12講ch4-4誤差分析課件

1、第 4 節(jié)誤差分析第 4 節(jié)第 4 節(jié)第 4 節(jié) 前面我們已經(jīng)給出了求解線性方程組 A X= b 的直接方法,然而由于原始數(shù)據(jù)A,b常常是有誤差的,所以一般得不到方程組的精確解,只能得到近似解思考題如何判斷向量 的精確程度呢?怎樣衡量向量 的大小呢? 基于三維空間向量模的概念,這里構造了類似的概念_向量的范數(shù)和矩陣的范數(shù).范數(shù)概念在數(shù)值分析中起著重要的作用!一、范數(shù)在數(shù)值分析中的作用 前面我們已經(jīng)給出了求解線性方程組 A X= b 的直定義1二、向量范數(shù)的一般定義定義1二、向量范數(shù)的一般定義歐氏范數(shù)三、常用的向量范數(shù)歐氏范數(shù)三、常用的向量范數(shù)幾點說明說 明幾點說明說 明可以驗證上面三個范數(shù)均滿

2、足范數(shù)定義的條件.以范數(shù)為例：滿足條件1、2顯然。由于 為向量，而其分量為實數(shù)，故有說 明可以驗證上面三個范數(shù)均滿足范數(shù)定義的條件.滿足條件1、2顯然說 明說 明不難證明，1-范數(shù)，2-范數(shù)和-范數(shù)是等價的。例設則2-范數(shù)和-范數(shù)等價。如不做說明，今后|是指任意一種向量范數(shù)。說 明不難證明，1-范數(shù)，2-范數(shù)和-范數(shù)是等價的。例設則2-范例4.1解例4.2解SqrtSumn2,n,1,1000/N18271.1舉 例例4.1解例4.2解SqrtSumn2,n,1,10定義四、矩陣的范數(shù)定義四、矩陣的范數(shù)計算不方便,但理論價值高五、常用的矩陣范數(shù)計算不方便,五、常用的矩陣范數(shù)幾點說明一般說到范數(shù)

3、泛指上述任意一種當向量范數(shù)和矩陣范數(shù)同時出現(xiàn)時,默認它們是相容的稱為矩陣A的譜半徑說 明幾點說明一般說到范數(shù)泛指上述任意一種當向量范數(shù)和矩陣范數(shù)同時則由向量范數(shù)的等價性可得矩陣范數(shù)的等價性。 如果將矩陣范數(shù)看作 空間上的向量范數(shù)， 說 明則由向量范數(shù)的等價性可得矩陣范數(shù)的等價性。 如果將矩陣范例4.3解977.874017.335087491舉 例例4.3解9舉 例A=4,-3,-1,6;MatrixForm%;A1=MaxSumAbsAn,n,1,2A100=MaxTableSumAbsAn,m,m,1,2,n,1,2AE=SqrtSumAi,j2,i,1,2,j,1,2/NT=Transp

4、oseA.A;MatrixForm%;A2=NSqrtMaxEigenvaluesT,10977.874017.335087491計算程序:特征值轉(zhuǎn)置舉 例A=4,-3,-1,6;9計算程序:特征值轉(zhuǎn)置舉例4.4解543.605553.023706342舉 例例4.4解5舉 例A=1,2,0,-1,2,-1,0,1,1;MatrixForm%;A1=MaxSumAbsAn,n,1,3A100=MaxTableSumAbsAn,m,m,1,3,n,1,3AE=SqrtSumAi,j2,i,1,3,j,1,3/NT=TransposeA.A;MatrixForm%EigenvaluesNTA2=N

5、SqrtMaxEigenvaluesNT,10求矩陣的范數(shù)例題舉 例A=1,2,0,-1,2,-1,0,1,1;證明（略）注意：此式左端 表示矩陣范數(shù)，而右端是向量 和 的范數(shù)。利用向量范數(shù)所具有的性質(zhì)可證明其滿足矩陣范數(shù)的四個條件。另外還滿足性質(zhì)：舉 例證明（略）注意：此式左端 表示矩陣范數(shù)，而右端是向解：例4.5舉 例解：例4.5舉 例舉 例舉 例誤差分析第 5 節(jié)矩陣的條件數(shù)第 5 節(jié)誤差分析第 5 節(jié)第 5 節(jié) 求解線性方程組 A X= b 的解是由其系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量b決定的.由于原始數(shù)據(jù)A,b常常是有誤差的,必然會影響到解的精確度。思考題那些因素決定原始數(shù)據(jù)的誤差對解的影響?一、

6、擾動分析問題 求解線性方程組 A X= b 的解是由其系數(shù)矩陣A思例4.7分析二、病態(tài)方程組例4.7分析二、病態(tài)方程組二、病態(tài)方程組二、病態(tài)方程組定義二、病態(tài)方程組定義二、病態(tài)方程組右端項b 的擾動對解的影響右端項b 的擾動對解的影響系數(shù)矩陣A 的擾動對解的影響系數(shù)矩陣A 的擾動對解的影響定義說明三、矩陣的條件數(shù)定義說明三、矩陣的條件數(shù)三、矩陣的條件數(shù)三、矩陣的條件數(shù)四、矩陣條件數(shù)的性質(zhì)四、矩陣條件數(shù)的性質(zhì)四、矩陣條件數(shù)的性質(zhì)四、矩陣條件數(shù)的性質(zhì)例4.8解矩陣條件數(shù)的舉例例4.8解矩陣條件數(shù)的舉例ClearA,AN,A1,AN1,A100,AN100A=1,1/2,1/3,1/2,1/3,1/

7、4,1/3,1/4,1/5;MatrixForm%;AN=InverseA;MatrixForm%;A1=MaxSumAbsAn,n,1,3;AN1=MaxSumAbsANn,n,1,3;condA1=A1*AN1A100=MaxTableSumAbsAn,m,m,1,3,n,1,3;AN100=MaxTableSumAbsANn,m,m,1,3,n,1,3;condA100=A100*AN100=748矩陣條件數(shù)的舉例ClearA,AN,A1,AN1,A100,AN100=希爾伯特矩陣的條件數(shù)程序(6階)ClearBB=Table1/(i+j),i,1,6,j,0,5;MatrixForm%

8、BN=InverseB;B1=MaxSumAbsBn,n,1,6;BN1=MaxSumAbsBNn,n,1,6;condA1=B1*BN1B100=MaxTableSumAbsBn,m,m,1,6,n,1,6;BN100=MaxTableSumAbsBNn,m,m,1,6,n,1,6;condA100=B100*BN100=29070279矩陣條件數(shù)的舉例希爾伯特矩陣的條件數(shù)程序(6階)=29070279矩陣條件數(shù)希爾伯特矩陣的條件數(shù)程序(7階)ClearBB=Table1/(i+j),i,1,7,j,0,6;MatrixForm%BN=InverseB;B1=MaxSumAbsBn,n,1,

9、7;BN1=MaxSumAbsBNn,n,1,7;condA1=B1*BN1/NB100=MaxTableSumAbsBn,m,m,1,7,n,1,7;BN100=MaxTableSumAbsBNn,m,m,1,7,n,1,7;condA100=B100*BN100/N33872791095矩陣條件數(shù)的舉例希爾伯特矩陣的條件數(shù)程序(7階)33872791095矩陣條考慮設及b有微小誤差（取位有效數(shù)字）有簡記為其解為矩陣條件數(shù)的舉例考慮設及b有微小誤差（取位有效數(shù)字）有簡記為矩陣條件數(shù)的由于這表明與b是誤差不超過.，而引起解的相對誤差超過矩陣條件數(shù)的舉例由于這表明與b是誤差不超過.，而引起矩陣條

10、件數(shù)“病態(tài)”方程的經(jīng)驗判斷“病態(tài)”方程的經(jīng)驗判斷 第 6 節(jié)超定線性方程組的最小二乘解第 6 節(jié) 第 6 節(jié)超定線性方程 設有超定線性方程組：矩陣形式為：線性方程的最小二乘問題線性方程的最小二乘問題 設有超定矩陣形式為：線性方程的最小二乘問題線性方程的為求最小二乘解：先求F(x)的駐點線性方程的最小二乘問題為求最小二乘解：先求F(x)的駐點線性方程的最小二乘問題線性方程的最小二乘問題線性方程的最小二乘問題即線性方程的最小二乘問題即線性方程的最小二乘問題超定問題的正則方程組線性方程的最小二乘問題超定問題的正則方程組線性方程的最小二乘問題例4.9求方程組的最小二乘解線性方程的最小二乘問題例4.9求

11、方程組的最小二乘解線性方程的最小二乘問題正則方程組為此為超定線性方程組的最小二乘解。線性方程的最小二乘問題正則方程組為此為超定線性方程組的最小二乘解。線性方程的最小二本章小結 線性方程組的直接解法線性方程組的直接方法本章小結 線性方程組的直接方法AX=b直接法迭代法是列主元消去法Gauss消去法全主元消去法否是LU分解法追趕法A對稱且正定平方根法A三對角矩陣是改進平方根法請重點掌握基本內(nèi)容知識結構框圖直接法迭代法是列主元Gauss全主元否是LU分解法追趕法A對線性方程組: 如何求解?Cramer法則Maths的一般解法Gauss消元法的原理列主元素法全主元素法LU分解法直接三角分解法要 點 回

12、 顧線性方程組: 如何求解?Cramer法則Ma解三對角方程組的追趕法平方根法及改進的平方根法LU分解法直接三角分解法要 點 回 顧解三對角方程組的追趕法平方根法及改進的平方根法LU分解法直上三角方程組的一般形式是： 高斯消元法高斯消元法上三角方程組的一般形式是： 高斯消元法高斯消元法消元公式回代公式高斯消元法消元公式回代公式高斯消元法ClearP1,P2,P3,P4,P5,A,A1,A2,A3,A4,A5,A6A0=1,1,1,0,4,-1,2,-2,1;MatrixForm%b=6,5,1;X=x1,x2,x3;A=1,1,1,6,0,4,-1,5,2,-2,1,1;MatrixForm%

13、;P1=1,0,0,0,1,0,-2,0,1;A1=P1.A;MatrixForm%;P2=1,0,0,0,1/4,0,0,0,1;A2=P2.A1;MatrixForm%;Maths程序若當消元法舉例說明Maths程序若當消元法舉例說明P3=1,0,0,0,1,0,0,4,1;A3=P3.A2;MatrixForm%;P4=1,0,0,0,1,0,0,0,1/(-2);A4=P4.A3;MatrixForm%;P5=1,0,-1,0,1,1/4,0,0,1;A5=P5.A4;MatrixForm%;P6=1,-1,0,0,1,0,0,0,1;A6=P6.A5;MatrixForm%Linea

14、rSolveA0,bSolveA0.X=b,考慮將此程序改寫為一般程序。若當消元法舉例說明P3=1,0,0,0,1,0,0,4,1;考 假定Ax=bAX=（LU)x=L( U x ) = b令 U x=y,則原線性方程組 Ax=bLU分解的方法及應用 假定Ax=bAX=（LU)x=L( U x ) 四階LU分解_程序（請記錄）A=1,2,3,4,1,4,9,16,1,8,27,64,1,16,81,256;b=2,10,44,190;AE=IdentityMatrix4;MatrixForm%;L1=1/A1,1,0,0,0,AE2,AE3,AE4;MatrixForm%;A1=L1.A;Ma

15、trixForm%;L2=AE1,-A12,1,1,0,0,-A13,1,0,1,0,-A14,1,0,0,1;A2=L2.A1;MatrixForm%;L3=AE1,0,1/A22,2,0,0,AE3,AE4;A3=L3.A2;MatrixForm%;取第一行、第一列元素取第四行四階單位矩陣LU分解的方法及應用四階LU分解_程序（請記錄）取第一行、第一列元素取第四行四階L4=AE1,AE2,0,-A33,2,1,0,0,-A34,2,0,1;A4=L4.A3;L5=AE1,AE2,0,0,1/A433,0,AE4;A5=L5.A4;L6=AE1,AE2,AE3,0,0,-A54,3,1;A6

16、=L6.A5;L7=AE1,AE2,AE3,0,0,0,1/A64,4;A7=L7.A6;U=A7;MatrixForm%L=InverseL7.L6.L5.L4.L3.L2.L1;MatrixForm%;L.U;MatrixForm%LinearSolveL,b;y=%LinearSolveU,yLinearSolveA,b答案：Y=2, 4, 3, 1X=-1, 1, -1, 1X=-1, 1, -1, 1求逆矩陣LU分解的方法及應用L4=AE1,AE2,0,-A33,三對角線性方程組：LU分解的方法及應用三對角線性方程組：LU分解的方法及應用LU分解的方法及應用LU分解的方法及應用假設線性方程組: 其系數(shù)矩陣A對稱正定，則A的各階順序主子式和全部特征值均大于零（對稱正定矩陣的LU分解形式更加簡單，平方根法就是針對正定矩陣的LU分解法）平方根法與改進的平方根法假設線性方程組: 其系數(shù)矩陣A對稱正定，則A比較優(yōu)點： （1）不必選主元 （2）算法穩(wěn)定 （3）計算量小平方根法與改進的平方根法比較優(yōu)點： （1）不必選主元平方根法與改進的平方根法歐氏范數(shù)常用的向量范數(shù)二、向量、矩陣范數(shù)及誤差分析歐氏范數(shù)常用的向量范數(shù)二、向量、矩陣范數(shù)及誤差分析計算不方便,但理論價值高常用的向量范數(shù)計算不方便,常