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1、 勾股定理一、目標(biāo)與策略明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件,要做到心中有數(shù)!學(xué)習(xí)目標(biāo): 掌握勾股定理及其逆定理具體內(nèi)容;能夠比較熟練地運(yùn)用勾股定理,由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng),求出第三條邊長(zhǎng);會(huì)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形;勾股定理是平面幾何中的一個(gè)十分重要的定理,它反映了直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系在理論和實(shí)際中應(yīng)用很廣泛重點(diǎn)難點(diǎn):重點(diǎn):理解和掌握勾股定理及其逆定理,以及應(yīng)用難點(diǎn):理解勾股定理的推導(dǎo)學(xué)習(xí)策略:經(jīng)歷觀察與發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系的過程,感受勾股定理的應(yīng)用意識(shí)經(jīng)歷探究勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用過程,感受勾股定理的應(yīng)用方法二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用“凡事
2、預(yù)則立,不預(yù)則廢”“凡事預(yù)則立,不預(yù)則廢”科學(xué)地預(yù)習(xí)才能使我們上課聽講更有目的性和針對(duì)性我們要在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上,認(rèn)真聽講,做到眼睛看、耳朵聽、心里想、手上記。知識(shí)回顧知識(shí)回顧復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)新知識(shí)之前,看看你的知識(shí)貯備過關(guān)了嗎?(一)三角形按角度分類: 三角形、 三角形、 三角形(二)直角三角形的概念:有一個(gè)角是 的三角形是直角三角形(三)直角邊、斜邊的判斷:夾著 的兩條邊是直角邊,直角所對(duì)的邊是斜邊(四)舉例說明平方和與和的平方:a2+b2是這兩個(gè)數(shù)的平方 ;(a+b)2是這兩數(shù)和的 (五)直角三角形的性質(zhì):(1)直角三角形的兩銳角 (2)直角三角形中30的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的 知識(shí)要點(diǎn)預(yù)習(xí)和課
3、堂學(xué)習(xí)知識(shí)要點(diǎn)預(yù)習(xí)和課堂學(xué)習(xí)認(rèn)真閱讀、理解教材,嘗試把下列知識(shí)要點(diǎn)內(nèi)容補(bǔ)充完整,帶著自己預(yù)習(xí)的疑惑認(rèn)真聽課學(xué)習(xí)請(qǐng)?jiān)谔摼€部分填寫預(yù)習(xí)內(nèi)容,在實(shí)線部分填寫課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容課堂筆記或者其它補(bǔ)充填在右欄 知識(shí)點(diǎn)一:勾股定理如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為:a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么 即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的 要點(diǎn)詮釋:(1)勾股定理揭示的是 三角形的邊之間的平方關(guān)系的定理(2)勾股定理只適用于 三角形,而不適用于銳角三角形和鈍角三角形(3)理解勾股定理的一些變式: c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,c2=(a+b)2-2ab知識(shí)點(diǎn)二:用面積證明勾股定理方法一:將四個(gè)
4、全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形圖(1)中,所以方法二:將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖(2)所示的正方形圖(2)中,所以方法三:將四個(gè)全等的直角三角形分別拼成如圖(3)1和(3)2所示的兩個(gè)形狀相同的正方形 在(3)1中,甲的面積=(大正方形面積)( 個(gè)直角三角形面積),在(3)2中,乙和丙的面積和=(大正方形面積)( 個(gè)直角三角形面積),所以,甲的面積=乙和丙的面積和,即:方法四:如圖(4)所示,將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形,所以知識(shí)點(diǎn)三:勾股定理的作用(一)已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)求 ;(二)已知直角三角形的一條邊,求另 邊的關(guān)系;(三)用于證明 關(guān)系的問題;(四)利用勾股定理,
5、作出長(zhǎng)為的線段知識(shí)點(diǎn)四:原命題與逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好 ,則稱它們?yōu)榛ツ婷}并且其中一個(gè)叫原命題,則另一個(gè)叫做它的 命題知識(shí)點(diǎn)五:勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊a、b、c,滿足a2+b2c2那么這個(gè)三角形是 三角形要點(diǎn)詮釋:勾股定理及其逆定理的區(qū)別在于勾股定理從“ ”(一個(gè)三角形是直角三角形)出發(fā),得出三邊 關(guān)系(a2+b2c2),而勾股定理的逆定理從三邊 關(guān)系(a2+b2c2)出發(fā),判斷其形(三角形是直角三角形),它是判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形或一個(gè)角是否是直角的有效方法經(jīng)典例題-自主學(xué)習(xí)經(jīng)典例題-自主學(xué)習(xí)認(rèn)真分析、解答下列例題,嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧,然后完
6、成舉一反三若有其它補(bǔ)充可填在右欄空白處 類型一:勾股定理的直接用法例1在RtABC中,C=90(1)已知a=6, c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a思路點(diǎn)撥:寫解的過程中,一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中,注意勾股定理的變形使用解析:總結(jié)升華: 舉一反三:【變式】如圖B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長(zhǎng)是多少?答案:類型二:勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用例2如圖,已知:在中,求:BC的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥:由條件,想到構(gòu)造含 度角的直角三角形,為此作 于D,則有,再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長(zhǎng),進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)解析:總結(jié)升華: 舉一反三:【
7、變式1】如圖,已知:,于P求證:思路點(diǎn)撥:圖中已有兩個(gè)直角三角形,但是還沒有以BP為邊的直角三角形 因此,我們考慮構(gòu)造一個(gè)以BP為一邊的 三角形 所以連結(jié) 這樣,實(shí)際上就得到了 個(gè)直角三角形 那么根據(jù)勾股定理,可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系解析:【變式2】已知:如圖,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2求:四邊形ABCD的面積 分析:如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵,可以連結(jié)AC,或延長(zhǎng) 、 交于F,或延長(zhǎng) 、 交于點(diǎn)E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種,進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第 種較為簡(jiǎn)單解析:類型三:勾股定理的實(shí)際應(yīng)用(一)用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題例3如圖所示,在一次夏令營活動(dòng)中
8、,小明從營地A點(diǎn)出發(fā),沿北偏東60方向走了到達(dá)B點(diǎn),然后再沿北偏西30方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離(2)確定目的地C在營地A的什么方向思路點(diǎn)撥:把實(shí)際問題中的角度轉(zhuǎn)化為圖形中的角度,利用勾股定理求解解析: 總結(jié)升華: 舉一反三:【變式】一輛裝滿貨物的卡車,其外形高米,寬米,要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?答案: (二)用勾股定理求最短問題例4國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀,目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造,某地有四個(gè)村莊A、B、C、D,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路,他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案
9、,如圖實(shí)線部分請(qǐng)你幫助計(jì)算一下,哪種架設(shè)方案最省電線思路點(diǎn)撥:解答本題的思路是:最省電線就是線路長(zhǎng)最 ,通過利用勾股定理計(jì)算線路長(zhǎng),然后進(jìn)行比較,得出結(jié)論 解析: 總結(jié)升華: 舉一反三:【變式】如圖,一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm,高AB為4cm,BC是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程答案:類型四:利用勾股定理作長(zhǎng)為的線段例5作長(zhǎng)為、的線段思路點(diǎn)撥:由勾股定理得,直角邊為 的等腰直角三角形,斜邊長(zhǎng)就等于,直角邊為和1的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是 ,類似地可作作法: 總結(jié)升華: 舉一反三:【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)解析:類型五:逆命題與勾股定理逆定理例6寫出下
10、列原命題的逆命題并判斷是否正確(1)原命題:貓有四只腳(正確)(2)原命題:對(duì)頂角相等(正確)(3)原命題:線段垂直平分線上的點(diǎn),到這條線段兩端距離相等(正確)(4)原命題:角平分線上的點(diǎn),到這個(gè)角的兩邊距離相等(正確)思路點(diǎn)撥:掌握原命題與逆命題的關(guān)系解析: 總結(jié)升華: 例7如果ABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷ABC的形狀思路點(diǎn)撥:要判斷ABC的形狀,需要找到a、b、c的關(guān)系,而題目中只有條件 ,故只有從該條件入手,解決問題解析: 總結(jié)升華: 舉一反三:【變式1】四邊形ABCD中,B=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊
11、形ABCD的面積答案:【變式2】已知:ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且mn),判斷ABC是否為直角三角形【變式3】如圖正方形ABCD,E為BC中點(diǎn),F(xiàn)為AB上一點(diǎn),且BF=AB請(qǐng)問FE與DE是否垂直?請(qǐng)說明三、總結(jié)與測(cè)評(píng)要想學(xué)習(xí)成績(jī)好,總結(jié)測(cè)評(píng)少不了!課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié),它可以幫助我們鞏固學(xué)習(xí)效果,彌補(bǔ)知識(shí)缺漏,提高學(xué)習(xí)能力總結(jié)規(guī)律和方法強(qiáng)化所學(xué)總結(jié)規(guī)律和方法強(qiáng)化所學(xué)認(rèn)真回顧總結(jié)本部分內(nèi)容的規(guī)律和方法,熟練掌握技能技巧(一)掌握直角三角形的性質(zhì) 如右圖,直角ABC的性質(zhì) (1)勾股定理:C=90,則有 c2= (2) C=90,則有A+B= ,(3)C=90,則有 a, b (二)在理解的基礎(chǔ)上熟悉下列勾股數(shù) 滿足不定方程x2+y2=z2的三個(gè)正
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