(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)梳理與過(guò)關(guān)練習(xí)20《平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用》(含詳解) 考點(diǎn)一遍過(guò)

1、考點(diǎn)20 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用1平面向量的數(shù)量積（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.2向量的應(yīng)用（1）會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.（2）會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.一、平面向量的數(shù)量積1平面向量數(shù)量積的概念（1）數(shù)量積的概念已知兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作,即，其中是與的夾角.【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為0.（2）投影的概念設(shè)非零向量與

2、的夾角是，則()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如圖（1）（2）（3）所示，分別是非零向量與的夾角為銳角、鈍角、直角時(shí)向量在方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影長(zhǎng)是向量的長(zhǎng)度. （3）數(shù)量積的幾何意義由向量投影的定義，我們可以得到的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積.2平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量和實(shí)數(shù),則交換律：；數(shù)乘結(jié)合律：；分配律：.二、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角及性質(zhì)設(shè)非零向量，是與的夾角.（1）數(shù)量積：.（2）模：.（3）夾角： .（4）垂直與平行：；abab=|a|b|.【注】當(dāng)與同向時(shí),；當(dāng)與反向時(shí),.（5）性質(zhì)：|ab|a|b

3、|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立).三、平面向量的應(yīng)用1向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用已知.（1）證明線段平行、點(diǎn)共線問(wèn)題及相似問(wèn)題，常用向量共線的條件：（2）證明線段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等，常用向量垂直的條件：（其中為非零向量）（3）求夾角問(wèn)題，若向量與的夾角為，利用夾角公式：（其中為非零向量）（4）求線段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線段相等，可以用向量的模：，或（其中兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為）（5）對(duì)于有些平面幾何問(wèn)題，如載體是長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決綜合問(wèn)題.2向量在物理中常見(jiàn)的應(yīng)用（1）向量與

4、力、速度、加速度及位移力、速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算.（2）向量與功、動(dòng)量力做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的數(shù)量積，即為和的夾角).考向一 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積的類型及求法：(1)平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).典例1 若向量m=(2k1,k)與向量nA0B4C D【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄縨=(2k1,k)與向量n所以2k1=4k，解得k=1即m=(2,1所以mn=選D典例2 已知向量與的夾

5、角為450，則_【答案】1+【解析】由向量與的夾角為450，得.1在平行四邊形ABCD中，ABCD，則=AB2C3D42已知菱形的邊長(zhǎng)為2，則A4B6CD考向二 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：(1)求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度的問(wèn)題(2)確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.典例3 在平行四邊形中，若則ABCD【答案】C【解析】如圖所示,平行四邊形中，因?yàn)?，所以，則，所以.故選

6、C3已知向量,且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .考向三 平面向量的模及其應(yīng)用平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：(1)求向量的模解決此類問(wèn)題應(yīng)注意模的計(jì)算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解(2)求模的最值或取值范圍解決此類問(wèn)題通常有以下兩種方法：幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍(3)由向量的模求夾角對(duì)于此類問(wèn)題的求解，其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用.典例4 已知平面向量的夾角為，且，則ABCD【答案】B【解析】，所以.故選B4

7、已知OA=2，0，OB=0，2，考向四 平面向量的應(yīng)用1向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法與步驟：(1)向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解【注】用坐標(biāo)法解題時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)幕?2)用向量解決平面幾何問(wèn)題的步驟建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題

8、；把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.2利用向量求解三角函數(shù)問(wèn)題的一般思路：(1)求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解(2)求角時(shí)通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，先求值再求角(3)解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過(guò)向量的相關(guān)運(yùn)算把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題(4)解三角形利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問(wèn)題.3用向量法解決物理問(wèn)題的步驟如下：(1)抽象出物理問(wèn)題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；(2)建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)利用向量的線性運(yùn)

9、算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；(4)用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問(wèn)題. 4常見(jiàn)的向量表示形式：(1)重心若點(diǎn)G是的重心，則或 (其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn))反之，若，則點(diǎn)G是的重心(2)垂心若H是的垂心，則.反之，若，則點(diǎn)H是的垂心(3)內(nèi)心若點(diǎn)I是的內(nèi)心，則.反之，若，則點(diǎn)I是的內(nèi)心(4)外心若點(diǎn)O是的外心，則或.反之，若，則點(diǎn)O是的外心.典例5 等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為ABCD【答案】A【解析】如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.設(shè)向量的夾角為， 則.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，將等腰直角三角形的兩

10、直角邊所在直線作為x軸和y軸，分別設(shè)出三角形頂點(diǎn)和兩直角邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入坐標(biāo)求解兩中線所對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積和模，進(jìn)而求得夾角的余弦值.5扇形OAB的半徑為1，圓心角為90，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則OPA0 B1C2 D典例6 已知，函數(shù).（）求函數(shù)fx的（）若銳角的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且fA=1，求的取值范圍.【解析】（）由條件可知:，.故函數(shù)fx的零點(diǎn)滿足,由，解得, （）由正弦定理得.由（）知，而fA=1，得，又，得.，代入化簡(jiǎn)得： ， 又在銳角中，有，又，則有，即：3A充分不必要條件B充要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件12已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為

11、平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是AB2CD113已知點(diǎn)，若，則的值為ABCD14已知O是內(nèi)部一點(diǎn)，OA+OB+OC=0，ABA33 BC32 D15平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，向量，則以下說(shuō)法正確的是A BC D16已知是互相垂直的單位向量,向量,則_17平面向量a與b的夾角為45，a=(1,1)，|b|=118已知，且，共線，則向量在方向上的投影為_(kāi)19如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，則的值是 AABCEFD20在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是 21設(shè)向量，其中，若，則 . 22已知向量AB與AC的夾角為120，且AB=2，AC=3.若AP

12、=AB+AC23在平行四邊形中，.（1）用表示； （2）若，求的值.24如圖，在四邊形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，（1）用OA,OB表示（2）點(diǎn)P在線段AB上，且AB=3AP，求cosPCB1（2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)）已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為A BC D 2（2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A3B2C2D33（2018新課標(biāo)全國(guó)理科）已知向量，滿足，則A4B3C2D04（2019年高考北京卷理數(shù)）設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

13、5（2018新課標(biāo)全國(guó)理科）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則=A5 B6C7 D86（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b24eb+3=0，則|ab|的最小值是A1B+1C2D27（2017新課標(biāo)全國(guó)理科）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是ABCD8（2017北京理科）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件9（2019年高考全國(guó)III卷理數(shù)）已知a，b為單位向量，且ab=0，若，則_.10

14、（2019年高考天津卷理數(shù)）在四邊形中，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則_11（2017新課標(biāo)全國(guó)理科）已知向量a，b的夾角為60，|a|=2，|b|=1，則| a +2b |=_12（2017天津理科）在中，若，且，則的值為_(kāi)13（2017山東理科）已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是_14（2017浙江）已知向量a，b滿足則的最小值是_，最大值是_15（2019年高考江蘇卷）如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是_變式拓展變式拓展1【答案】C【解析】在平行四邊形中，則，則故選C2【答案】B【解析】如圖所示，菱形的邊長(zhǎng)為2，且，故選B

15、3【答案】【解析】與的夾角為鈍角，即，.又當(dāng)與反向時(shí)，夾角為180，即，則，解得.應(yīng)該排除反向的情形，即排除， 于是實(shí)數(shù)的取值范圍為.【誤區(qū)警示】依據(jù)兩向量夾角的情況,求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時(shí),需注意當(dāng)夾角為0時(shí),;當(dāng)夾角為180時(shí),這是容易忽略的地方.4【答案】1【解析】AC得OC=tOC=當(dāng)t=12時(shí)，OC有最小值5【答案】B【解析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則0 x10y1OP=(x,y)，OA=(OP由圖形可知，當(dāng)x=0，y=1時(shí)，上式取得最小值是1故選B6【解析】（1），又為的內(nèi)角，.（2）在中，由正弦定理，得，為銳角，由余弦定理，得，解得或（舍去）.在方向

16、上的投影為.7【答案】 【解析】如圖，代表水流速度，代表船自身航行的速度，而代表實(shí)際航行的速度，所以有，所以船自身航行的速度大小為.考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】D【解析】a=(3,0)，b=(x,2)又a(a2b)，故選D.2【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所?故選A3【答案】D 【解析】由題意，共點(diǎn)力F1=(lg 2，lg 2)，F(xiàn)2=(lg 5，lg 2)作用在物體M上，其合力為F1+F2=（1，2lg2）, 產(chǎn)生位移s=(2lg 5,1)，則共點(diǎn)力對(duì)物體做的功W=( F1+F2)故選D.4【答案】A【解析】由題意可知：a=2b=2，則2a+35【答案】D【解析】選項(xiàng)A：=，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

17、選項(xiàng)B：，不平行于，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，因?yàn)?，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：，因?yàn)?，所以選項(xiàng)D正確，故選D.6【答案】C【解析】若，的夾角為鈍角，則且不反向共線，由，得.當(dāng)向量，共線時(shí)，得，此時(shí).所以且.故選C7【答案】C【解析】由題意作出圖形，如圖所示：由圖及題意，可得：，.故選C8【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所?由已知，則.故選D.9【答案】C【解析】因?yàn)閏(c+ab)=AB(故選C10【答案】A【解析】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)橄蛄?、為單位向量，且在的方向上的投影為，所以，即，則，又，所以，故選A11【答案】C【解析】若a與b的夾角為銳角,則ab0,且a與b不平行,所以ab=2x0,得x

18、0,且x14,x5,所以“x故選C12【答案】A【解析】以為軸，以邊上的高為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選A13【答案】C【解析】，則，.故選C.14【答案】A【解析】由OA+OB+OC=0可知點(diǎn)O又ABAC =|AB|AC|cos故選A15【答案】B【解析】由題意不妨設(shè)，則，據(jù)此逐一考查所給的選項(xiàng)：a=4+0=2，b=1+1ab=1,1,aab=2,0不存在實(shí)數(shù)滿足a=b，則不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選B.16【答案】2【解析】由題得.17【答案】10 【解析】由a=1,1，得又b=1，且向量a與b的夾角為45a18【答案】【解析】由與共線得：，解得：.向量在方

19、向上的投影為：.19【答案】【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，.20【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，所以設(shè)，則，所以，又，所以，故答案為21【答案】【解析】將的兩邊平方并化簡(jiǎn)可得，又，是單位向量，即，即，又，.22【答案】【解析】由題意可得APBC=0，整理得AC2因?yàn)橄蛄緼B與AC的夾角為120，且AB=2，AC所以9+(1)23(12)4=0，23【解析】（1）.（2），.由圖可得：，.24【解析】（1）因?yàn)镺A=2AD，所以因?yàn)镃D=2BO，所以CB=（2）因?yàn)镃D=2BO，所以因?yàn)镺A=2AD，所以點(diǎn)因?yàn)镈=90，所以O(shè)=90.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，建

20、立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 因?yàn)锽O=AD=1，CD所以A(2,0所以AC=(1,2)因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AB上，且AB=3AP，所以AP=所以CP=因?yàn)镃B所以.直通高考直通高考1【答案】B【解析】因?yàn)閎，所以=0，所以，所以=，所以a與b的夾角為，故選B【名師點(diǎn)睛】對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為2【答案】C【解析】由，得，則，故選C【名師點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，難度不大3【答案】B【解析】因?yàn)?所以選B.4【答案】C【解析】與的夾角為銳角，所以，即，因?yàn)椋詜+|；當(dāng)|

21、+|成立時(shí)，|+|2|-|20，又因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C不共線，所以與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|”的充分必要條件.故選C【名師點(diǎn)睛】本題考查充要條件的概念與判斷平面向量的模夾角與數(shù)量積,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想.5【答案】D【解析】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為23的直線方程為y=23(x+2)，與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：y又F(1,0)，所以FM=(0,2),從而可以求得FMFN6【答案】A【解析】設(shè)a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n)由b24eb+3=0得m2+n24m+3=0,(m2)2+n2=1,因此|ab|的最小值為圓心7【答案】B【解析】如圖，以為軸

22、，的垂直平分線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，所求的最小值為，故選B【名師點(diǎn)睛】平面向量中有關(guān)最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決8【答案】A【解析】若，使，則兩向量反向，夾角是，那么；若，那么兩向量的夾角為，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得，所以是充分而不必要條件，故選A.9【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以【名師點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)使用轉(zhuǎn)化思想得出答案10【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，DAB=30，則，.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為