25圓錐曲線的共同性質(zhì)同步測試

1、2.5 圓錐曲線的共同性質(zhì) 同步測試1已知雙曲線3x2y29，則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準(zhǔn)線的距離之比等于_解析：3x2y29，eq f(x2,3)eq f(y2,9)1.aeq r(3)，b3，c2eq r(3).eeq f(c,a)2.答案：22已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2x1x3，則下列說法正確的是_(填序號)|FP1|FP2|FP3|；|FP1|2|FP2|2|FP3|2；|FP1|FP3|2|FP2|；|FP2|2|FP1|FP3|.解析：由題意得|FP1|x1eq f(p,

2、2)，|FP2|x2eq f(p,2)，|FP3|x3eq f(p,2).再由2x2x1x3得2eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(x3f(p,2)，即2|FP2|FP1|FP3|.答案：3如果雙曲線的兩個焦點分別為F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)，一條漸近線方程為yeq r(2)x，那么它的兩條準(zhǔn)線之間的距離為_解析：由題意得c3，eq f(b,a)eq r(2)，aeq r(3)，deq f(2a2,c)2.答案：24已知橢圓的方程eq f(x2,25)eq f(y2,1

3、6)1，點M(4，y0)，則M到右焦點F的距離為_解析：由已知可得，橢圓的右準(zhǔn)線方程為xeq f(25,3)，設(shè)M(4，y0)到右準(zhǔn)線的距離為d，則eq f(|MF|,d)e.|MF|edeq f(3,5)eq f(13,3)eq f(13,5).答案：eq f(13,5)一、填空題1已知雙曲線eq f(x2,a2)y21(a0)的一條準(zhǔn)線方程為xeq f(3,2)，則雙曲線的離心率為_解析：由雙曲線的準(zhǔn)線方程求基本量的值，進(jìn)而求出離心率準(zhǔn)線方程為xeq f(3,2)，eq f(a2,c)eq f(3,2).又b21，c2a21.由得aeq r(3)，c2，eeq f(c,a)eq f(2r(

4、3),3).故填eq f(2r(3),3).答案：eq f(2r(3),3)2設(shè)橢圓eq f(x2,m2)eq f(y2,m21)1(m1)上一點P到其左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則P到右準(zhǔn)線的距離為_解析：m2m21，m2a2，m21b2.c21.又312aa2.eeq f(1,2).deq f(1,e)eq f(a,c)2.答案：23如圖所示，P是橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,9)1上任意一點，F(xiàn)是橢圓的左焦點，且eq o(OQ,sup6()eq f(1,2)(eq o(OP,sup6()eq o(OF,sup6()，|eq o(OQ,sup6()|4，則點P到該橢圓

5、左準(zhǔn)線的距離為_解析：因為eq o(OQ,sup6()eq f(1,2)(eq o(OP,sup6()eq o(OF,sup6()，所以Q為線段PF的中點因為|eq o(OQ,sup6()|4，所以點P到右焦點F的距離為8.所以|PF|2582.又因為eq f(|PF|,d)eeq f(c,a)eq f(4,5)，所以deq f(5,2).答案：eq f(5,2)4(2010年高考江西卷)點A(x0，y0)在雙曲線eq f(x2,4)eq f(y2,32)1的右支上，若點A到右焦點的距離等于2x0，則x0_.解析：由eq f(x2,4)eq f(y2,32)1知，a2，b4eq r(2)，c6

6、，eeq f(c,a)3，eq f(a2,c)eq f(4,6)eq f(2,3)，由雙曲線的第二定義知eq f(2x0,x0f(a2,c)e，即eq f(2x0,x0f(2,3)3，解得x02.答案：25已知橢圓的兩個焦點將長軸三等分，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為8，則該橢圓的長軸長為_解析：由題意得eq blcrc (avs4alco1(2cf(1,3)2a，,f(a2,c)c8，)解得a3，2a6.答案：66已知直線l與拋物線y28x交于A，B兩點，且l經(jīng)過拋物線的焦點，點A的坐標(biāo)為(8,8)，則線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離是_解析：如圖所示，拋物線y28x的準(zhǔn)線方程為x2.因為l過拋物線的焦點

7、，所以xAxBeq f(p2,4)eq f(42,4)4，即xBeq f(1,2).所以線段AB的中點的橫坐標(biāo)為eq f(17,4).所以中點到準(zhǔn)線的距離為eq f(17,4)2eq f(25,4).答案：eq f(25,4)7如果雙曲線eq f(x2,4)eq f(y2,2)1上一點P到雙曲線右焦點的距離是2，那么點P到y(tǒng)軸的距離是_解析：雙曲線的離心率eeq f(c,a)eq f(r(6),2)，由雙曲線的定義知，P點到右準(zhǔn)線的距離deq f(|PF2|,e)eq f(2,f(r(6),2)eq f(2r(6),3)，P點到y(tǒng)軸的距離為eq f(4r(6),3).答案：eq f(4r(6)

8、,3)8若雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)上橫坐標(biāo)為eq f(3a,2)的點到右焦點的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：設(shè)e為雙曲線離心率，c為半焦距，且eq f(3,2)a0，則eeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)af(a2,c)eq f(3,2)aeq f(a2,c)，eq f(a,c)eq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a)eq f(5,2)0，3e25e20，即(3e1)(e2)0.又e1，e2.答案：(2，)二、解答題9已知雙曲線eq f(x2,9)eq f(y2,16)1

9、的右焦點為F，點A(9,2)，試在這個雙曲線上求一點M，使|MA|eq f(3,5)|MF|的值最小，并求出這個最小值解：如圖所示，l為雙曲線的右準(zhǔn)線，M為雙曲線上任意一點，分別作MNl，ABl交于N、B兩點離心率eeq f(5,3)，由雙曲線的統(tǒng)一定義有eq f(|MF|,|MN|)e，即|MN|eq f(3,5)|MF|.|MA|eq f(3,5)|MF|MA|MN|AB|.當(dāng)且僅當(dāng)M為AB與雙曲線右支的交點時，|MA|eq f(3,5)|MF|取得最小值此時，點M的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(5),2)，2)，最小值為9eq f(a2,c)9eq f(9,5

10、)eq f(36,5).10雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右支上存在與右焦點和左準(zhǔn)線等距離的點，求離心率e的取值范圍解：如圖所示，設(shè)M(x0，y0)是雙曲線右支上滿足條件的點，且它到右焦點F2的距離等于它到左準(zhǔn)線的距離|MN|，即|MF2|MN|.由圓錐曲線統(tǒng)一定義可知eq f(|MF1|,|MN|)e，|MF1|e|MN|e|MF2|.eq f(ex0a,ex0a)e.x0eq f(a1e,e2e).又x0a，eq f(a1e,e2e)a.即e22e10，解得1eq r(2)eeq r(2)1，又e1，1eeq r(2)1.11已知橢圓eq f(x2,2

11、5)eq f(y2,9)1上不同的三點A(x1，y1)，Beq blc(rc)(avs4alco1(4，f(9,5)，C(x2，y2)與焦點F(4,0)的距離成等差數(shù)列(1)求證x1x28；(2)若線段AC的垂直平分線與x軸交于點T，求直線BT的斜率解：(1)證明：由已知得a5，b3，c4.因為|AF|aex15eq f(4,5)x1，|CF|aex25eq f(4,5)x2，|BF|5eq f(4,5)4eq f(9,5)，且|AF|CF|2|BF|，所以eq blc(rc)(avs4alco1(5f(4,5)x1)eq blc(rc)(avs4alco1(5f(4,5)x2)eq f(18,5)，即x1x28.(2)因為A(x1，y1)，C(x2，y2)在橢圓上，所以eq f(xoal(2,1),25)eq f(yoal(2,1),9)1，eq f(xoal(2,2),25)eq f(yoal(2,2),9)1.由得yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)eq f(9,25)(x1x2)(x1x2)eq f(72,25)(x1x2)又因為線段AC的中點為eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(y1y2