試驗設計及數據處理

1、試驗設計與數據處理方法總述及總結王亞麗（數學與信息科學學院08統(tǒng)計1班081120132）摘要：實驗設計與數據處理是一門非常有用的學科，是研究如何經濟合理安排 試驗可以解決社會中存在的生產問題等，對現實生產有很重要的指導意義。因此 本文根據試驗設計與數據處理進行了總述與總結，以期達到學習、理解、掌握的 以及靈活運用的目的。1試驗設計與數據處理基本知識總述1.1試驗設計與數據處理的基本思想試驗設計與數據處理是數理統(tǒng)計學中的一個重要分支。它是以概率論、數理 統(tǒng)計及線性代數為理論基礎，結合一定的專業(yè)知識和實踐經驗，研究如何經濟、 合理地安排實驗方案以及系統(tǒng)、科學地分析處理試驗結果的一項科學技術，從而

2、 解決了長期以來在試驗領域中，傳統(tǒng)的試驗方法對于多因素試驗往往只能被動地 處理試驗數據，而對試驗方案的設計及試驗過程的控制顯得無能為力這一問題。1.2試驗設計與數據處理的作用（1）有助于研究者掌握試驗因素對試驗考察指標影響的規(guī)律性，即各因素的水 平改變時指標的變化情況。（2）有助于分清試驗因素對試驗考察指標影響的大小順序，找出主要因素。（3）有助于反映試驗因素之間的相互影響情況，即因素間是否存在交互作用。（4）能正確估計和有效控制試驗誤差，提高試驗的精度。（5）能較為迅速地優(yōu)選出最佳工藝條件（或稱最優(yōu)方案），并能預估或控制一定 條件下的試驗指標值及其波動范圍。（6）根據試驗因素對試驗考察指標影

3、響規(guī)律的分析，可以深入揭示事物內在規(guī) 律，明確進一步試驗研究的方向。1.3試驗設計與數據處理應遵循的原則重復原則：重可復試驗是減少和估計隨機誤差的的基本手段。隨機化原則：隨機化原則可有效排除非試驗因素的干擾，從而可正確、無 偏地估計試驗誤差，并可保證試驗數據的獨立性和隨機性。局部控制原則：局部控制是指在試驗時采取一定的技術措施方法減少非試 驗因素對試驗結果的影響。用圖形表示如下：2試驗設計與數據處理方法總述和總結2.1方差分析概念：方差分析是用來檢驗兩個或兩個以上樣本的平均值差異的顯著程 度。并由此判斷樣本究竟是否抽自具有同一均值的總體。優(yōu)點：方差分析對于比較不同生產工藝或設備條件下產量、質量

4、的差異， 分析不同計劃方案效果的好壞和比較不同地區(qū)、不同人員有關的數量指標 差異是否顯著時，是非常有用的。缺點：對所檢驗的假設會發(fā)生錯判的情況，比如第一類錯誤或第二類錯誤 的發(fā)生?；驹恚悍讲罘治龅幕舅悸肥且环矫娲_定因素的不同水平下均值之間 的方差，把它作為對由所有試驗數據所組成的全部總體的方差的第一個估 計值；另一方面再考慮在同一水平下不同試驗數據對于這一水平的均值的 方差，由此計算出對由所有試驗數據所組成的全部數據的總體方差的第 二個估計值。比較上述兩個估計值，如果這兩個方差的估計值比較接近就 說明因素的不同水平下的均值間的差異并不大，就接受零假設；否則，說 明因素的不同水平下的均值間

5、的差異比較大。數據處理基本步驟：定義總離差和為各樣本觀測值與總均值的離差平方和，SS =室(X： X)2i=1 j=1其中：X 樣本均值，即X=X2XN iji=1 j=1式中：N = nk 樣本觀測值總數對離差平方和分解如下：SST =* n (X -X)i=1 j=1=ZS (X - X ) + (X X)i=1 j=1=E (X -X )2 +En(X -X)2 + 2工 (X -X )(X -X)i=1 j =1i=1i=1 j=式中：X第i個樣本的均值即y 1 E YX = J Xn j=1 j交叉項：2工 (X - X )(X - X)i=1 j=22L (X - X)8 (X -

6、 X_)i=1j=1=22L(X -X)(nX -nX ) = 0i=1令SS =Y n(X X)2i =1SS S (X.X)2i=1 j=1其中，SSE刻畫了全部n次試驗中純粹由隨機因素影響所產生的離差平方和，簡稱為組內平方和，也稱為誤差平方和。S%刻畫了因素水平A的差異對數據離散 型的作用，稱為組間平方和，或因素平方和。例如四種不同燈絲配料方案數據如下，問燈絲配料方案對燈泡使用壽命有無顯 著影響？解：運用方差分析發(fā)得總試驗次數N = 26,卜4,氣=7,七=5吧=8,n4 = 6燈泡品種試驗結果/hA11600161016501680170017201800A21580164016401

7、7001750A314601550160016201640166017401820A4151015201530157016001680計算如下:T1 = Xjj=1=11760, T= X = 8310,T = X = 13090,T = T1 = Xjj=1j=1j=1j=1Q =X 2 = 19785400,Q =X 2j=Q =X 2 = 19785400,Q =X 2j=1j=1t= j=1 jt= j=1 j=1X = 42570, Q = X 2 = 69895900j=1 j=1T 2SS = Q =195711.54t Nsse =Q 一 T2 = 151350.83j=1SS

8、r = SSt - SSe將上述各項計算出結果后，可利用方差分析表進行方差分析表-1方差分析表方差來源離差平方和自由度均方差統(tǒng)計檢驗量顯著性配料方案44360.71314786.902.15誤差15135.83226879.58總方差195711.5425（6）結論：從尸分布表中差得匕（3,22） =3.。5,因為F 匕（3,22）故接受氣, 即可認為燈絲不同配料方案對燈泡使用壽命無顯著影響，亦可說明各方案都可制 作燈泡。但在實際生產中可選用工藝簡單、造價經濟的配料方案，進行方差分析 的目的也在此。2.2正交試驗設計（1）基本思想：正交試驗設計利用正交表即可對試驗進行合理安排，挑選少數 具有代

9、表性的組合處理試驗一一以少代多，又可對實施的少數個組合處理結果進 行科學的分析，做出正確的結論一一以少求全。（2）優(yōu)點：正交試驗設計從全面試驗中挑選部分試驗點進行試驗，減少試驗次 數，且試驗點均勻分散，整齊可比。（3）缺點：為了照顧整齊可比，試驗點有時不能保證均勻分散，且試驗點的數 目就會比較多（試驗次數隨水平數的平方而增加）.（4）表示符號：Ln m），其中L是正交表代號n，是行數（安排試驗次數），t是因素水平數，q是列數（最多安排因素個數）（5）性質：（1）表中任何一列，各水平都出現，且出現次數相等。（2）表中任意兩列之間，各種不同水平的所有可能組合都出現，且 出現的次數相等。（6）正交試

10、驗設計和數據處理步驟：（1）明確試驗目的，確定試驗指標（2）挑選因素與水平，制定因素水平表（3）選擇正交表，并進行表頭設計（4）確定試驗方案例題：乙醇溶液提取葛根中有效成分的試驗，試驗考察指標有3項：提取物得率， 提取物中葛根總黃酮含量，總黃酮中葛根素含量，且3個指標越大越好。選取3 個相對重要的因素：乙醇濃度，液固比和提取物回流次數進行正交試驗。解：運用綜合平衡法，不考慮交互作用，選用正交表L（34）安排試驗，試驗和結 果表如表-2表-2葛根有效成分提取試驗方案與結果試驗方案試驗結果試驗號A乙醇濃度B液固比C回流次 數提取物得率/%葛根總 黃酮含 量/%葛根素 含量/%111116.25.1

11、2.1212227.46.32.5313337.87.22.6421238.06.92.4522317.06.42.5623128.26.92.5731327.47.32.8832138.28.03.1933216.67.02.2先對各指標分別進行直觀分析，分別得出因素的主次和最優(yōu)組合條件，結果 如表-3：表-3葛根有效成分提取試驗結果分析試驗結果AB空列C提 取 物 得 率 /%K121.421.622.619.8K223.222.622.023.0K322.222.622.224.0k17.137.207.536.60k27.737.537.337.67k37.407.537.408.00

12、極差R1.81.00.64.2因素主次CAB最優(yōu)組合條件C ABCAB3 2 2 或 3 2 3K118.619.320.018.5葛根總黃酮含量/%K220.220.720.220.5K322.321.120.922.1k16.206.436.676.17k26.736.906.736.83k37.437.036.977.37極差R3.71.80.93.6因素主次ACB最優(yōu)組合條件3 B3葛根素含量/%K17.27.37.76.8K27.48.17.17.8K38.17.37.98.1k12.402.432.572.27k22.472.702.372.60k32.702.432.632.70

13、極差0.90.80.81.3因素主次CAB最優(yōu)組合條件C3 A2 B2再進行綜合平衡分析得，最優(yōu)組合條件A3 B2C3，即乙醇濃度70%,液固比 為6，回流3次。2.3均勻實驗設計概念：均勻實驗設計就是只考慮試驗點在試驗范圍，是部分因子設計的主 要方法之一，它適用于多因素多水平的試驗設計場合，試驗次數等于因素 的水平數，是大幅度減少試驗次數的一種優(yōu)良的試驗設計方案。（2）特點:（1）每個因素的每個水平做一次且僅做一次試驗。（2）任兩個因素的試驗點點在格子上，每行每列有且僅有一個試驗點，且這兩點反映了試驗安排的均衡性。（3）均勻設計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價。（4）當因素的水平數增加時，

14、試驗數按水平數的增加在增加。（3）思想：均勻試驗設計沿用近30年來發(fā)展起來的“回歸設計”方法，運用控 制論中的“黑箱”思想，把整個過程看作一個“黑箱”，把參與試驗的因素土，氣，七，通過運用均勻設計法安排試驗，并作為系統(tǒng)的輸入參數而把試驗指標（結果）Y，作為輸出參數（如圖-1所示）。X r1系 統(tǒng)X r2（黑箱）圖-1試驗因素（輸入）與試驗指標（輸出）系統(tǒng)在數學上可以把輸出參數Y與輸入參數X（i = 1，2，n）的關系用函數式表示Y = f （ x , x , X ）函數的模型對不同的系統(tǒng)可根據理論或憑經驗進行假設，然后根據試驗結果 運用回歸分析等方法確定模型中的系數。（4）優(yōu)點：“均勻設計”方

15、法的思路是去掉“整齊”可比的要求，通過提高試驗點 “均勻分散”的程度，使試驗點具有更好的代表性，使得能用較少的試驗獲得較多的信息。（5）表示符號：Un （域U*（nm ），其中，“U ”表示均勻設計，小標“n ”表示要 做n次試驗，括號中“n”表示每個因素有個n水平（試驗時水平數可以小于試 驗次數，但必須能被試驗次數整除），“m ”表示該表有m個因素（列），U的右 上角加“*”和不加“*”分別代表兩種不同類型的均勻設計表。示例表-4叩)123112422433312144315555U 5(53)的使用表因素數列號D2120.310031230.4570(7)試驗數據處理及步驟：具體步驟見例題

16、屆 | 曰舌人A , A , A 王口B , B 、l n C , C 土 鼻時 m 主 rA -kb Zr-r 4/L例題：考慮 |三狀態(tài)1 2 3和兩狀態(tài)1 2以及1 2之定性因素的均勻設計。我們選的表U6(3 23如下所示ABABAB11AB22AB32AB21AB31ABCYC1592C1646C2550C2501C1608C9532 77777A狀態(tài)對應3個特征變量711,712,713,我們選其中2個711,712, ； B狀態(tài)對應2|特征變量7，7 我們選7 C 狀態(tài)對應2 個特征變量7，7我們取71特征變量 2122，我們選21， 狀態(tài)對應2 |特征變量 3132，我們取31。

17、這是可列出含有4個虛擬變量的回歸方程為：Y = k + k Z + k Z + k Z + k Z + e011 1112 1221 2131 31建立回歸方程后再求解即可，此處不再贅述。（8）均勻試驗設計應特別注意的問題：（1）試驗次數為奇數時的均勻試驗設計 表的問題，對策之一在因素排列水平不變的條件下，將均勻設計表中某些列從上 到下的水平號碼做適當的調整，也就是將原來最后一個水平與第一個水平銜接起 來，組成一個封閉圈，然后從任意一處開始定為第一水平，按原方向或相反方向 排出第二水平、第三水平等等；對策之二改變因素水平的排列順序。（2） 選用的均勻設計表的試驗次數應大于回歸模型中回歸系數的個

18、數。2.4回歸正交試驗設計（1）回歸正交試驗簡介：正交試驗設計是將試驗安排與數據的回歸分析結合起來 考慮，在試驗中，通過適當地安排試驗點，使得在每個試驗點上的獲得的數據含 有最大的信息，并且各自變量（因素）向量間滿足正交性以便于回歸分析；然后 再用回歸分析處理試驗數據，將試驗指標與被考察的各因素間的關系以回歸方程 表示出來。回歸正交設計兼容了正交試驗設計與回歸分析的優(yōu)點，是一種優(yōu)良的 試驗設計方法。（2）次回歸正交試驗設計模型：一次回歸正交設計就是利用回歸正交原理，建立試驗指標（y）與m個試驗因素氣,號,七，之間回歸方程：y = b + bx + b x + + b x01122 m m式中：

19、4,4,bm 回歸模型的參數氣,X2，. Xm模型的自變量（3）次回歸正交試驗設計的基本方法（1）確定因素的變化范圍，根據試驗指標 y,選擇需要考察的m個因素 X（乃1，2，*）,并確定每個因素的取值范圍。一般地說，上限于與下限的距離 愈小，愈接近最佳水平范圍，試驗求得的回歸方程的預測性就越好。設因素Xj的 變化范圍為七2，分別稱七和%為因素X的下限和上限，并將它們的算術 平均值稱為零水平七0，即X + Xj 0 2上限與零水平之差稱為因素土的變化區(qū)間，用氣表示，即A. = x - x（2）對因素的水平進行編碼，編碼的目的是為了將試驗效應y對因素的回 歸關系轉化為y對編碼值的回歸關系。編碼值為

20、編碼以后，試驗因素被編為-1,0，和1，即Zji=T Zj2=0 Zj 3 =1 一般稱xj為 自然變量，Z為規(guī)范變量。（3）確定零水平的重復次數，零水平取值是各個因素的基準水平，其重復 的次數應根據實際情況和實驗要求而定。（4）選擇合適的正交表，回歸正交表有如下特點1）任一列編碼的和為0.乙=0即j2）任兩列編碼的乘積之和等于零，即七 =0（k j； j = 1,2,., m）ij kj i=1（4） 一次回歸正交試驗設計的統(tǒng)計分析：1）一次回歸方程的建立，如果采用二水平正交表編制m元一次回歸正交 設計，一共進行了N次試驗，其試驗結果以七&.，七，則一次回歸的數學模型 為y = b +Lib x +Lib x x +e （i = 1,2,.,N, j