反常積分和函數(shù)

1、關(guān)于反常積分與函數(shù)第1頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四2復(fù)習(xí)定積分的幾何意義：由一條連續(xù)曲線表示和三條直線x=a,x=b,y=0 所圍成的曲邊梯形的面積abxyo定積分有 :2.被積函數(shù)是有界函數(shù).1.積分區(qū)間是有限區(qū)間,第2頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四3一、無窮限上的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分三、 函數(shù)第五節(jié) 反常積分與函數(shù) 第六章 第3頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四4引例：求由曲線y=1/x2 ，直線x=1和y=0圍成圖形的面積.xyo1xyo1t一、無窮區(qū)間上的反常積分因第4頁，共35頁，2022年，5月2

2、0日，2點(diǎn)53分，星期四5定義：設(shè)在內(nèi)連續(xù)，取如果極限存在，則此極限叫函數(shù)在無窮區(qū)間內(nèi)的反常積分.記作即此時(shí)也稱反常積分收斂.否則稱反常積分發(fā)散.注意：反常積分發(fā)散時(shí)，仍用記號表示.但只是形式上寫出，不表數(shù)值.一、無窮區(qū)間上的反常積分第5頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四6無窮積分的幾何意義 若對一切xa,+),有f(x)0,且 收斂,則 表示的就是由曲線y=f(x),直線xa和x軸圍成的無窮區(qū)域的面積,若 發(fā)散,則該無窮區(qū)域沒有有限面積. 第6頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四7解由定義知：顯然不存在.故發(fā)散.例1計(jì)算反常積分第7頁，共35頁，20

3、22年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四8注意:為了簡便起見,另解記解若原式例2 計(jì)算反常積分第8頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四9證例3證明反常積分當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)發(fā)散.故當(dāng)p1時(shí)，該反常積分收斂于當(dāng)時(shí)，該反常積分發(fā)散.第9頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四10設(shè)在內(nèi)連續(xù)，取如果極限存在，則此極限稱為函數(shù)在無窮區(qū)間內(nèi)的反常積分.記作即此時(shí)稱反常積分否則稱反常積分發(fā)散.定義2第10頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四11設(shè)在內(nèi)連續(xù)，如果都收斂，則稱兩反常積分之和為在無窮區(qū)間上的反常積分.記作即此時(shí)也稱反常積分否則稱反常積分發(fā)散.定

4、義3第11頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四12一般地：若是的原函數(shù)，則計(jì)算方法：例4計(jì)算解第12頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四13解因?yàn)?不存在，所以反常積分發(fā)散.注意: 對反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .例5討論反常積分的斂散性.第13頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四14二、無界函數(shù)的反常積分(又稱為瑕積分).yxo11yxo11引例：求由曲線 ，及x=0、 x=1和y=0圍成圖形的面積.解：取充分小因第14頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四15二、

5、無界函數(shù)的反常積分(又稱為瑕積分).例子或或第15頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四162.瑕積分定義設(shè)在上連續(xù)，而如果極限存在，則稱此極限值叫在上的反常積分.記作即有(又叫瑕積分).此時(shí)稱反常積分收斂.若該極限不存在，稱其發(fā)散.(這時(shí)稱a是瑕點(diǎn))，類似地定義：在處為瑕點(diǎn)，則反常積分第16頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四17另有：若是瑕點(diǎn)時(shí)，注意：與同時(shí)收斂.才收斂.否則，發(fā)散.2.計(jì)算方法：若是的原函數(shù)，當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí)，其中當(dāng)b為瑕點(diǎn)時(shí)，其中第17頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四18解故所給反常積分是收斂的.例6 討論反常積分的斂散性.所以x=a是被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).第18頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四19例7討論反常積分的斂散性.解在上除外連續(xù)，且是的瑕點(diǎn).則 由于所以發(fā)散，因而發(fā)散.第19頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)53分，星期四20證因此當(dāng)q1時(shí)反常積分收斂， 其值為當(dāng)時(shí)反常積分發(fā)散.例8證明反常積分當(dāng)q0).解第33頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)