其他數(shù)模題特一等一

1、報名號 # 1863PAGE 第三屆“ScienceWord杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽承 諾 書我們仔細閱讀了第三屆“ScienceWord杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們

2、允許數(shù)學(xué)中國網(wǎng)站( HYPERLINK )公布論文，以供網(wǎng)友之間學(xué)習(xí)交流，數(shù)學(xué)中國網(wǎng)站以非商業(yè)目的的論文交流不需要提前取得我們的同意。我們的參賽報名號為：1863參賽隊員 (簽名) ：隊員1：藍超 隊員2：侯金伶隊員3：馬良 參賽隊教練員 (簽名)： 楊振華 參賽隊伍組別：研究生組第三屆“ScienceWord杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽編 號 專 用 頁參賽隊伍的參賽號碼：（請各個參賽隊提前填寫好）：901363競賽統(tǒng)一編號（由競賽組委會送至評委團前編號）：競賽評閱編號（由競賽評委團評閱前進行編號）：2010年第三屆“ScienceWord杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽題 目 聰明的汽車關(guān)

3、 鍵 詞 最小停車長度；雙弧停車法；有效切入?yún)^(qū) 摘 要：本文提出了一種 “雙弧停車法”模型用于模擬汽車側(cè)位停放的過程,其中，雙弧停車法是指汽車連續(xù)利用一次最小半徑轉(zhuǎn)彎，一次直線行駛和一次反向的最小半徑轉(zhuǎn)彎來完成泊車的一種停車方式。首先，我們通過考察汽車最小半徑轉(zhuǎn)彎時，車尾劃過的痕跡與停車位前后車輛的相交關(guān)系，以及車頭劃過的痕跡與停車位內(nèi)墻的相交關(guān)系，來計算停車時所需的最小停車空間長度，并以此作為汽車是否能停入該空位的判斷依據(jù)。在此基礎(chǔ)上，我們根據(jù)駕駛員所需判斷的因素最小化這一最優(yōu)原則，進一步從雙弧停車法中提煉出一種最優(yōu)的“零直線距離”停車情況，使得駕駛員不再需要對直線行駛的部分進行判斷。我們根

4、據(jù)汽車當(dāng)前的位置，動力特征和停車空間的大小，計算出一個“有效切入?yún)^(qū)”，即汽車在該區(qū)域內(nèi)任意一點，都可以利用雙弧停車法順利停車。我們也給出了汽車開始停車動作時，所應(yīng)該處的起始位置，第一次所需轉(zhuǎn)過的弧度和所需直線行駛的距離的計算模型，為駕駛員順利停車提供了精確的數(shù)學(xué)依據(jù)。參賽密碼 （由組委會填寫）參賽隊號 1863參賽密碼 （由組委會填寫）所選題目 聰明的汽車 英文摘要In this paper, we propose a double-curve parking approach (DCPA), which consists of three sections, namely, a minima

5、l-radius turning, a straightforward moving and a counter-directional minimal-radius turning, to model the lateral parking procedure of a car. First, we compute the minimal length of the parking place required for a successful parking. Then, based on the optimal principle, which we call as “l(fā)east con

6、sideration of the driver”, we point out an optimal parking strategy for the drivers based on DCPA, which no longer ask for the attention to the straightforward moving section. We also present a region in which the cars can use DCPA to perform parking at any position. Finally, we provide accurate sol

7、utions to the routine of the parking, including the start position, direction as well as other instructive information that drivers may directly follow to complete the parking.PAGE 12一、問題重述在狹窄的空間里把車停放在合適的位置，或在短小的停車位上側(cè)位停車，一直是考驗駕駛員技術(shù)與信心的問題。有調(diào)查報告稱：57% 的駕駛員對自己的停車技術(shù)缺乏自信，這一方面影響人的駕駛體驗，一方面也使停車空間不能得到充分利用。在此，

8、請你協(xié)助駕駛員來解決停車的問題。具體要求如下：(1) 對側(cè)位停車而言，在空位較短的時候，駕駛員會難以確定自己的汽車是否能順利停入。請你建立合理的模型，以判斷本車是否能在該處側(cè)位停車。我們假設(shè)可以得到停車位置的平面圖，包括停車空位的長度寬度等數(shù)據(jù)?？紤]到實用性，模型所需的本車數(shù)據(jù)要能夠容易測得，例如幾何尺寸、轉(zhuǎn)彎半徑等。(2) 我們假設(shè)停車位置的平面圖能夠顯示在汽車的車載顯示器上。請給出本車為了進入停車位，應(yīng)當(dāng)從哪個位置和角度進入。將理想線路以及允許的偏差顯示在圖上。二、基本假設(shè)1、汽車模型被簡化為長方形，其相關(guān)物理參數(shù)：車身長度、車身寬度、最小轉(zhuǎn)彎半徑等可以通過測量得到；2、側(cè)位停車時，除了側(cè)

9、位上有車輛停放之外，沒有其它障礙物。因此待停汽車的移動僅受停車位前后汽車的約束，而不受其它因素的約束。3、停車時駕駛員可以依靠后視鏡觀察車輛周圍環(huán)境，視野不會受到非正常限制；4、停車過程依賴于駕駛者的駕駛經(jīng)驗、駕駛技巧及反應(yīng)靈敏程度，任一停車環(huán)節(jié)駕駛員均可快速準(zhǔn)確地完成。5、在駕駛員停車過程中，空位前后停放車輛不移動。6、空位總是在待停汽車行駛的方向前方。比如，若汽車前行，則空位在汽車前方。7、駕駛員在停車過程中，凡是轉(zhuǎn)彎，總是將方向盤轉(zhuǎn)到極限位置，即汽車劃過的痕跡必是最小半徑弧線。8、待停汽車的初始狀態(tài)，是平行于側(cè)位停車位行駛。三、主要變量說明與名詞解釋停車位長度：本車在側(cè)位停車時，空位前后

10、兩部已停車輛之間的距離；停車位寬度：在路旁停車位標(biāo)志界限內(nèi)的寬度；最小轉(zhuǎn)彎半徑：轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)到極限位置的情況下汽車轉(zhuǎn)彎時，汽車前輪外側(cè)轉(zhuǎn)過的圓弧半徑；車身長度：沿汽車的前進方向最前端到最后端的距離；車身寬度：汽車最左端到最右端的距離； 軸距：汽車前軸中心至后軸中心的距離；前懸：汽車最前端至前軸中心的距離（見圖1）。從可查閱的材料中得知，汽車的基本物理量不包括前懸這個參數(shù)，但可通過車長與軸距計算出前懸的長度；后懸：汽車最后端至前軸中心的距離（見圖1）。同理可通過車長與軸距計算出后懸的長度；最小停車位長度：本車完成進入空位所需占用的停車位長度的最小值。四、問題分析當(dāng)給定停車位的空間和待停汽車車型，需要

11、計算側(cè)位停車的最佳軌跡和角度時，在整個側(cè)位停車過程中，車位長度、車位寬度、車身長度、車身寬度、軸距及最小轉(zhuǎn)彎半徑為已知參數(shù)，而待停汽車行駛至何處、以何角度駛?cè)肟瘴粸槲粗獏?shù)。側(cè)位停車時，己知參數(shù)可根據(jù)實際情況設(shè)定為任意值。問題討論的重點是如何建立合理的模型，根據(jù)已知參數(shù)判斷本車是否能在某空位停車，并準(zhǔn)確的計算未知參數(shù)的值，以描繪出理論上最優(yōu)的停車軌跡。此處，“最優(yōu)”可以理解為：需要駕駛員進行判斷的因素越少越好。比如，當(dāng)轉(zhuǎn)向時，駕駛員將方向盤轉(zhuǎn)到極限所需要進行的判斷，比不斷調(diào)整方向盤所需進行的判斷要復(fù)雜得多。因此，我們假設(shè)駕駛員在泊車轉(zhuǎn)彎時總是將方向盤轉(zhuǎn)至極限。4.1問題1分析（1）側(cè)位停車相關(guān)

12、參數(shù)的描述分析車輛側(cè)位停車的全過程，有兩個因素對停車質(zhì)量影響較大，一個是環(huán)境因素，另一個是汽車動力學(xué)特性。環(huán)境因素主要是道路參數(shù)，包括停車位長度、停車位寬度、停車的初始位置。汽車的動力學(xué)特性即車輛自身參數(shù)，包括車身長度、車身寬度、前懸和最小轉(zhuǎn)彎半徑，如圖1所示：圖1(2)側(cè)位停車的步驟及轉(zhuǎn)彎軌跡分析通過查閱相關(guān)資料，我們了解到側(cè)位停車的過程大致可以分為三個階段。首先，把車輛停放在合適的初始位置，停車初始位置一般為：車身與車位內(nèi)車輛間水平距離約為l米，車身離車道實線距離約為0.5米，車尾與前一停車位實線相平行。然后，轉(zhuǎn)動方向盤，逐漸增加車身方向角（車身方向角的定義為：車身與空位平行的方向的夾角，

13、順時針為正，逆時針為負）。最后，將車行駛到適當(dāng)位置后，逐漸減少車身方向角，直到其完全駛?cè)胪＼囄粸橹?。整個過程如圖2所示，其中Block 1,2,3表示已停車輛，Side Wall表示側(cè)位邊墻。Block 1Block 1Block 3Side WallBlock 2本車本 車本 車單弧單弧直線圖2盡管一般車輛只提供最小轉(zhuǎn)彎半徑的信息，但在實際行駛過程中，最小轉(zhuǎn)彎半徑并不能真正覆蓋汽車掃過的面積。設(shè)轉(zhuǎn)彎時，汽車尾部外側(cè)掃過的圓弧半徑為，汽車頭部外側(cè)掃過的圓弧半徑為，如圖3所示。易證明，,和所掃過的圓為同心圓。RmRmRhRt車頭車尾車尾軌跡車頭軌跡最小轉(zhuǎn)彎半徑軌跡圖3由圖3中的幾何關(guān)系，可知：

14、（1）一般情況下，因此有，即車尾掃過的圓弧半徑最大。因此，在考察汽車轉(zhuǎn)彎時是否會裝上障礙物（題中為已前后停放車輛）時，應(yīng)優(yōu)先考慮。（3）最小停車位空間首先，我們對側(cè)位停車“完成”的含義進行定義。定義1：側(cè)位停車“完成”，是指待停車輛（下文中簡稱“本車”）已經(jīng)完全停入指定停車位，車軸與Side Wall方向平行，且車頭緊挨著前一輛已停汽車。在實際駕駛中，本車通常采用走二個“單弧”線路外加一段直線的方式來完成停車。其中，本車走一個“單弧”線路的行為的定義如下。定義2：本車完成一個“單弧”線路，是指：從初始狀態(tài)起，本車只轉(zhuǎn)動一次方向盤（打至極限），行駛一段圓弧的方式（如圖2所示）。定義3：“雙弧停車

15、法”，是指如圖2所示，本車通過一個單弧路線，一段直線路線（長度視實際情況而定）和另一個反方向的單弧路線來完成泊車的方式。一般來說，當(dāng)停車位空間較長時，本車必定能停入空位；而當(dāng)停車位空間非常短?。ㄩL度縮至0時），本車必不能停入空位。因此，停車空位的長度必然存在一個最小值，使得本車恰好能通過“雙弧停車法”停車。我們稱這個最小值為最小停車位長度，它由本車的動力學(xué)特征和停車位長寬共同決定。對于問題一，我們要研究的問題是本車是否能停入當(dāng)前空位，等價于研究：當(dāng)前空位的停車位長度，是否大于或等于本車在此處停放時所需要的最小停車位長度。4.2問題2分析（1）問題分析的前提假設(shè)對于問題2， 確定本車為了進入停車

16、位，應(yīng)當(dāng)從哪個位置和角度進入。我們以汽車從右往左行駛尋找空位，并準(zhǔn)備以“車頭進，車尾出”的方式停車為例進行分析和研究。其它情況，比如從左往右行駛或“車尾進，車頭出”的分析方法與此類似。我們首先定義“有效切入?yún)^(qū)”：定義4：有效切入?yún)^(qū)是這樣一個區(qū)域：在該區(qū)域內(nèi)，本車車頭最多轉(zhuǎn)過90度時就可以順利進行停車；并且，本車在該區(qū)域內(nèi)任意一點開始轉(zhuǎn)彎，都能利用“雙弧停車法”完成停車。由于在雙弧停車法中，直線的距離視實際情況而定，我們可以對直線距離等于零的這種情況進行單獨考察，為此做如下定義：定義5：在用雙弧停車法停車時，“零直線距離”是指這樣一種情況：汽車可以連續(xù)經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)彎就完成停車，而無需中間行駛一段直

17、線距離作為過渡。根據(jù)我們定義的最優(yōu)原則，即需要駕駛員進行最少判斷的原則，“零直線距離”的雙弧停車法，比一般的雙弧停車法更優(yōu)（減少了駕駛員判斷直線行駛距離的必要）。基于以上分析，我們?yōu)轳{駛員提供一套最優(yōu)的泊車策略： 步驟1. 發(fā)現(xiàn)空位后，判斷本車是否能順利停放。若是，則繼續(xù)步驟2；若否，則離開。步驟2. 判斷本車是否可以通過“零直線距離”的雙弧法完成停車。若是，則繼續(xù)前行至可以運用“零直線距離”雙弧停車法的位置完成停車；若否，則繼續(xù)步驟3。步驟3. 判斷汽車是否處于有效切入?yún)^(qū)。若是，則就地開始利用雙弧停車法停車；若否，則待駛?cè)胗行腥雲(yún)^(qū)后，再開始用雙弧停車法停車。下一章中，我們將給出該策略中每個

18、步驟的判斷法則。五、模型的建立與求解5.1 問題1中判斷空位是否能停車的模型與求解我們通過“單弧”進入空位的方式，以“車頭進入，車尾退出”的模式為例分析此問。其它情況，如“車尾進入，車頭退出”，可采用類似方法分析。若本車以“單弧”方式進入，車頭、車尾的軌跡如圖4所示，綠色箭頭指明了本車駛?cè)氲姆较颉ｏ@然，若本車想要恰好順利停入，則其必須滿足兩個條件：車尾軌跡恰好與Block 3相交；車頭軌跡恰好與Side Wall相切（外切）。RtRtRh-WpBlock 1Block 3Side WallBlock 2本車車尾軌跡車頭軌跡最小轉(zhuǎn)彎半徑軌跡車頭本車進入方向LpminLpmin-DhWpa圖4由定

19、義可知，此時的停車位長度就是最小停車位長度。根據(jù)圖中的灰色三角形，有如下幾何關(guān)系： （2）因此，若本車想要停入當(dāng)前空位，則當(dāng)前空位的停車位長度必須滿足： （3）5.2問題2中判斷是否可用“零直線距離”雙弧停車法進行停車的模型與求解Step1：分析雙弧停車法圖4給出了汽車“單弧”停車時，汽車外側(cè)前輪掃過的圓弧痕跡（最小轉(zhuǎn)彎半徑軌跡）。采用雙弧法停車時，若汽車想達到相同的停放狀態(tài)，則其同一個輪胎（即外側(cè)前輪）必須駛上同一條軌跡，即圖5中所示的紅色圓弧上（記為C1）。其中，駛在同一條軌跡上是指：汽車的外側(cè)前輪（Z點）落在C1上，且此時汽車前進方向與C1在Z點相切。進入進入方向Block 1Block

20、 3Side Wall本車車尾軌跡車頭軌跡最小轉(zhuǎn)彎半徑軌跡車頭LpBlock 2Z點圖5根據(jù)第一問的分析可知，C1的大小和位置，是由汽車的性質(zhì)（即最小轉(zhuǎn)彎半徑和車長、車寬）決定的，與汽車當(dāng)前狀態(tài)無關(guān)。由于采取雙弧法停車，考慮到直線不改變汽車方向，因此，汽車只能通過第一次最小半徑左轉(zhuǎn)，來完成角度調(diào)整，使其進入C1時，方向剛好是進入點的切線方向。容易證明，汽車左轉(zhuǎn)時，前輪內(nèi)側(cè)的軌跡同樣是一個圓?。ㄓ洖镃2），且半徑為（如圖6所示）。假設(shè)汽車打算在某點（稱為“進入點”）駛上C1的軌跡，過該點做C1的切線（綠色線），那么汽車為了駛上C1，必須直線行駛到這樣一個位置，使得C2與綠線也相切。Block 1

21、Block 3SBlock 1Block 3Side WallBlock 2本車前輪“外”側(cè)點左轉(zhuǎn)時，外點圓弧軌跡。半徑為Rm-Dw過進入點的切線進入點本車前進方向C2C1Step2：判斷是否可用“零直線距離”的雙弧停車法停車我們在本題中僅考察汽車轉(zhuǎn)過角度不超過90度的情況，因此，相當(dāng)于C1只考察1/4圓?。幱安糠郑?，C2也只考察1/4圓弧（橙色部分）。C2的圓弧沿Side Wall的方向，向C1移動。記本車外側(cè)前輪到Side Wall的距離為，由圖7可知，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下條件時，兩弧才能可能相交，本車才可以實現(xiàn)零直線距離的雙弧法停車，即： （4）DscDsc-(Rm-Dw)DscDsc-(

22、Rm-Dw)Rm-DwRh本車Side Wall圖7Step3：計算“零直線距離”雙弧停車法停車時，本車應(yīng)該開始轉(zhuǎn)彎的位置和需要轉(zhuǎn)過的角度。圖8給出了C1與C2恰好相切的情況。我們用兩個量表述本車當(dāng)前的位置：1）與Side Wall平行的方向上，車輛外側(cè)前輪距Block 2尾區(qū)的距離； 2）車輛外側(cè)前輪距Side Wall的距離。DscDscDsc-(Rm-Dw)Rm+(Rm-Dw)Block 2LtDhLt-DhRh-(Dsc-(Rm-Dw)Q圖8令表示汽車前行至應(yīng)該轉(zhuǎn)彎的位置（即兩圓恰好相切的位置），那么，通過計算圖中灰色三角形的三邊關(guān)系，可以得到： （5）由此計算出，并可得知：當(dāng)時，汽車

23、已經(jīng)不能利用“零直線距離”雙弧法停車。當(dāng)時，汽車再前行的距離，即可開始轉(zhuǎn)彎，利用“零直線距離”雙弧法停車。同時，設(shè)汽車左轉(zhuǎn)過角度時，開始右轉(zhuǎn)。根據(jù)相似三角形，有 （6）由此求出，并得到汽車左轉(zhuǎn)應(yīng)該轉(zhuǎn)過的弧長度為： （7）5.3 問題2中判斷本車是否處于有效切入?yún)^(qū)的模型與求解Step1：計算有效區(qū)的模型由于本題僅考察本車最大轉(zhuǎn)過角度為90的情況，因此根據(jù)圖9可知，本車不能直線行駛距離過長，其當(dāng)前位置必須滿足： （8）Block 3SBlock 3Side WallDh+RmBlock 2Rm-Dw本車maxHDsc-Wp本車Lt其次，本車至少需要轉(zhuǎn)角度（圖9中粉紅色角），且轉(zhuǎn)彎時必須處于藍色區(qū)域

24、，否則會和Block 3相撞。由圖中幾何關(guān)系，我們有：1) 設(shè)定綠色角為，則：。 （9）2) 設(shè)定綠色加粉色的角為，則：。 （10）3) 最終，。 （11）因此，圖中藍色的梯形區(qū)域則為有效區(qū)。在該區(qū)域內(nèi)，本車可以隨時利用雙弧停車法進行停車。Step2：判斷本車是否已經(jīng)駛?cè)胗行腥雲(yún)^(qū)的模型此處，我們認(rèn)為對本車的位置而言，是固定不變的（初始狀態(tài)下，本車一直沿直線前行），只有在變化。因此通過可計算得圖9中的maxH： （12）而本車此時的位置為Dsc-Wp，顯然，當(dāng)： （13）時，汽車進入有效切入?yún)^(qū)；否則就沒有。此時根據(jù)幾何關(guān)系，我們給出車輛還需繼續(xù)前行的一個近似的距離： （14）Step3：計算本車進入有效切入?yún)^(qū)后，且不能用“零直線距離”雙弧線法停車時的行駛路線從分析中可以得到，當(dāng)本車處于有效切入?yún)^(qū)內(nèi)任意一個位置時，必然存在C1的一條切線（圖10中綠色直線），與C2相切。因此，本車可以就地開始