線性代數(shù)課件：2-6 矩陣的秩

1、第二章 矩 陣 2.1 矩陣的定義 2.2 矩陣的運(yùn)算 2.3 可逆矩陣 2.4 分塊矩陣及其運(yùn)算 2.5 矩陣的初等變換與初等矩陣 2.6 矩陣的秩 2.7 線性方程組的Gauss消元法2.6 矩陣的秩二、矩陣秩的概念 一、矩陣的子式 三、矩陣秩的求法 五、小結(jié) 四、矩陣秩的性質(zhì) 定義2.9 在 mn 矩陣 A 中任意選定 k 行: i1, i2 , , ik和 k 列: j1, j2 , , jk , 位于這些選定的行和列交叉處的 k2 個元素按原來的次序所組成的 k 階行列式, 稱為矩陣 A 的一個 k 階子式. 若 i1 j1, i2 j2, , ik jk , 則稱這樣的 k 階子式

2、為 A 的一個主子式. 取 A 的前 k 行 k 列元素構(gòu)成主子式稱為 A 的 k 階順序主子式. 一、矩陣的子式 例2.23 在矩陣中, 選定第1、3行和第2、4列, A 的3階順序主子式為組成的一個 2 階子式為 1. m n 矩陣 A 的 k 階子式共有個. 2. 對于 mn 矩陣 A 的 k 階子式, 有例2.24 設(shè)矩陣A 的三階子式只有1個, 為 A 0; A 有二階子式二、矩陣秩的概念 因此 rank A 2. 定義2.10 對于一個 mn 矩陣 A, A 的非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣 A 的秩, 記為 rank A .規(guī)定零矩陣的秩為 0 . 注1. 若 A 中有一個 s 階子

3、式不為零, 則 rank A s . 若 A 中所有 t 階子式全為零, 則 rank A t .2. rank A r 說明 A 中至少有一個 r 階子式不等于零, 而所有的 r 1 階子式全為零,即所有階數(shù)大于 r 3. rank A rank AT . 4. 0 rank Amn minm, n.的各階子式全為零. 6. 5. rank (kA) rank A ( k 0 ). 例2.25 求矩陣問題 初等變換會改變矩陣的秩嗎?一般地, 行階梯形矩陣的秩就是其非零行的行數(shù),同時, 任何矩陣總可經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣.定理2.5 初等變換不改變矩陣的秩.三、矩陣秩的求法 推論

4、1 行階梯形矩陣的秩等于其非零行的行數(shù).推論2 一個矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的, 因此等價標(biāo)準(zhǔn)形中 1 的個數(shù)就是矩陣的秩.推論3 同型矩陣等價的充要條件是秩相同, 即有相同的等價標(biāo)準(zhǔn)形. 推論4 n 階方陣 A 可逆的充要條件是 rank A n. 推論5 設(shè) A 為 mn 矩陣, B 為 m 階可逆矩陣, C 為 n 階可逆矩陣, 則 rank(BA) rank(AC) rank(BAC) rank A .初等變換求矩陣秩的方法 對矩陣施行初等行變換變成為行階梯形矩陣, 行階梯 形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例2.26 設(shè)求 rank A. 定義2.11 設(shè) A 為 mn 矩陣, 當(dāng) r

5、ank A m 時, 稱 A 為 行滿秩矩陣; 當(dāng) rank A n 時, 稱 A 為列滿秩矩陣; 行(列)滿秩的方陣稱為滿秩矩陣. 滿秩矩陣就是可逆矩陣, 不可逆矩陣稱為降秩矩陣.例2.27 設(shè) rank A 2, 求 和 . 四、矩陣秩的性質(zhì)(1) 0 rank Amn minm, n.(2) rank A rank AT . (3) A B rank A rank B . (4) maxrank A, rank B rankA B rank A rank B . (5) rank A rank B rank(A B) rank A rank B .(6) 設(shè) A Amn , B Bnk , 則 rank A rank B n rank(AB) minrank A, rank B.特別地, 當(dāng) Amn Bnk 0 時, 有 rank A rank B n .例2.28 設(shè) n 階方陣 A 滿足 A2 A, 證明 rank A rank(E A) n .五、小結(jié) (2) 初等變換法1. 矩陣秩的概念2. 求矩陣秩的方法(1) 利用定義(對矩陣施行初等行變換變成為行階梯形矩陣, 行階梯形矩陣中