第一章鞅第六節(jié)連續(xù)參數(shù)鞅的樣本函數(shù)的性質(zhì)和收斂定理

1、- -s,D令N=H，則結(jié)論(1)成立。2。往證(2)。對VwH,VtT+，因為wH，所以limx(w)存在且有窮。記sTt0ss,Dx(w)x(w)=tlimx(w)sTt0ss,D對Vs0，取60，使對Vs,(t6,t),D，有sI(w)一x(w)Its2又對Vr,(t6,t)，由于wH+，由y(w)的定義(式(1-6-7)，可取rtst,s,D(t6,t)，使sIy(w)一x(w)Its2于是當(dāng)r,(t-,t)時88Iy()-x()I于是當(dāng)r,(t-,t)時88Iy()-x()IIy()-x()I+Ix()-x()I一+，=8ttrsst22由此知limy()=()，即y()存在且有窮。

2、再取N=H，則結(jié)論(2)成tt-0rft-0r立。3。往證(3)。令rguD,rt,rft,nfg，因為x;F,t,T為下鞅，所以nn=1nnttJxdPJxdPtrnAA1-6-8)又因為y;F+,t,T是反向下鞅，所以xr一致可積。又因為y()=limx(),ntts-ft+0s,D從而limE|xnfg()-y()I=0。于是在式(1-6-8)中令nfg，JxdPfydP,VA,FtA從而知EyIt4往證(4)。取sgnn=1uD,rgnn=1uD,滿足ft+0,sfs+0,nfgnVA,F+，因為x;F,t,T是下鞅，所以stt1-6-9)JxdPJxdPy。tJydP0右連續(xù)tx有右

3、連續(xù)修正下鞅t證明：往證(1)=(2)。設(shè)D為T的任一可列稠密子集，令FF+，則定理1-6-2中的y;F,t,T是下鞅，且tta.e.xEyIF0,致可積，有tt致可積，有對Vt0，取tguD,tTt+0,nfg，貝U因為xnn1ntnEylimEx。又因為Ex右連續(xù)，所以limEx=Ex=Ey，故有ttttttnfgnnfgnJ(y一x)dP0,a.e.tt故yx,a.e.，所以y是x的右連續(xù)修正。tt往證(2)n(1)。設(shè)y是x的右連續(xù)修正下鞅。對任意tttguD,tTt+0,nTg，因為x一致可積，所以y一致可積。又因為nn1nttnnE|ytn|EIxIg，所以CLlimEtnns可知

4、，limEnE|ytn|EIxIg，所以CLlimEtnns可知，limEnfgElx右連續(xù)。tLElimyIEy=Etxtttnns7推論若F右連續(xù),t則如果x是鞅，就一定存在右連續(xù)修正鞅ty;F,t,T。tt證明：因為對一切，ts，Ex故eL右連續(xù)，由定理1-6-3知,t定理IFx，EE(xIF)Ex，eLLeL,sssssstsEL右連續(xù)。t設(shè)x;F,t,T是右連續(xù)下鞅，如果ttss則存在F可積的隨機變量xsupEIxInt0，使證明：令P(limx證明：令P(limxx)1tgt,gA;limx()存在(有窮或g)tt,gA(a,b)=;limx()ablimx()ttt,gt,g記Q

5、為全體有理數(shù)，貝AcA(a,b),P(Ac)P(A(a,b)abaVb(D)。設(shè)xa,xb，作tbbttnn0tguD,tt,tet,ts,t,b0,n,g。于是x在tg上上穿a,btnn0一次，所以VbVb(D)，從而VbVb(D)。由定理1-6-1矢口aaaaEVb(D)limEVb(DQ0,n)aan,glim1(Ex+IaI)TOC o 1-5 h zn,gban1(supEx+IaI)0故P(Vbg)P(Vb(D)g)=1。事實上若P(Vbg)=1-,貝IaaaP(VbJVbdPgaaaVbga矛盾。另一方面，A(a,b)匸w;Vbg，故aP(A(a,b)P(Vbg)1P(Vbg)0aa從而limx幾乎出處存在，記t,gtxlimxTOC o 1-5 h zgtt,g由于x是右連續(xù)的，所以x是F可測的，則tggP(limxx)1t,gtgt,g對x引用Fatou引理，有tEIxI,limEIx1ttT定理設(shè)x是一致可積的右連續(xù)下鞅(或鞅)，則存在F可測且可積的t隨機變量x，使得xTx,a.e.tVt0,x,E(x|F)(或)tt證明：習(xí)題1-6-6。推論設(shè)