初等函數(shù)連續(xù)性

1、關(guān)于初等函數(shù)的連續(xù)性第1頁，共14頁，2022年，5月20日，12點2分，星期四一、指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性在第一章中, 我們已經(jīng)定義了指數(shù)函數(shù)并指出它在 R 內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)的. 所以, 若能證明指首先證明指數(shù)函數(shù)的一個重要性質(zhì). 定義域內(nèi)也是連續(xù)函數(shù).數(shù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 那么它的反函數(shù)對數(shù)函數(shù)在其第2頁，共14頁，2022年，5月20日，12點2分，星期四證當(dāng)是有理數(shù)時, 這是我們熟知的一個結(jié)果.對于任意存在有理數(shù)定理4.10 設(shè) 為任意實數(shù), 則有先設(shè)由定義，使第3頁，共14頁，2022年，5月20日，12點2分，星期四因為是任意的, 所以反之, 存在有理數(shù)再取有理數(shù)于是有第4頁，共14頁，2022

2、年，5月20日，12點2分，星期四仍因 是任意的, 又得這就證明了只要令就有第5頁，共14頁，2022年，5月20日，12點2分，星期四定理4.11 指數(shù)函數(shù)在 R上是連證 我們?nèi)耘f先假設(shè) 首先證明指數(shù)函數(shù)在處連續(xù), 即這是因為對于任意的正數(shù)取所以在 x = 0 處連續(xù). 續(xù)的.第6頁，共14頁，2022年，5月20日，12點2分，星期四對于一般的點由定理4.10得到 所以在 R 上連續(xù). 對于只要設(shè)由就可得到相應(yīng)的結(jié)論. 注第7頁，共14頁，2022年，5月20日，12點2分，星期四也是連續(xù)的.例1 設(shè)證明 推論1 對數(shù)函數(shù)在定義域上是連續(xù)的.續(xù), 從而在點 x0 也連續(xù), 于是證得 證 設(shè)

3、在點 x0 連推論2 冪函數(shù)在定義域第8頁，共14頁，2022年，5月20日，12點2分，星期四注 例1的結(jié)論可改寫為解 因為令例2 求第9頁，共14頁，2022年，5月20日，12點2分，星期四由此求得當(dāng)故第10頁，共14頁，2022年，5月20日，12點2分，星期四二、初等函數(shù)的連續(xù)性我們已經(jīng)知道以下函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的(i) 常值函數(shù); (vi) 對數(shù)函數(shù).(v) 指數(shù)函數(shù);(iv) 冪函數(shù);(iii) 反三角函數(shù);(ii) 三角函數(shù);第11頁，共14頁，2022年，5月20日，12點2分，星期四以上六種函數(shù)稱為基本初等函數(shù). 因為連續(xù)函數(shù)由上面的分析, 我們得到如下結(jié)論：定義3 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與復(fù)上是連續(xù)的. 合之后產(chǎn)生的新函數(shù)在其定義區(qū)間（如果存在）的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)的四則運算與復(fù)合運算是保連續(xù)的，所以由上面合運算所產(chǎn)生的函數(shù)稱為初等函數(shù). 第12頁，共14頁，2022年，5月20日，12點2分，星期四例3 求極限定理4.12 初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上是連續(xù)的. 注 上述結(jié)論中所指的“定義區(qū)間”,今后(第十六解 因為是初等函數(shù), 所以在 處連續(xù),從而章)在一般意義下可以改為“定義域”.第13頁，共14頁