù)的圖象與性質和平行四邊形的判定相結合是此題的關鍵5. 2023江蘇宿遷，27，12如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB的中點，Q為邊CD上一動點，設DQ=t0t2，線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點M、N，過Q作QEAB于點E，過M作MFBC于點F1當t1時，求證：PEQNFM；2順次連接P、M、Q、N，設四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的函數(shù)關系式，并求S的最小值考點：正方形的性質；二次函數(shù)的最值

15、；全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；勾股定理。專題：代數(shù)幾何綜合題。分析：1由四邊形ABCD是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而證得；2由點P是邊AB的中點，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由PEQNFM得到PQ的值，又PQMN求得面積S，由t范圍得到S的最小值解答：證明：1四邊形ABCD是正方形，A=B=D=90，AD=AB，QEAB，MFBC，AEQ=MFB=90，四邊形ABFM、AEQD都是矩形，MF=AB，QE=AD，MFQE，又PQMN，EQP=FMN，又QEP=MFN=90，PEQNFM；2點P是邊AB的中點，AB2，DQAE

16、tPA1，PE1t，QE2由勾股定理，得PQPEQNFMMNPQ又PQMNSt2t0t2當t1時，S最小值2綜上：St2t，S的最小值為2點評：此題考查了正方形的性質，1由四邊形ABCD是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而證得；2由勾股定理求得PQ，由PEQNFM得到PQ的值，又PQMN求得面積S，由t范圍得到答案6.2023江蘇徐州，28，12如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點P，頂點為C1，21求此函數(shù)的關系式；2作點C關于x軸的對稱點D，順次連接A，C，B，D假設在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的

17、兩個四邊形，求點E的坐標；3在2的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得PEF是以P為直角頂點的直角三角形？假設存在，求出點F的坐標及PEF的面積；假設不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題。專題：代數(shù)幾何綜合題。分析：1將頂點坐標C1，2代入y=x2+bx+c即可求得此二次函數(shù)的關系式；2先求出直線PM的解析式，然后與二次函數(shù)聯(lián)立即可解得點E的坐標；3根據(jù)三角形相似的性質先求出GP=GF，求出F點的坐標，進而求得PEF的面積解答：解1y=x2+bx+c的頂點為1，2y=x122，y=x22x1；2連結CD交AB于點M，根據(jù)軸對稱性可知MA=MB,MC=MD,ABCD,所以四邊形ACBD是菱形，

18、過點M的任意一條直線都把菱形ACBD的面積平分，所以直線PM平分菱形ACBD的面積因為y=與y相交于點P0,1, 頂點為點C1，2所以點M的坐標為1，0設直線PM的解析式為y=kx+b那么，解之得所以直線PM的解析式為y=x1解方程組，得或所以點E的坐標為3，2.3過點P作直線PQPM,那么直線PQ的表達式為y=x1解方程組，得或所以直線PQ與拋物線的交點F是拋物線的頂點C1，2.所以PE= ,PC=所以PEF的面積為點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及的到的知識點有拋物線的公式的求法及三角形的相似等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結合等數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中

19、檔題7. 2023南昌，25，10分如下圖，拋物線m：y=ax2+ba0，b0與x軸于點A、B點A在點B的左側，與y軸交于點C將拋物線m繞點B旋轉180，得到新的拋物線n，它的頂點為C1，與x軸的另一個交點為A11當a=1，b=1時，求拋物線n的解析式；2四邊形AC1A3假設四邊形AC1A1C為矩形，請求出a考點：二次函數(shù)綜合題專題：代數(shù)幾何綜合題分析：1根據(jù)a=1，b=1得出拋物線m的解析式，再利用C與C1關于點B中心對稱，得出二次函數(shù)的頂點坐標，即可得出答案；2利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可證明；3利用矩形性質得出要使平行四邊形AC1A1C是矩形，必須滿足AB解答：解：1當a

20、=1，b=1時，拋物線m的解析式為：y=x2+1令x=0，得：y=1C0，1令y=0，得：x=1A1，0，B1，0，C與C1關于點B中心對稱，拋物線n的解析式為：y=x221=x24x+3；2四邊形AC1A理由：C與C1、A與A1都關于點B中心對稱，AB=BA1，BC=BC1，四邊形AC1A3令x=0，得：y=bC0，b令y=0，得：ax2+b=0，.要使平行四邊形AC1A1C是矩形，必須滿足AB=BC，ab3a、b應滿足關系式ab3點評：此題主要考查了平行四邊形的性質以及矩形的性質和點的坐標關于一點中心對稱的性質，靈活應用平行四邊形的性質是解決問題的關鍵8.2023內蒙古呼和浩特，25，12

21、拋物線y1=x2+4x+1的圖象向上平移m個單位m0得到的新拋物線過點1，81求m的值，并將平移后的拋物線解析式寫成y2=ax-h2+k的形式；2將平移后的拋物線在x軸下方的局部沿x軸翻折到x軸上方，與平移后的拋物線沒有變化的局部構成一個新的圖象請寫出這個圖象對應的函數(shù)y的解析式，并在所給的平面直角坐標系中直接畫出簡圖，同時寫出該函數(shù)在-3x時對應的函數(shù)值y的取值范圍；3設一次函數(shù)y3=nx+3n0，問是否存在正整數(shù)n使得2中函數(shù)的函數(shù)值y=y3時，對應的x的值為-1x0，假設存在，求出n的值；假設不存在，說明理由考點：二次函數(shù)綜合題分析：1根據(jù)拋物線y1=x2+4x+1的圖象向上平移m個單位

22、，可得y2=x2+4x+1+m，再利用又點1，8在圖象上，求出m即可；2根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖象，即可得出函數(shù)大小分界點；3根據(jù)當y=y3且對應的-1x0時，x2+4x+3=nx+3，得出n取值范圍即可得出答案解答：解：1由題意可得y2=x2+4x+1+m，又點1，8在圖象上，8=1+41+1+m，m=2，y2=x+22-1；2當3x時，0y-1；3不存在，理由：當y=y3且對應的-1x0時，x2+4x+3=nx+3，x1=0，x2=n-4，且-1n-40得3n4，不存在正整數(shù)n滿足條件點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及圖象交點求法，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形

23、結合是這局部考查的重點也是難點同學們應重點掌握9.2023寧夏，26，10分在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6動點M、N分別在兩腰AB、AC上M不與A、B重合，N不與A、C重合，且MNBC將AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P1當MN為何值時，點P恰好落在BC上？2當MN=x，MNP與等腰ABC重疊局部的面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關系式當x為何值時，y的值最大，最大值是多少？考點：翻折變換折疊問題；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質；相似三角形的判定與性質。分析：1首先連接AP，交MN于O，由MNBC將AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P，即可得AMNABC， QUO

24、TE ，那么可求得當MN為何值時，點P恰好落在BC上；2此題需要分為當AO QUOTE AD時與當AO QUOTE AD時去分析，首先由AMNABC，求得各線段的長，然后求MNP與等腰ABC重疊局部的面積，即可得關于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法，即可求得答案解答：解：1連接AP，交MN于O，將AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P，OA=OP，APMN，AN=PN，AM=PM，MNBC，AMNABC，AOMN， QUOTE ，BC=6，MN=3，當MN=3時，點P恰好落在BC上；3過點A作ADBC于D，交MN于O，MNBC，AOMN，AMNABC， QUOTE ，AB=AC=

25、5，BC=6，ADBC，ADB=90，BD= QUOTE BC=3，AD=4， QUOTE ，AO= QUOTE x，SAMN= QUOTE MNAO= QUOTE x QUOTE x= QUOTE x2，當AO QUOTE AD時，根據(jù)題意得：SPMN=SAMN，MNP與等腰ABC重疊局部的面積為SAMN，y= QUOTE x2，當AO= QUOTE AD時，即MN= QUOTE BC=3時，y最小，最小值為3；當AO QUOTE AD時，連接AP交MN于O，那么AOMN，MNBC，APBC，AMNABC，PEFPMNAMN， QUOTE ， QUOTE ，即： QUOTE ， QUOTE

26、，AO= QUOTE x， QUOTE ，EF=2x6，OD=ADAO=4 QUOTE x，y=S梯形MNFE=EF+MNOD= QUOTE 2x6+x4 QUOTE x=x42+4，當x=4時，y有最大值，最大值為4，綜上所述：當x=4時，y的值最大，最大值是4點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，二次函數(shù)的最值問題等知識解題的關鍵是方程思想、分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用10. 2023山東日照，24，10分如圖，拋物線y=ax2+bxa0與雙曲線y= QUOTE 相交于點A，B點B的坐標為2，2，點A在第一象限內，且tanAOx=4過點A作直線ACx軸，交拋物線于另一點C1求雙曲線和

27、拋物線的解析式；2計算ABC的面積；3在拋物線上是否存在點D，使ABD的面積等于ABC的面積假設存在，請你寫出點D的坐標；假設不存在，請你說明理由考點：二次函數(shù)綜合題。專題：代數(shù)幾何綜合題。分析：1根據(jù)條件可以推出A點的坐標，把A、B兩點的坐標代入拋物線解析式和雙曲線解析式，即可得出a、b、k的值，就可以確定雙曲線和拋物線的解析式了；2根據(jù)A、B拋物線解析式，可以確定C點的坐標，即可去頂AC和AC邊上的高的長度，就可以計算出ABC的面積了；3根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)A、B兩點坐標出去直線AB相應的一次函數(shù)結合C點的坐標，CDAB，得出直線CD相應的一次函數(shù)，然后結合D點也在拋物線上，解方程組，求

28、D點坐標解答：解：1把點B2，2的坐標，代入y= QUOTE ，得：2= QUOTE ，k=4即雙曲線的解析式為：y= QUOTE 2分設A點的坐標為m，nA點在雙曲線上，mn=4又tanAOx=4， QUOTE =4，即m=4n又，得：n2=1，n=1A點在第一象限，n=1，m=4，A點的坐標為1，4把A、B點的坐標代入y=ax2+bx，得： QUOTE 解得a=1，b=3；拋物線的解析式為：y=x2+3x；4分2ACx軸，點C的縱坐標y=4，代入y=x2+3x，得方程x2+3x4=0，解得x1=4，x2=1舍去C點的坐標為4，4，且AC=5，6分又ABC的高為6，ABC的面積= QUOTE

29、 56=15；7分3存在D點使ABD的面積等于ABC的面積過點C作CDAB交拋物線于另一點D因為直線AB相應的一次函數(shù)是：y=2x+2，且C點的坐標為4，4，CDAB，所以直線CD相應的一次函數(shù)是：y=2x+129分解方程組 QUOTE 得 QUOTE 所以點D的坐標是3，1810分點評：此題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的到大知識點根據(jù)點的坐標求拋物線解析式和雙曲線解析式以及三角形的面積求法關鍵在于根據(jù)點的坐標和相關的知識點求拋物線解析式，曲線解析式和直線解析式11. 2023山西，26，14分如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形，直線l經(jīng)過O、C兩點，點A的坐標為8，0，點

30、B的坐標為11，4，動點P在線段OA上從點O出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A B C的方向向點C運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線OCB相交于點M，當P、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒t 0，MPQ的面積為S1點C的坐標為_，直線l的解析式為_；2試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍3試求題2中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值4隨著P、Q兩點的運動，當點M在線段BC上運動時，設PM的延長線與直線l相交于點N試探究：當t為何值時，QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值

31、考點：二次函數(shù)，一次函數(shù)，三角形面積，最值，分類討論專題：壓軸題分析：由題意不難得出點C的坐標為(3，4)因為直線l經(jīng)過O、C兩點，所以設其解析式為，將點C(3，4)代入，解得，所以直線l 的解析式為求 S與t的函數(shù)關系式，關鍵是確定MP及點Q到MP的距離根據(jù)題意，得OPt， AQ2t， 根據(jù)動點的運動過程，需分三種情況來討論當0t時； 如圖第26題2圖1，由題意可證AEQODC，得，Q點的坐標是， 當t3時； 如圖第26題2圖2，BQ2t5，OF11(2t5)162tQ點的坐標是162t，4PF162tt163t當3t時，如圖第26題2圖3，當點Q與點M相遇時，162tt，解得當3t時，如圖

32、3，MQ162tt163t，MP4根據(jù)題2中S與t的函數(shù)關系，先分別求出當0t時；當t3時；當3t時， t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值最后綜合上述各情況判斷得出t為何值時， S的最大值當0t時，a0，拋物線開口向上，對稱軸為直線x20，當0t時，S隨t的增大而增大當t時，S有最大值，最大值為 當t3時， a20拋物線開口向下，當時，S有最大值，最大值為當3t時，k60，S隨t的增大而減小又當t3時，S14當t時，S0，0S14綜上所述，當時，S有最大值，最大值為如圖第26圖4，當NMMQ時，即，QMN為等腰三角形解答：13，4；2根據(jù)題意，得OP t，AQ2 t，分三種情況討論：當0

33、t時，如圖1，M點的坐標是，過點C作CDx軸于D，過點Q作QEx軸于E，可得AEQODC，AE，EQ，Q點的坐標是，PE8t8，當 t 3時，如圖2，過點Q作QFx軸于F，BQ2t5，OF11(2t5)162t，Q點的坐標是162t，4，PF162t163 t 當點Q與點M相遇時，162 t t，解得t當3 t 時，如圖3，MQ162t t 163t，MP4，3當0 0時，拋物線開口向上，對稱軸為直線t 20，當0 t 時，S隨t的增大而增大，當t時，S有最大值最大值為當 t3時，a20，拋物線開口向下，當t時，S有最大值，最大值為當3 t 時，S 6t32，k60，S隨著t的增大而減小，又當

34、t3時，S14，當t時，S0，所以0S0，a為常數(shù))，并經(jīng)過點(2a，2a)，點D0，(1)求含有常數(shù)a的拋物線的解析式；(2)設點P是拋物線任意一點，過P作PHx軸，垂足是H，求證：PD = PH；(3)設過原點O的直線l與拋物線在第一象限相交于A、B兩點，假設DA=2DB，且SABD = 4 eq r(sdo1(),2)，求a的值.(24題圖)(24題圖)考點：二次函數(shù)綜合題分析：1根據(jù)拋物線的圖象假設出解析式為y=kx2+a，將經(jīng)過點2a，2a，代入求出即可；2根據(jù)勾股定理得出PD2=DG2+PG2，進而求出PD=PH；3利用2中結論得出BE=DB，AF=DA，即可得出B是OA的中點，進

35、而得出SOBD=SABD=4 ，即可得出a的值答案：24解：1設拋物線的解析式為y=kx2+a點D2a，24a2k+a = 2ak = eq f(1,4a)拋物線的解析式為y= eq f(1,4a)x2+a(24題圖)(24題圖) 2設拋物線上一點Px，y，過P作PHx軸，PGy軸，在RtGDP中， 由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=(y2a)2+x2 =y2 4ay+4a2+y= eq f(1,4a)x2+ax2 = 4a (ya)= 4ay4a2PD 2= y2 4ay+4a2 +4ay4a2= y2 =PD = PH 3過B點BE x軸，AFx軸. 由2的結論：BE=DBAF=DAD

36、A=2DBAF=2BEAO = 2BOB是OA的中點，C是OD的中點， 連結BCBC= eq f(DA,2) = eq f(AF,2) = BE = DB 過B作BRy軸，BRCDCR=DR，OR= a+ eq f(a,2) = eq f(3a,2) ，B點的縱坐標是 eq f(3a,2)，又點B在拋物線上， eq f(3a,2) = eq f(1,4a)x2+ax2 =2a2x0 x = eq r(sdo1(),2)aB ( eq r(sdo1(),2)a， eq f(3a,2) ) AO = 2OB， SABD=SOBD = 4 eq r(sdo1(),2) 所以， eq f(1,2)2a

37、 eq r(sdo1(),2)a= 4 eq r(sdo1(),2)a2= 4 a0 a = 2 點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及勾股定理的應用，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結合是這局部考查的重點也是難點同學們應重點掌握.44. 2023四川雅安，25,12分如圖，二次函數(shù)y=ax2+2x+ca0圖象的頂點M在反比例函數(shù) QUOTE * MERGEFORMAT 上，且與x軸交于AB兩點1假設二次函數(shù)的對稱軸為 QUOTE * MERGEFORMAT ，試求a，c的值；2在1的條件下求AB的長；3假設二次函數(shù)的對稱軸與x軸的交點為N，當NO+MN取最小值時，試

38、求二次函數(shù)的解析式考點：二次函數(shù)綜合題。分析：1根據(jù)對稱軸x=，求得二次函數(shù)y=ax2+2x+ca0中的a，再根據(jù)頂點在反比例函數(shù) QUOTE * MERGEFORMAT 上，求出c即可；2求得拋物線與x軸的交點坐標，再用點B的橫坐標減去點A的橫坐標即可3可用含有a的式子表示點M、N的坐標，即求出a的值，再求得解析式解答：解：1二次函數(shù)的對稱軸為 QUOTE * MERGEFORMAT ， QUOTE * MERGEFORMAT = QUOTE * MERGEFORMAT ，解得a=2，二次函數(shù)y=ax2+2x+ca0圖象的頂點M在反比例函數(shù) QUOTE * MERGEFORMAT 上，頂點為

39、，c， QUOTE * MERGEFORMAT c QUOTE * MERGEFORMAT =3，解得c= QUOTE * MERGEFORMAT ，二次函數(shù)的解析式為y=2x2+2x QUOTE * MERGEFORMAT ；2二次函數(shù)的解析式為y=2x2+2x QUOTE * MERGEFORMAT ；令y=0，2x2+2x=0；解得x= QUOTE * MERGEFORMAT AB= QUOTE * MERGEFORMAT =2；3根據(jù)對稱軸x=，當x= QUOTE * MERGEFORMAT 時，y=3a，NO+MN= QUOTE * MERGEFORMAT +3a= QUOTE *

40、MERGEFORMAT ，要使NO+MN最小，那么3a2+1最小即可，即3a2=1時，a=，此時二次函數(shù)的解析式為y= QUOTE * MERGEFORMAT x2+2x+3點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有最值問題和兩點之間的距離等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結合等數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題45. 如圖，拋物線與軸交于，0、，0兩點，且，與軸交于點，其中是方程的兩個根.1求拋物線的解析式；2點是線段上的一個動點，過點作，交于點，連接，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標；3點在1中拋物線上，點為拋物線上一動點，在軸上是否存在點，使以為頂點的四邊形是平

41、行四邊形，如果存在，求出所有滿足條件的點的坐標，假設不存在，請說明理由.考點：二次函數(shù)綜合題yyxOBMNCA28題圖分析：1根據(jù)一元二次方程解法得出A，B兩點的坐標，再利用交點式求出二次函數(shù)解析式；2首先判定MNAABC得出，進而得出函數(shù)的最值；3分別根據(jù)當AF為平行四邊形的邊時，AF平行且等于DE與當AF為平行四邊形的對角線時，分析得出符合要求的答案解答：解：1，. ，.又拋物線過點、，故設拋物線的解析式為，將點的坐標代入，求得。拋物線的解析式為.2設點的坐標為，0，過點作軸于點如圖1。點的坐標為，0，點的坐標為6，0，.MNBC，AMNABC.，. .。當時，有最大值4。此時，點的坐標為

42、2，0.3點4，在拋物線上，當時，點的坐標是4，。如圖2，當為平行四邊形的邊時，4，.， .如圖3，當為平行四邊形的對角線時，設，那么平行四邊形的對稱中心為，0.的坐標為，4。把，4代入，得.解得 .，.yxyxOBEA圖2DyxOBMNCA圖1HyyxOBEA圖3D點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結合是這局部考查的重點也是難點同學們應重點掌握46.2023四川眉山，26，11分如圖，在直角坐標系中，點A0，1，B4，4，將點B繞點A順時針方向90得到點C；頂點在坐標原點的拋物線經(jīng)過點B1求拋物線的解析式和點C的坐標；2拋物線上一動

43、點P，設點P到x軸的距離為d1，點P到點A的距離為d2，試說明d2=d1+1；3在2的條件下，請?zhí)骄慨旤cP位于何處時，PAC的周長有最小值，并求出PAC的周長的最小值考點：二次函數(shù)綜合題。專題：綜合題。分析：1設拋物線的解析式：y=ax2，把B4，4代入即可得到a的值；過點B作BEy軸于E，過點C作CDy軸于D，易證RtBAERtACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OEOA=41=3，即可得到C點坐標3，5；2設P點坐標為a，b，過P作PFy軸于F，PHx軸于H，那么有d1= QUOTE a2，又AF=OFOA=PHOA=d11= QUOTE a21，PF=a，在RtPAF中，利用勾股定理

44、得到PA=d2= QUOTE a2+1，即有結論d2=d1+1；3PAC的周長=PC+PA+5，由2得到PAC的周長=PC+PH+6，要使PC+PH最小，那么C、P、H三點共線，P點坐標為3， QUOTE ，此時PC+PH=5，得到PAC的周長的最小值=5+6=11解答：解：1設拋物線的解析式：y=ax2，拋物線經(jīng)過點B4，4，4=a42，解得a= QUOTE ，所以拋物線的解析式為：y= QUOTE x2；過點B作BEy軸于E，過點C作CDy軸于D，如圖，點B繞點A順時針方向90得到點C，RtBAERtACD，AD=BE=4，CD=AE=OEOA=41=3，OD=AD+OA=5，C點坐標為3

45、，5；2設P點坐標為a，b，過P作PFy軸于F，PHx軸于H，如圖，點P在拋物線y= QUOTE x2上，b= QUOTE a2，d1= QUOTE a2，AF=OFOA=PHOA=d11= QUOTE a21，PF=a，在RtPAF中，PA=d2= QUOTE a2+1，d2=d1+1；3由1得AC=5，PAC的周長=PC+PA+5=PC+PH+6，要使PC+PH最小，那么C、P、H三點共線，此時P點的橫坐標為3，把x=3代入y= QUOTE x2，得到y(tǒng)= QUOTE ，即P點坐標為3， QUOTE ，此時PC+PH=5，PAC的周長的最小值=5+6=11點評：此題考查了點在拋物線上，點的

46、橫縱坐標滿足二次函數(shù)的解析式和頂點在原點的二次函數(shù)的解析式為：y=ax2；也考查了旋轉的性質、勾股定理以及兩點之間線段最短.47. 2023樂山頂點為A1，5的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點B5，11求拋物線的解析式；2如圖1，設C，D分別是x軸、y軸上的兩個動點，求四邊形ABCD的周長；3在2中，當四邊形ABCD的周長最小時，作直線CD設點Px，yx0是直線y=x上的一個動點，Q是OP的中點，以PQ為斜邊按圖2所示構造等腰直角三角形PRQ當PBR與直線CD有公共點時，求x的取值范圍；在的條件下，記PQR與COD的公共局部的面積為S求S關于x的函數(shù)關系式，并求S的最大值考點：二次函數(shù)綜合題。

47、專題：綜合題。分析：1可設頂點式，將頂點為A1，5，點B5，1代入求出拋物線的解析式；2線段AB的長是確定的，由于點C，D是兩個動點，所以BC，CD，DA的長是不確定的，只能用4 QUOTE +BC+CD+DA表示四邊形的周長；3作B關于x軸對稱點B，A關于y軸對稱點A，連接AB，與x軸，y軸交于C、D點，此時四邊形ABCD周長最小，求出CD的解析式，求出CD與直線y=x的交點坐標，得到PQR與直線y=x有公共點時x的取值范圍，以及公共局部的面積S與x之間的函數(shù)關系式解答：解：1拋物線的頂點為A1，5，設拋物線的解析式為y=ax12+5，將點B5，1代入，得a512+5=1，解得a= QUOT

48、E ，y= QUOTE x2+ QUOTE x+ QUOTE ；2四邊形ABCD的周長為AB+BC+CD+DA，其中AB=4 QUOTE ，因為C，D是x軸與y軸上的動點，所以BC，CD，DA的長不是確定的，故四邊形ABCD的周長表示為：4 QUOTE +BC+CD+DA3點B關于x軸的對稱點B5，1，點A關于y軸的對稱點A1，5，連接AB，與x軸，y軸交于C，D點，CD的解析式為：y=x+4，聯(lián)立 QUOTE ，得： QUOTE ，點P在y=x上，點Q是OP的中點，要使等腰直角三角形與直線CD有公共點，那么2x4故x的取值范圍是：2x4如圖：點E2，2，當EP=EQ時，x2=2 QUOTE

49、x，得：x= QUOTE ，當2x QUOTE 時，S= QUOTE PRRQ QUOTE EP2= QUOTE x QUOTE xx QUOTE x QUOTE QUOTE x2 QUOTE x2，S= QUOTE x2+4x4，當x= QUOTE 時，S最大= QUOTE 當 QUOTE x4時，S= QUOTE EQ2= QUOTE QUOTE QUOTE 2 QUOTE x QUOTE 2 QUOTE x，S= QUOTE x42，當x= QUOTE 時，S最大= QUOTE 故S的最大值為：點評：此題考查的是二次函數(shù)的綜合題，1利用頂點式求出二次函數(shù)的解析式，2確定四邊形的周長，3根

50、據(jù)對稱性求出CD的解析式，然后求出x的取值范圍和S與x的函數(shù)關系48. 2023福建福州，22，14分，如圖，二次函數(shù)y=ax2+2ax3aa0圖象的頂點為H，與x軸交于AB兩點B在A點右側，點HB關于直線l： QUOTE 對稱1求AB兩點坐標，并證明點A在直線l上；2求二次函數(shù)解析式；3過點B作直線BKAH交直線l于K點，MN分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值考點：二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；拋物線與x軸的交點；圖象法求一元二次方程的近似根；勾股定理分析：1求出方程ax2+2ax3a=0a0，即可得到A點坐

51、標和B點坐標；把A的坐標代入直線l即可判斷A2根據(jù)點HB關于過A點的直線l： QUOTE 對稱，得出AH=AB=4，過頂點H作HCAB交AB于C點，求出AC和HC的長，得出頂點H的坐標，代入二次函數(shù)解析式，求出a，即可得到二次函數(shù)解析式；3解方程組 QUOTE ，即可求出K的坐標，根據(jù)點HB關于直線AK對稱，得出HN+MN的最小值是MB，過點K作直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案解答：解：1依題意，得ax2+2ax3a=0a解得x1=3，x2=1，B點在A點右側，A點坐標為3，0，

52、B點坐標為1，0，答：AB兩點坐標分別是3，0，1，0證明：直線l： QUOTE ，當x=3時， QUOTE ，點A在直線l上2解：點HB關于過A點的直線l： QUOTE 對稱，AH=AB=4，過頂點H作HCAB交AB于C點，那么 QUOTE ACAB2，HC，頂點 QUOTE H，代入二次函數(shù)解析式，解得 QUOTE .二次函數(shù)解析式為 QUOTE ，答：二次函數(shù)解析式為 QUOTE 3解：直線AH的解析式為 QUOTE ，直線BK的解析式為 QUOTE ，由 QUOTE ，解得 QUOTE ，即 QUOTE ，那么BK=4.點HB關于直線AK對稱，HN+MN的最小值是MB，KDKE QUO

53、TE ，過點K作直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，那么QM=MK，QEEK QUOTE ，AEQK，BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，BKAH，BKQ=HEQ=90，由勾股定理得QB=8，HN+NM+MK的最小值為8，答HN+NM+MK和的最小值是8點評：此題主要考查對勾股定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)與X軸的交點，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性比擬強的題目，有一定的難度49. 2023福建龍巖，24，13分如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點，其對稱

54、軸為直線x=2，且與x軸交于點D，AO=11填空：b= QUOTE c= QUOTE ，點B的坐標為，：2假設線段BC的垂直平分線EF交BC于點E，交x軸于點F求FC的長；3探究：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使P與x軸、直線BC都相切？假設存在，請求出點P的坐標；假設不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；線段垂直平分線的性質；勾股定理.分析：1根據(jù)對稱軸和OA=1求出A、B的坐標，代入解析式求出b、c即可；2求出C2，4求得E的坐標為3.5，2和直線BC的表達式為 QUOTE ，設直線EF的表達式為y=kx+b，根

55、據(jù)EF為BC的中垂線求出 QUOTE 和 QUOTE 推出直線EF的表達式為 QUOTE ，令y=0，得 QUOTE 即可求出答案；3作OBC的平分線交DC于點P，設P2，a，那么P到x軸的距離等于P到直線BC的距離用到點到直線的距離公式求出a即可解答：1解：拋物線 QUOTE 與x軸相交于A、B兩點，其對稱軸為直線x=2，且與x軸交于點D，AO=1，A1，0，B5，0，代入解析式得： QUOTE ，解得：b= QUOTE ，c= QUOTE ，故答案為 QUOTE ， QUOTE ，5，02解：由1求得 QUOTE ，C2，4E為BC的中點，由中點坐標公式求得E的坐標為3.5，2，直線BC的

56、表達式為 QUOTE ，整理得4x+3y20=0設直線EF的表達式為y=kx+b，EF為BC的中垂線，EFBC， QUOTE ，把E3.5，2代入求得，直線EF的表達式為 QUOTE ，在 QUOTE 中，令y=0，得 QUOTE ，F(xiàn) QUOTE ，0，F(xiàn)C=FB= QUOTE ，答：FC的長是 QUOTE 3解：存在，作OBC的平分線交DC于點P，那么P滿足條件，設P2，a，那么P到x軸的距離等于P到直線BC的距離用到點到直線的距離公式， QUOTE ，5|a|=|3a12|，5a=3a12或5a=3a+12，解得a=6或a= QUOTE ，P2，6或P2， QUOTE ，答：在拋物線的對

57、稱軸上存在點P，使P與x軸、直線BC都相切，點P的坐標是2，6，2， QUOTE 點評：此題主要考查對解二元一次方程組，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，勾股定理，線段的垂直平分線定理等知識點的理解和掌握，熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵50.2023福建泉州，26，14分如圖1，在第一象限內，直線y=mx與過點B0，1且平行于x軸的直線l相交于點A，半徑為r的Q與直線y=mx、x軸分別相切于點T、E，且與直線l分別交于不同的M、N兩點1當點A的坐標為 QUOTE ，p時，填空：p=1，m= QUOTE ，AOE=60如圖2，連接QT、QE，QE交MN于點F，

58、當r=2時，試說明：以T、M、E、N為頂點的四邊形是等腰梯形；2在圖1中，連接EQ并延長交Q于點D，試探索：對m、r的不同取值，經(jīng)過M、D、N三點的拋物線y=ax2+bx+c，a的值會變化嗎？假設不變，求出a的值；假設變化請說明理由考點二次函數(shù)綜合題；一次函數(shù)綜合題；等邊三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；等腰梯形的判定；切線的性質；解直角三角形。分析1由點A QUOTE QUOTE ，p在直線l上，得到p=1；點A在直線y=mx上，得到m= QUOTE QUOTE ；在RtOBA中，OB=1，AB= QUOTE ，OA= QUOTE ，得到AOE=60；2連接TM，ME，EN，ON，

59、根據(jù)切線的性質得到QEx軸，QTOT，由QEMN，得到MF=NF，而r=2，EF=1，那么四邊形QNEM為平行四邊形，即QNME；同時有QEN為等邊三角形，那么NQE=60，QNF=30；在四邊形OEQT中，QTO=QEO=90，TOE=60，可求出TQE=120，于是有TQE+NQE=120+60=180，即T、Q、N三點共線，得到TN為直徑；得到TMN=90，得到TNME，所以MTN=60=TNE，得到以T、M、E、N為頂點的四邊形是等腰梯形；3連DM，ME，根據(jù)垂徑定理和圓周定理的推論得到DME=90，DM垂直平分MN，所以RtMFDRtEFM，得到MF2=EFFD，設Dh，k，h0，k

60、=2r，那么過M、D、N三點的拋物線的解析式為：y=axh2+k，令y=1，得到x1=h QUOTE ，x2=h+ QUOTE ，那么MF= QUOTE MN= QUOTE ，得到 QUOTE 2=1k1，解得a=1解答解：1點A的坐標為 QUOTE ，p，點A在直線l上，p=1，即點A坐標為 QUOTE ，1；而點A在直線y=mx上，1= QUOTE m，解得m= QUOTE ；在RtOBA中，OB=1，AB= QUOTE ，OA= QUOTE ，AOB=30，AOE=60故答案為1， QUOTE ，60；2連接TM，ME，EN，ON，如圖，OE和OP是Q的切線，QEx軸，QTOT，即QTA