概率與統(tǒng)計1 (17)課件

1、第七章 數(shù)字特征及極限理論數(shù)學期望方差和標準差協(xié)方差和相關系數(shù)大數(shù)定律和中心極限定理一、數(shù)學期望的概念二、數(shù)學期望的性質(zhì)三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望四、小結(jié)第一節(jié) 數(shù)學期望引例1 分賭本問題(產(chǎn)生背景) A, B 兩人賭技相同, 各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝, 取得全部 200 元.由于出現(xiàn)意外情況 ,在 A 勝 2 局 B 勝1 局時,不得不終止賭博, 如果要分賭金,該如何分配才算公平?一、數(shù)學期望的概念 A 勝 2 局 B 勝 1 局前三局:后二局:把已賭過的三局(A 勝2局B 勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即 A、B 賭完五局,A AA B B AB BA 勝B 勝分析假設繼續(xù)賭兩局

2、,則結(jié)果有以下四種情況:A AA B B AB BA勝B負 A勝B負 A勝B負 B勝A負 B勝A負 A勝B負 B勝A負 B勝A負 因此, A 能“期望”得到的數(shù)目應為 而B 能“期望”得到的數(shù)目, 則為故有, 在賭技相同的情況下,A, B 最終獲勝的可能性大小之比為即A 應獲得賭金的 而 B 只能獲得賭金的 設某射擊手在同樣的條件下,瞄準靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個隨機變量).射中次數(shù)記錄如下引例2 射擊問題試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù) k命中次數(shù)頻率解平均射中環(huán)數(shù)設射手命中的環(huán)數(shù)為隨機變量 Y .1. 離散型隨機變量的數(shù)學期望分賭本問題A 期望所得的賭金即為 X

3、的數(shù)學期望射擊問題 “平均射中環(huán)數(shù)”應為隨機變量Y 的數(shù)學期望關于定義的幾點說明 (3) 隨機變量的數(shù)學期望與一般變量的算術平均值不同. (1) E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權平均,與一般的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量 X 取可能值的真正的平均值, 也稱均值. (2) 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要求是因為數(shù)學期望是反映隨機變量X 取可能值的平均值,它不應隨可能值的排列次序而改變.試問哪個射手技術較好?實例1 誰的技術比較好?乙射手甲射手解故甲射手的技術比較好.每張彩票平均可賺每張彩票平均能得到獎金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行 10

4、 萬張彩票的創(chuàng)收利潤為實例3 如何確定投資決策方向? 某人有10萬元現(xiàn)金，想投資于某項目，預估成功的機會為 30%，可得利潤8萬元 ， 失敗的機會為70%，將損失 2 萬元若存入銀行，同期間的利率為5% ，問是否作此項投資?解設 X 為投資利潤，則存入銀行的利息:故應選擇投資.實例4商店的銷售策略解實例5分組驗血解2.連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的定義解因此, 顧客平均等待5分鐘就可得到服務.實例7 顧客平均等待多長時間? 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間 X(以分計)服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務的平均時間?1. 設 C 是常數(shù), 則有證明2. 設 X 是一個隨機變量,C 是常數(shù),

5、則有證明例如二、數(shù)學期望的性質(zhì)4. 設 X, Y 是相互獨立的隨機變量, 則有3. 設 X, Y 是兩個隨機變量, 則有證明說明 連續(xù)型隨機變量 X 的數(shù)學期望與離散型隨機變量數(shù)學期望的性質(zhì)類似.解實例81. 離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望解三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望設隨機變量 X 的分布律為則有因此離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望為若 Y=g(X), 且則有2. 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望若 X 是連續(xù)型的,它的分布密度為 f (x) , 則3. 二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望解實例9 設 ( X , Y ) 的分布律為由于實例10 解實例11 解因此期望所得為利用軟件包求解,并演示計算結(jié)果.單擊圖形播放/暫停 ESC鍵