2023屆高考數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點(diǎn)技巧總結(jié)(七)直線(xiàn)和圓2

1、2023屆高考數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點(diǎn)技巧總結(jié)七直線(xiàn)和圓1、直線(xiàn)的傾斜角：1定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線(xiàn)，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線(xiàn)重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線(xiàn)的傾斜角。當(dāng)直線(xiàn)與軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0；2傾斜角的范圍。如1直線(xiàn)的傾斜角的范圍是_答：；2過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角的范圍值的范圍是_答：2、直線(xiàn)的斜率：1定義：傾斜角不是90的直線(xiàn)，它的傾斜角的正切值叫這條直線(xiàn)的斜率，即tan(90)；傾斜角為90的直線(xiàn)沒(méi)有斜率；2斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線(xiàn)的斜率為；3直線(xiàn)的方向向量，直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的斜率有何關(guān)系？4應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線(xiàn)：。如(1) 兩條

2、直線(xiàn)鈄率相等是這兩條直線(xiàn)平行的_條件答：既不充分也不必要；2實(shí)數(shù)滿(mǎn)足 ()，那么的最大值、最小值分別為_(kāi)答：3、直線(xiàn)的方程：1點(diǎn)斜式：直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)斜率為，那么直線(xiàn)方程為,它不包括垂直于軸的直線(xiàn)。2斜截式：直線(xiàn)在軸上的截距為和斜率，那么直線(xiàn)方程為,它不包括垂直于軸的直線(xiàn)。3兩點(diǎn)式：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，那么直線(xiàn)方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)。4截距式：直線(xiàn)在軸和軸上的截距為,那么直線(xiàn)方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。5一般式：任何直線(xiàn)均可寫(xiě)成(A,B不同時(shí)為0)的形式。如1經(jīng)過(guò)點(diǎn)2，1且方向向量為=(1,)的直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程是_答：；2直線(xiàn)，不管怎樣變化恒過(guò)點(diǎn)_答：；3假設(shè)曲線(xiàn)與有兩個(gè)

3、公共點(diǎn)，那么的取值范圍是_答：提醒：(1)直線(xiàn)方程的各種形式都有局限性.如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線(xiàn)，還有截距式呢？；(2)直線(xiàn)在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線(xiàn)兩截距相等直線(xiàn)的斜率為-1或直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)；直線(xiàn)兩截距互為相反數(shù)直線(xiàn)的斜率為1或直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)；直線(xiàn)兩截距絕對(duì)值相等直線(xiàn)的斜率為或直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)。如過(guò)點(diǎn)，且縱橫截距的絕對(duì)值相等的直線(xiàn)共有_條答：34.設(shè)直線(xiàn)方程的一些常用技巧：1知直線(xiàn)縱截距，常設(shè)其方程為；2知直線(xiàn)橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線(xiàn))；3知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，常設(shè)其方程為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，那么其方程為；4與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)可表示為；5與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)可表示

4、為.提醒：求直線(xiàn)方程的根本思想和方法是恰中選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。5、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離及兩平行直線(xiàn)間的距離：1點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；2兩平行線(xiàn)間的距離為。6、直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系：1平行斜率且在軸上截距；2相交；3重合且。提醒：1、僅是兩直線(xiàn)平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？2在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線(xiàn)重合，而在立體幾何中提到的兩條直線(xiàn)都是指不重合的兩條直線(xiàn)；3直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直。如1設(shè)直線(xiàn)和，當(dāng)_時(shí)；當(dāng)_時(shí)；當(dāng)_時(shí)與相交；當(dāng)_時(shí)與重合答：1；3；2直線(xiàn)的方程為，那么與平行，且過(guò)點(diǎn)1，3的直線(xiàn)方程是_答：；3兩條直線(xiàn)與相交于第一象限，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_

5、答：；4設(shè)分別是ABC中A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，那么直線(xiàn)與的位置關(guān)系是_答：垂直；5點(diǎn)是直線(xiàn)上一點(diǎn)，是直線(xiàn)外一點(diǎn)，那么方程0所表示的直線(xiàn)與的關(guān)系是_答：平行；6直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且被兩平行直線(xiàn)和所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為9，那么直線(xiàn)的方程是_答：7、到角和夾角公式：1到的角是指直線(xiàn)繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線(xiàn)重合所轉(zhuǎn)的角，且tan=()；2與的夾角是指不大于直角的角且tan=()。提醒：解析幾何中角的問(wèn)題常用到角公式或向量知識(shí)求解。如點(diǎn)M是直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，把直線(xiàn)繞點(diǎn)M逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45，得到的直線(xiàn)方程是_答：8、對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題代入法：如1點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

6、，那么點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)答：；2直線(xiàn)與的夾角平分線(xiàn)為，假設(shè)的方程為，那么的方程是_答：；3點(diǎn)，關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2,7)，那么的方程是_答：；4一束光線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)，經(jīng)直線(xiàn):3x4y+4=0反射。如果反射光線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)，15，那么反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程是_答：；5ABC頂點(diǎn)A(3，)，邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為6x+10y59=0，B的平分線(xiàn)所在的方程為x4y+10=0，求邊所在的直線(xiàn)方程答：；6直線(xiàn)2xy4=0上有一點(diǎn)，它與兩定點(diǎn)4,1、3,4的距離之差最大，那么的坐標(biāo)是_答：5,6；7軸，C2，1，周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)答：。提醒：在解幾中遇到角平分線(xiàn)、光線(xiàn)反射等條件常利用對(duì)稱(chēng)求解。9、簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃：1二

7、元一次不等式表示的平面區(qū)域：法一：先把二元一次不等式改寫(xiě)成或的形式，前者表示直線(xiàn)的上方區(qū)域，后者表示直線(xiàn)的下方區(qū)域；法二：用特殊點(diǎn)判斷；無(wú)等號(hào)時(shí)用虛線(xiàn)表示不包含直線(xiàn)，有等號(hào)時(shí)用實(shí)線(xiàn)表示包含直線(xiàn)；設(shè)點(diǎn)，假設(shè)與同號(hào)，那么P，Q在直線(xiàn)的同側(cè)，異號(hào)那么在直線(xiàn)的異側(cè)。如點(diǎn)A2，4，B4，2，且直線(xiàn)與線(xiàn)段AB恒相交，那么的取值范圍是_答：2線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中的有關(guān)概念：滿(mǎn)足關(guān)于的一次不等式或一次方程的條件叫線(xiàn)性約束條件。關(guān)于變量的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)；求目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題；滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做

8、可行域；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解；3求解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是什么？根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式；作出可行域，寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)；確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如1線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)z=2xy在線(xiàn)性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是_答：1，1；2點(diǎn)，在直線(xiàn)2x3y+6=0的上方，那么的取值范圍是_答：；3不等式表示的平面區(qū)域的面積是_答：8；4如果實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，那么的最大值_答：214在求解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)要注意：將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；尋找最優(yōu)解時(shí)注意作圖標(biāo)準(zhǔn)。10、圓的方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：。圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為的圓二元二次方程表示圓的

9、充要條件是什么？ 且且；圓的參數(shù)方程：為參數(shù)，其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：；。為直徑端點(diǎn)的圓方程如1圓C與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么圓C的方程為_(kāi)答：；2圓心在直線(xiàn)上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_答：或；3是圓為參數(shù)，上的點(diǎn)，那么圓的普通方程為_(kāi)，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為_(kāi)，過(guò)P點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程是_答：；4如果直線(xiàn)將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過(guò)第四象限，那么的斜率的取值范圍是_答：0，2；5方程x2+yx+y+k=0表示一個(gè)圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)答：；6假設(shè)為參數(shù)，假設(shè)，那么b的取值范圍是_答：11、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)及圓，1點(diǎn)M在圓C外；2點(diǎn)M在圓C內(nèi)

10、；3點(diǎn)M在圓C上。如點(diǎn)P(5a+1,12a)在圓(x)y2=1的內(nèi)部,那么a的取值范圍是_答：12、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：直線(xiàn)和圓有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)判斷：1代數(shù)方法判斷直線(xiàn)與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況：相交；相離；相切；2幾何方法比擬圓心到直線(xiàn)的距離與半徑的大小：設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，那么相交；相離；相切。提醒：判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡(jiǎn)捷。如1圓與直線(xiàn)，的位置關(guān)系為_(kāi)答：相離；2假設(shè)直線(xiàn)與圓切于點(diǎn)，那么的值_答：2；3直線(xiàn)被曲線(xiàn)所截得的弦長(zhǎng)等于答：；4一束光線(xiàn)從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是答：4；5

11、是圓內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)和直線(xiàn)，那么A，且與圓相交 B，且與圓相交C，且與圓相離 D，且與圓相離答：C；6圓C：，直線(xiàn)L：。求證：對(duì)，直線(xiàn)L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)，求L的傾斜角；求直線(xiàn)L中，截圓所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí)的直線(xiàn)方程. 答：或最長(zhǎng)：，最短：13、圓與圓的位置關(guān)系用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷：兩圓的圓心分別為，半徑分別為，那么1當(dāng)時(shí)，兩圓外離；2當(dāng)時(shí)，兩圓外切；3當(dāng)時(shí)，兩圓相交；4當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；5當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含。如雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1、A2，P是雙曲線(xiàn)右支上任意一點(diǎn)，那么分別以線(xiàn)段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為答：

12、內(nèi)切14、圓的切線(xiàn)與弦長(zhǎng)：(1)切線(xiàn)：過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線(xiàn)方程是：，過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線(xiàn)方程是：，一般地，如何求圓的切線(xiàn)方程？抓住圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑；從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)一定有兩條，可先設(shè)切線(xiàn)方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法抓住圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑來(lái)求；過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)即“切點(diǎn)弦方程的求法：先求出以圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與圓的公共弦就是過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)方程；切線(xiàn)長(zhǎng)：過(guò)圓外一點(diǎn)所引圓的切線(xiàn)的長(zhǎng)為；如設(shè)A為圓上動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線(xiàn)，且|PA|=1，那么P點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)答：；2弦長(zhǎng)問(wèn)題：圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算：常用弦心距，弦長(zhǎng)一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解：；過(guò)兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為，當(dāng)時(shí)