函數(shù)極限和連續(xù)

1、關(guān)于函數(shù)的極限與連續(xù)1第1頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的性質(zhì)本節(jié)主要內(nèi)容:2第2頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四一、函數(shù)的概念 (一)區(qū)間與鄰域 1 .區(qū)間研究函數(shù)時(shí),常常要用到區(qū)間的概念.設(shè)開區(qū)間閉區(qū)間右半開區(qū)間左半開區(qū)間實(shí)數(shù)a ,b叫相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn),數(shù)b - a 稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.規(guī)定:3第3頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四無限區(qū)間4第4頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四 2 .鄰域點(diǎn) 的 鄰域其中, 稱為鄰域中心 , 正數(shù) 稱為鄰域半徑 .點(diǎn) 的去心

2、鄰域點(diǎn) 的左 鄰域 :右 鄰域 :以 為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)的鄰域,記作 5第5頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四 (二)函數(shù)的概念子集，任意 xD，變量 y 按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系則稱 f 是定義在 D 上的函數(shù)，x 稱為自變量,f ,有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)(記作 y=f (x) ) ,定義1.1.1 設(shè)x , y 是兩個(gè)變量，D 是 R 的非空y 稱為因變量. D 稱為函數(shù) f 的定義域，數(shù)集f (D)= f (x) | xD 稱為函數(shù) f 的值域 . 1 .函數(shù)的定義6第6頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四 定義域: 是指使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意

3、義的自變量集合.確定函數(shù)的兩要素：(1)對(duì)應(yīng)關(guān)系; (2)定義域.如, 絕對(duì)值函數(shù)定義域值 域與函數(shù) g (x) = x, 定義域 D = R, 值域 f ( D ) = R,在 x 0時(shí)，解例5 設(shè)22第22頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四 定義1. 1. 5 設(shè)函數(shù)y=f (x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)于定義域中的任何x，都有 二.函數(shù)的性質(zhì) (一)奇偶性如果對(duì)于定義域中的任何x ，都有 不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).則稱 y =f (x)為奇函數(shù)則稱 y =f (x)為偶函數(shù).23第23頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四

4、 如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù),則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形. 反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形,則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù). 奇函數(shù)與偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性 如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則它的圖形是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù). 24第24頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四定義域 D = 且有例 6 判斷函數(shù)所以該函數(shù)是奇函數(shù)解的奇偶性25第25頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四 定義1. 1. 6 設(shè)函數(shù)y=f (x), x1, x2為區(qū)間(a,b)內(nèi)任意兩個(gè)數(shù)，

5、 若當(dāng)x1 x2時(shí)，有f (x1) f (x2)，則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)是單調(diào)增加的； 若當(dāng)x1 f (x2)，則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)是單調(diào)減少的 (二)單調(diào)性26第26頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四幾何特征單調(diào)增加單調(diào)減少27第27頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四 定義1. 1. 7 設(shè)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間I上有定義，當(dāng)任意xI， 恒有| f (x) |M 成立，則稱函數(shù) y=f (x) I上的有界函數(shù); 如果不存在這樣的正數(shù)M ，則稱函數(shù) y = f (x)為I上的無界函數(shù) (三)有界性28第28頁

6、，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四幾何特征 我們說一個(gè)函數(shù)是有界的或是無界的，應(yīng)同時(shí)指出其自變量的相應(yīng)范圍 29第29頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四 定義1. 1. 8 對(duì)于函數(shù) y=f (x) ，如果存在一個(gè)不為零的正數(shù)L ，使得對(duì)于定義域內(nèi)的一切x,等式 f (x +L)= f (x) 都成立，則 y = f (x) 叫做 周期函數(shù)，L 叫做這個(gè)函數(shù)的周期 (四)周期性 周期函數(shù)若存在最小正周期，通常將最小正周期簡(jiǎn)稱為周期.30第30頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四復(fù)習(xí)反三角函數(shù)1.反正弦函數(shù):定義域:值域: 函數(shù)單調(diào)增

7、加且有界.在 上的反函數(shù)叫反正弦函數(shù),記作:它的31第31頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四2. 反余弦函數(shù):定義域:-1,1,值域: 函數(shù)單調(diào)減少且有界.在叫反余弦函數(shù), 記作:它的上的反函數(shù)32第32頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四漸近線漸近線3.反正切函數(shù):在內(nèi)的反函數(shù)叫反正切函數(shù),記作:它的定義域:值域:函數(shù)單調(diào)增加且有界.33第33頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四4.反余切函數(shù):叫反余切函數(shù),記作:它的定義域:值域:函數(shù)單調(diào)減少且有界.在內(nèi)的反函數(shù)漸近線漸近線34第34頁，共36頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四 第一節(jié) 內(nèi)容小結(jié): 一.函數(shù)的概念二.函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的定義及表