微積分課件：D10-4重積分的應(yīng)用

1、第四節(jié)一、幾何應(yīng)用重積分的應(yīng)用 第十章 平面區(qū)域的 面積空間區(qū)域的 體積曲面的 面積二、物理應(yīng)用質(zhì)量重心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量引力1. 能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn)所求量是 對(duì)區(qū)域具有可加性 從定積分定義出發(fā) 建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點(diǎn) 畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計(jì)算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法 二、立體體積 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為 占有空間有界域 的立體的體積為一、平面區(qū)域的 面積幾何應(yīng)用任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積 V . 解: 曲面的切平面方程為它與曲面的交線在 xoy 面上的投影為(記所圍域?yàn)镈 )

2、在點(diǎn)例1. 求曲面例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解: 如圖,在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為三 、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素)則故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即微元法若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有且例3. 計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解: 曲面在 xoy 面上投影為則出的面積 A .例4. 計(jì)算半徑為 a 的球的表面積.解:設(shè)球面方程為 球面面積元素為方法1 利用球坐標(biāo)方程.方法2 利用直角坐標(biāo)方程. 只考慮上半球面則由曲面

3、的面積公式得解：設(shè)含在兩曲面交線在xoy面上的投影為即投影區(qū)域?yàn)椋核竺娣e即當(dāng)( t 為時(shí)間) 的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長度單位為厘米, 時(shí)間單位為小時(shí), 設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時(shí)? (2001考研)例7提示:記雪堆體積為 V, 側(cè)面積為 S ,則(用極坐標(biāo)) 由題意知令得(小時(shí))因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時(shí)間為100小時(shí).物理應(yīng)用一、質(zhì)量二、物體的重心（質(zhì)心）設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù)則 公式 ,分別位于為為

4、即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導(dǎo)出其重心 將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的重心坐標(biāo)就近似該物體的重心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第 k 塊上任取一點(diǎn)同理可得則得形心坐標(biāo)：若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,(A 為 D 的面積)得D 的形心坐標(biāo):則它的重心坐標(biāo)為其面密度 對(duì) x 軸的 靜矩 對(duì) y 軸的 靜矩例8. 求位于兩圓和的形 心. 解: 利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片說明：密度為常數(shù)時(shí)，物體的 重心僅與D或V的幾何形狀有關(guān)，故稱為形心，計(jì)算 時(shí)充分利用區(qū)域的 對(duì)稱性例9：求 由所圍區(qū)域的 形心例11. 一個(gè)煉鋼

5、爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解: 利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，故自重, 求它的重心.若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為重心坐標(biāo)為三、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x , y , z) 處的微元 因此物體 對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算. 類似可得:對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.例12.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解: 建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解: 取球心為原點(diǎn), z 軸為 l 軸,則球體的質(zhì)量例13.求均勻球體對(duì)于過球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球 所占域?yàn)?用球坐標(biāo)) G 為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,物體對(duì)位于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為對(duì) xoy 面上的平面薄片D ,它對(duì)原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為例9.設(shè)面密度為