“用高中數(shù)學(xué)BASIC編程,解力學(xué)疑難問題”-“旋轉(zhuǎn)球在空氣中做斜拋運動的精確偏離軌道”

1、“用高中數(shù)學(xué)BASIC編程，解力學(xué)疑難問題旋轉(zhuǎn)球在空氣中做斜拋運動的精確偏離軌道”(5)(5)(6)(7)【摘要】旋轉(zhuǎn)球在空氣中做斜拋運動“一直沒有得到 很好的解決.雖求得過若干近似軌道方程，但所做的近似假 設(shè)是否合理，精確度又如何，不得而知.本文重點研究用計 算機BASIC編程的方法探求旋轉(zhuǎn)球在空氣中做斜拋運動 的精確偏離軌道【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)球做斜拋運動；BASIC編程；精確偏離軌 道;微分方程數(shù)值解本課題主要研究用計算機BASIC編程的方法求取旋轉(zhuǎn) 球體在空氣中做斜拋運動的精確偏離軌道，并對近似軌道 的可行性進行論證.之所以球體在空氣中做斜拋運動時會偏離伽利略的理 想軌道，其根本原因，一是空

2、氣的阻力，二是球體的旋轉(zhuǎn).不 失一般性,這里僅以足球(側(cè)旋)為例，具體研究如下.一、基本原理簡述(一)受空氣壓差阻力作用的斜拋運動足球在水平方向具有速度受到壓差阻力了壓二 CdAp ；的作用，根據(jù)牛頓第二定律，其運動微分方程為3芳=-/壓，解此方程:t,得小球受空氣壓差阻力作用下的軌道方程V:U = * e+! - 1 - _e+! - 1 2. +9。!2+892!(二)馬格努斯力對球體運動軌道的橫向偏離作用小球在壓差阻力和馬格努斯力的共同作用下應(yīng)做變速 圓周運動，圓周運動半徑在不斷改變.0圖0圖12因為(=3* (馬=2p,V!T3).2令 C1 = 2p!；，貝U 3 = C1 TOC

3、o 1-5 h z 55又因為dS = 5d(,dS _ dS dt _dtd(dt d(9 d(，d( 9_ C1,dt 53 ，t(= $C1 dt = C1 t. 33 0假設(shè)，受空氣阻力影響很小，則,=,。(初始角設(shè)+ =號/，代入初始條件:0 = 0，9 =9$!得C。所以解得:9=因為 9! = J! dt = $9C24(dt.(8)因為Fx = vFt則t! = /1 +硯X0)，+90 x 因理想斜拋運動豎直方向位移方程為Z = 90Q0 -號(1)(2)(3)(4)由公式(9)( 14) 6 = / W124 (捋 t )dt.同樣因為 7 = $9dt = $94in(d

4、t.所以7=/W 蛔捋t )dt-(9)(10)(11)此時若能將公式(9)( 11)積分,即可求得小球在時刻t的水平位移x和橫向偏移距離或消去參數(shù)t得到小球運動的偏移方程公式(2)( 4)兩者即構(gòu)成軌道參數(shù)方程.消去時間參數(shù) 但事實上，因積分(9) (11)中的被積函數(shù)比較復(fù)雜，無Next tNext t法求得解析解.有多種方法可探求此微分方程的近似解.例如，假設(shè)馬 格努斯力不變，球體做圓周運動；假設(shè)馬格努斯力垂直于！ 軸等.但這些假設(shè)是否合理，所得的近似方程精確度如何, 不得而知.Print sx = sxPrint sy = ; sy ;打印這十五個點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo) sx = 0 :

5、sy = 0Next i二、用計算機編程探求旋轉(zhuǎn)球的精確偏離軌道End Sub(一)BASIC編程求微分方程的精確數(shù)值解在上節(jié)偏離軌道方程整個推演過程中，只有公式(9)、 (11)沒有作近似假設(shè).這里探討用高中數(shù)學(xué)簡單的BASIC 編程求取這兩微分方程的精確數(shù)值解:根據(jù)牛頓-萊布尼茲定積分的定義，微分方程(9)表1偏離軌道上十五個點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo):1. 7473.4375. 0896. 7028. 2779. 81411. 31212. 77214. 1940.02680.10510.23270.40740. 62720. 89011.19431. 5381. 919:15. 57816.

6、92418. 23219. 50220. 73421. 9422. 3362. 7873.27073. 7854. 32964. 908就是被積函數(shù)累加后取極限/( 0)-覷 3 (sin 旻)&.+0+0 0-0 1 + +09$!3這樣，可在VB6. 0中編一個循環(huán)，中間用疊加語句，實現(xiàn)精確求解.例如，當(dāng)足球以初速度9$ = 20 m/s,( = 20。,3 =14.6 S21飛出，在壓差阻力和馬格努斯力共同作用下，求小 球精確的橫向偏離軌跡V:根據(jù)節(jié)1.1、1.2的推演計算，由公式(9)( 11)，BASIC編程如下:Private Sub Command1_Click()0 = 20:

7、 a = 20: w = 14. 6v0 x= v0* Cos( a*6.28/360);設(shè)置初始條件m=0. 45c1= 0. 010205;由節(jié) 1.1、1.2 算得 C，K，Tk=0.00567;輸入原始數(shù)據(jù)Fori = 1 To 15;加外循環(huán)，要求均勻打印十五個點以及與近似軌道V的精確度比較(sketchpad打印)由于此BASIC程序中的各項參數(shù)都可以用INPUT語句 根據(jù)實際情況任意輸入，所以它具有普遍性、通用性.且只 要減小步長+0的值,便可任意提高計算的精度.根據(jù)運動獨立性原理，由公式(5)和BASIC程序V*即 可畫出小球飛行的精確立體圖.圖3For t = 0 To i*

8、 1.396/15 Step 0.001;設(shè)置循環(huán)起點、終點和步長*tx = Cos( c1* w* t/m) * 0.001 /( 1/v0 x + k* t/m);定義x為被積函數(shù)(9)與*t的乘積 y = Sin( c1* w* t/m) * 0.001 /( 1/v0 x + k* t/m);定義y為被積函數(shù)(11)與*t的乘積 sx = sx K x;將每次循環(huán)所得的x進行累加Sy = sy K y;將每次循環(huán)所得的y進行累加(二)近似偏離軌道方程的可行性論證若將馬格努斯力近似看作為“不變的向心力”處理，可 得近似軌道方程7 = C* - !l*2 _X2.( 12)若把馬格努斯力近

9、似假設(shè)成“始終垂直于06軸”，可得 近似軌道方程V2:7 = + (+:- 1) e+： + 1.( 13)在同一初始條件下(9$ = 20 m/s,( = 20度,，= 14. 6 S2)，在圖2中繪制偏離軌道：V!: 7 = 56. 78 - J3224 - !2,V2: 7 = 111 - (0. 0126! - 1) e00126! + 1.按最大水平距離22. 78計算，近似方法1,V1的偏離距離為4. 769 m,V*為5. 217,相 對誤差小于8. 59%.近似方法2,V2的偏離距離為5. 498 m,V*為5. 217,相 對誤差小于5. 39%.此結(jié)果證明，近似偏離軌道方程V1，V2可用，誤差在6% 9% 內(nèi).六、結(jié)論本文創(chuàng)建了使用BASIC編程描繪“旋轉(zhuǎn)球在空氣中 做斜拋運動的精確軌道”V*的新方法.論證了當(dāng)球體在同時受壓差阻力及