工力彎曲應(yīng)力孫訊芳

1、第三節(jié) 梁橫截面上的正應(yīng)力和梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件2010.10工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例 6-3 梁橫截面上的正應(yīng)力和梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件在推導(dǎo)純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式時(shí) ，要綜合考慮 幾何 ，物理 和 靜力學(xué) 三方面 。當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩 M ， 又有剪力 FS 。只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素 dFN = dA 才能合成彎矩只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素 dFS = dA 才能合成剪力所以，在梁的橫截面上一般既有 正應(yīng)力，又有 切應(yīng)力 FSM一、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)過程演示I、試驗(yàn)與假設(shè)1122cabd1122cabd

2、MMMM假設(shè)平截面假設(shè)單向受力假設(shè)中性層：構(gòu)件內(nèi)部既不伸長也不收縮的纖維層。中性軸：橫截面與中性層的交線。MM1.幾何條件m2n2sysLyO1O2ra2dxn2m2n1m1O曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性層z中性軸y對(duì)稱軸oa2a1ydqdldqxe2e12.物理?xiàng)l件(虎克定律)3.靜力學(xué)條件dAyz(中性軸)xzyOsdAM中性軸通過截面形心梁的上下邊緣處，彎曲正應(yīng)力取得最大值，分別為： 抗彎截面模量。 4.純彎曲梁橫截面上的應(yīng)力(彎曲正應(yīng)力)： 距中性層y處的應(yīng)力5.橫截面上正應(yīng)力的畫法： MsminsmaxMsminsmax 線彈性范圍正應(yīng)力小于比例極限

3、sp； 精確適用于純彎曲梁； 對(duì)于橫力彎曲的細(xì)長梁(跨度與截面高度比L/h5)，上述公式的誤差不大，但公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即為截面位置的函數(shù)。6.公式適用范圍：1.矩形截面三種典型截面對(duì)中性軸的慣性矩2.實(shí)心圓截面 3.截面為外徑D、內(nèi)徑d(a=d/D)的空心圓: 彎曲正應(yīng)力分布 彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度 l 與橫截面高度 h 之比 l / h 5 （細(xì)長梁）時(shí)，純彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應(yīng)力二、橫力彎曲正應(yīng)力例6-18 圖示矩形截面懸臂梁，承受均布載荷q作用。已知q=10N/mm，l=300mm。b=20mm，h=30mm。試求B截面上c、d兩點(diǎn)的

4、正應(yīng)力。 lqABbhcdh/2zy解：（1）求B截面上的彎矩（2）求B截面上c、d處的正應(yīng)力例619求圖示鑄鐵懸臂梁內(nèi)最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力。F=20KN，Iz=10200cm4。ABCF2Fyz96.4505020015012KNm16KNmy2y1MAy2y1MB解：1、畫彎矩圖，確定危險(xiǎn)面。 2、確定危險(xiǎn)點(diǎn)，計(jì)算最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。彎矩圖看出，A、B兩截面均可能為危險(xiǎn)面。 梁內(nèi)最大拉應(yīng)力發(fā)生在A截面下邊緣各點(diǎn)處，其值為：對(duì)A、B兩截面，需經(jīng)計(jì)算，才能得知哪個(gè)截面上的最大壓應(yīng)力更大：習(xí)題 圖示簡支梁由56a號(hào)工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力smax 和同一橫

5、截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處的正應(yīng)力sa 。B5 m10 mAF CFA FB 12.521166560za375 kN.m M解：1、作彎矩圖如上，2、查型鋼表得56號(hào)工字鋼3、求正應(yīng)力為 12.521166560za或根據(jù)正應(yīng)力沿梁高的線性分布關(guān)系的 12.521166560za 習(xí)題 如圖所示懸臂梁，自由端承受集中載荷F=15kN作用。試計(jì)算截面B-B的最大彎曲拉應(yīng)力與最大彎曲壓應(yīng)力。 解： 1確定截面形心位置 選參考坐標(biāo)系z(mì)oy如圖示，將截面分解為I和II兩部分，形心C的縱坐標(biāo)為:2計(jì)算截面慣性矩2012020120單位：mmIII3 計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力 截面BB的彎矩為: 在截面B的

6、上、下邊緣，分別作用有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，其值分別為：習(xí)題 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。解：畫M圖求截面彎矩求應(yīng)力求曲率半徑III、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件1.彎矩最大的截面上2.離中性軸最遠(yuǎn)處4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮3.變截面梁要綜合考慮 與Ozyyt，maxyc，maxOzyyt，maxyc，max為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計(jì)為例620一矩形截面的簡支木梁，梁上作用有均布荷載，已知：l=4m，b=140mm，h=210

7、mm，q=2kN/m。彎曲時(shí)木材的許用正應(yīng)力s10MPa，試校核該梁的強(qiáng)度。并求該梁能承受的最大荷載qmax。 BAlqbhM圖解：1、畫彎矩圖。2、校核梁的強(qiáng)度梁滿足強(qiáng)度要求。3、求最大荷載qmax代人數(shù)據(jù)得例621一原起重量為50KN的單梁吊車，其跨度l=10.5m（其計(jì)算簡圖如圖），由45a號(hào)工字鋼制成。而現(xiàn)擬將其重量提高到Q=70KN，試校核梁的強(qiáng)度。若強(qiáng)度不夠，再計(jì)算其可能承受的起重量。梁的材料為Q235鋼，許用應(yīng)力=140MPa；電葫蘆自重G=15KN，暫不考慮梁的自重。 （Q+G）l/4lQ+G解：（1）做彎矩圖，確定危險(xiǎn)面 （2）計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力 由型鋼表查得45a號(hào)工字鋼的

8、抗彎截面模量故梁內(nèi)最大工作正應(yīng)力為（3）依據(jù)強(qiáng)度條件，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算梁的最大承載能力： 因此，梁的最大起重量為61.3KN。例622圖所示外伸梁，用鑄鐵制成，截面為T字形。已知梁的載荷F110kN，F(xiàn)24kN,鑄鐵的許用應(yīng)力st=30MPa，sC=100MPa。截面的尺寸如圖所示試校核此梁。 CB1mF21m1mF1D34y2y1C201202090解：作彎矩圖 確定截面形心位置并計(jì)算形心軸慣性矩 B截面： C截面： 所以，鑄鐵梁的拉伸強(qiáng)度不滿足，即AB梁是不安全的。分別校核鑄鐵梁的拉伸和壓縮強(qiáng)度 例623 受均布載荷q作用的矩形截面梁AD，左端鉸支，B處由直徑為d的圓桿BC懸吊，測(cè)得圓桿BC的

9、軸向線應(yīng)變?yōu)?01106，試求梁AD的最大彎曲正應(yīng)力。已知：d10mm，E200GPa，q3.5kN/m，b=40mm，h=60mm。 xC3mbhdDBA1.75kNm0.9844 kNm解：求BC桿的內(nèi)力 利用平衡方程求出B點(diǎn)的位置繪制AD梁的彎矩圖。求AD梁上最大正應(yīng)力為習(xí)題 兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比 P1P2？解：分析：該題的關(guān)鍵：兩種梁的最大彎曲正應(yīng)力相等且等于許用應(yīng)力。由彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式解：由彎矩圖可見該梁滿足強(qiáng)度條件，安全習(xí)題 圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應(yīng)力 =160MPa，校核該梁

10、的強(qiáng)度。 習(xí)題 簡支梁在跨中受集中載荷P=30kN，l=8m，120 MPa。試為梁選擇工字鋼型號(hào)。 解：由強(qiáng)度條件，得 選擇工字鋼28a ABP習(xí)題 梁AC的截面為10工字鋼，B點(diǎn)用圓鋼桿BD懸掛，已知圓桿的直徑d=20mm，梁及桿的=160MPa，試求許用均布載荷q。 解：由平衡條件10號(hào)工字鋼AdBCD2m1mq+-q 6-4 梁橫截面上的切應(yīng)力和梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件一、梁橫截面上的切應(yīng)力公式 1、公式推導(dǎo)： n1mn2m1ze11111ye2e1x2112dxBAyyxdxxM+dMMFSFSss+dstmnmmdxtytAI、矩形梁橫截面上的切應(yīng)力橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)處切應(yīng)力大小

11、相等。各點(diǎn)的切應(yīng)力方向均與截面?zhèn)冗吰叫?。FS橫截面上的剪力IS橫截面對(duì)中性軸的慣性矩b求應(yīng)力點(diǎn)處的寬度S*Z橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對(duì)中性軸的靜矩ty切應(yīng)力，方向與Fs相同Zyy0y0bh/2h/2maxII、工字形梁橫截面上的切應(yīng)力分母兩項(xiàng)查表。其他截面的切應(yīng)力最大值，一般也在中性軸處。ozy工字鋼截面切應(yīng)力公式推導(dǎo)III、薄壁環(huán)形截面梁zy橫截面上切應(yīng)力的大小沿壁厚無變化。切應(yīng)力的方向與圓周相切。圖 5-7 為一段薄壁環(huán)形截面梁。環(huán)壁厚度為 ,環(huán)的平均半徑為r0，由于 r0 故可假設(shè)式中A=2r0為環(huán)形截面的面積橫截面上最大的切應(yīng)力發(fā)生中性軸上，其值為VI、圓截面梁式中為圓

12、截面的面積dzoy最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上假設(shè)沿寬度上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均匯交于點(diǎn)。各點(diǎn)處切應(yīng)力沿 y 方向的分量沿寬度相等。在截面邊緣上各點(diǎn)的切應(yīng)力的方向與圓周相切。V、等直梁橫截面上最大剪應(yīng)力的一般公式對(duì)于 等直梁 ，其最大剪應(yīng)力tmax一定在最大剪力FSmax所在的橫截面上，而且一般說是位于該截面的中性軸上 。全梁各橫截面中最大剪應(yīng)力可統(tǒng)一表達(dá)為b 橫截面在中性軸處的寬度 全梁的最大剪力 整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩 中性軸一側(cè)的橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩二、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為在選擇梁的截面時(shí)，通常先按正應(yīng)力選出截面，再按切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。式中 ，為材料在橫力彎曲時(shí)的許用切

13、應(yīng)力。在選擇梁的截面時(shí)，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。通常先按正應(yīng)力選出截面，再按切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。梁的強(qiáng)度大多由正應(yīng)力控制，按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選好截面后，一般并不需要再按切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。但在以下幾種特殊條件下，需校核梁的切應(yīng)力：1、梁的最大彎矩較小，而最大剪力卻很大；2、在焊接或鉚接的組合截面（如工字鋼）鋼梁中，當(dāng)其橫截面腹板部分的厚度與梁高之比小于型鋼截面的相應(yīng)比值；3、由于木材在其順紋方向的剪切強(qiáng)度較差，木梁在橫力彎曲時(shí)可能因中性層上的切應(yīng)力過大而使梁沿中性層發(fā)生剪切破壞。例624 圓形截面梁受力如圖所示。已知材料的許用應(yīng)力=160MPa，=100MPa，試求最小直徑dmin。

14、 40kN40kN40kNm解：1、畫出剪力圖和彎矩2、按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì) ， ， 3、按切應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)所以例625 如圖所示木梁受一可移動(dòng)的荷載F40kN作用。已知s=10MPa，t=3MPa。木梁的橫截面為矩形，其高寬比為h:b=3:2。試選擇梁的截面尺寸。hbzy1mABFxABF解：解除支座約束，求支座反力 任一橫截面上的彎矩為求M(x)極大值 根據(jù)彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件校核彎曲切應(yīng)力例6-26 懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹?m。膠合面的許可切應(yīng)力為0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求許可載荷。1.畫梁的剪力圖和彎矩圖2.按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷 3.按切

15、應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷 解：4.按膠合面強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷 5.梁的許可載荷為 例6-27 T形梁尺寸及所受荷載如圖所示, 已知sy=100MPa，sL=50MPa，t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：1)C左側(cè)截面E點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力；2)校核梁的正應(yīng)力、切應(yīng)力強(qiáng)度條件。CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_該梁滿足強(qiáng)度要求習(xí)題 簡支梁受均布荷載作用，其荷載集度q3.6kN/m梁的跨長 l=3m ,橫截面為bh=120180mm2, 許用彎曲正應(yīng)力s=7MPa，許用切應(yīng)力t=0.9MPa, 校核梁的強(qiáng)度

16、。ABq解：梁的正應(yīng)力強(qiáng)度校核最大彎矩發(fā)生在跨中截面上，其值為梁橫截面的的抗彎截面系數(shù)為橫截面上的最大正應(yīng)力梁的切應(yīng)力強(qiáng)度校核矩形截面的面積為梁橫截面上的最大剪應(yīng)力梁最大的剪力為 所以此木梁是安全的。梁的合理設(shè)計(jì)按強(qiáng)度要求設(shè)計(jì)梁時(shí)，主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件一、合理配置梁的荷載和支座1、將荷載分散2、合理設(shè)置支座位置Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M圖+Pl/8M圖Pl/8qlABql2/8M圖+q3l/5ABl/5l/5M圖+-ql2/40ql2/50ql2/50二、合理選取截面形狀從彎曲強(qiáng)度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎截面系數(shù)的截面。在一般截面中，抗彎截面系數(shù)與截面高度的平方成正比。因此，當(dāng)截面面積一定時(shí)，宜將較多材料放置在遠(yuǎn)離中性軸的部位。面積相同時(shí)：工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形；環(huán)形優(yōu)于圓形。同時(shí)應(yīng)盡量使拉、壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到最大值。smaxsmin一根鋼梁最大彎矩Mmax3.5kNm，許用應(yīng)力s140MPa，它所要求的抗彎截面系數(shù)為：Wz250000mm3。如果采用圓形、矩形和工字形截面，它們所需的尺寸及其相應(yīng)的比值Wz/A列于下表：截面形狀要求的Wzmm3所需尺寸mm截面面積mm2比值Wz/A圓形250000d=1371480