專題07導(dǎo)數(shù)有關(guān)構(gòu)造函數(shù)方法高考數(shù)學(xué)(理)命題熱點(diǎn)全覆蓋(教師版)

1、專題07導(dǎo)數(shù)有關(guān)的結(jié)構(gòu)函數(shù)方法一知識(shí)點(diǎn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(C)_(C為常數(shù));(x)_；(x2)_；1_；x(x)_初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(xn)_；(sinx)_；(cosx)_；(ex)_；(ax)_；(lnx)_；(logax)_5導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法規(guī)(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；f（x）(3)g（x）_6復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)關(guān)于兩個(gè)函數(shù)yf(u)和ug(x)，若是經(jīng)過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這兩個(gè)函數(shù)(函數(shù)yf(u)和ug(x)的復(fù)合函數(shù)為yf(g(x)(2)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為_，即y對x的

2、導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積二題型解析1.結(jié)構(gòu)多項(xiàng)式函數(shù)2.結(jié)構(gòu)三角函數(shù)型3.結(jié)構(gòu)ex形式的函數(shù)4.結(jié)構(gòu)成積的形式5.與lnx有關(guān)的結(jié)構(gòu)6.結(jié)構(gòu)成商的形式7.對稱問題（一）結(jié)構(gòu)多項(xiàng)式函數(shù)例1已知函數(shù)fxxR滿足fl1，且fx的導(dǎo)函數(shù)fx1，則fxx1的解集為（）222A.B.x|x1C.D.x|x1【答案】D考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.【方法點(diǎn)晴】此題主要觀察了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值等知識(shí)點(diǎn)的綜合觀察，重視觀察了學(xué)生解析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)變與化歸思想的應(yīng)用，此題的解答中依照題設(shè)條件，結(jié)

3、構(gòu)新函數(shù)Fx，利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答問題的要點(diǎn)，屬于中檔試題.練習(xí)1.設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f(x)，關(guān)于任意的實(shí)數(shù)x，都有，當(dāng)x(,0)時(shí)，.若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A1,)B3,)C1,)D2,)22【答案】A【解析】，設(shè)，則，g(x)為奇函數(shù)，又，g(x)在(,0)上是減函數(shù)，從而在R上是減函數(shù)，又等價(jià)于，即，m1m，解得m12考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用.【思路點(diǎn)睛】因?yàn)?，設(shè)，則，可得g(x)為奇函數(shù)，又，得g(x)在(,0)上是減函數(shù)，從而在R上是減函數(shù)，在依照函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得，由此即可求出結(jié)果.練習(xí)2.設(shè)奇函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù),且在上,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A

4、BCD【答案】B【方法點(diǎn)晴】此題主要觀察了函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、以及函數(shù)的奇偶性的判斷等知識(shí)點(diǎn)的綜合觀察，重視觀察了轉(zhuǎn)變與化歸的思想方法，以及學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題，解答中得出函數(shù)的奇函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性是解答的要點(diǎn).練習(xí)3.設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f(x)，對任意xR，都有，且x(0,)時(shí)，f(x)x，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A1,B,1C,2D2,【答案】B【解析】令，則，則，得g(x)為R上的奇函數(shù)x0時(shí)，故g(x)在(0,)單調(diào)遞加，再結(jié)合g(0)0及g(x)為奇函數(shù)，知g(x)在(,)為增函數(shù)，又則，

5、即,1應(yīng)選B考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】此題觀察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，爾后結(jié)構(gòu)函數(shù)，經(jīng)過新函數(shù)的性質(zhì)把已知條件轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于a的不等式來求解.此題解答的要點(diǎn)是由已知條件f(x)x進(jìn)行聯(lián)想，結(jié)構(gòu)出新函數(shù)，爾后結(jié)合來研究函數(shù)gx的奇偶性和單調(diào)性，再經(jīng)過要解的不等式結(jié)構(gòu)，最后獲取關(guān)于a的不等式，解得答案.（二）結(jié)構(gòu)三角函數(shù)型例2已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽,fx為函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x0,時(shí)，且xR，.則以下說法必然正確的選項(xiàng)是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】令，則.因?yàn)楫?dāng)x0,時(shí)，即，因此，因此在x0,上單調(diào)遞加.又xR，因此，因此，故為奇函數(shù)，因此在R上單調(diào)遞加，因此.即，應(yīng)

6、選B.練習(xí)1已知函數(shù)yf(x)對任意的滿足（其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)），則以下不等式成立的是（）ABCD【答案】A【解析】結(jié)構(gòu)函數(shù)，則，即函數(shù)g（x）在單調(diào)遞加，則，即，故A正確，即練習(xí)2定義在(0,)上的函數(shù)f(x)，fx是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則（）2A.B.CD.【答案】D【解析】在區(qū)間0,上，有，即令2，則，故Fx在區(qū)間0,上單調(diào)遞加.2令，則有，D選項(xiàng)正確.【思路點(diǎn)晴】此題有兩個(gè)要點(diǎn)，第一個(gè)要點(diǎn)是“切化弦”，在很多題目中，若是遇到tanx，經(jīng)常轉(zhuǎn)變?yōu)閟inxcosx來思慮；第二個(gè)要點(diǎn)是結(jié)構(gòu)函數(shù)法，題目中，可以化簡為，這樣我們就可以結(jié)構(gòu)一個(gè)除法的函數(shù)，而選項(xiàng)正好是判斷單調(diào)性

7、的問題，順勢而為.（三）結(jié)構(gòu)ex形式的函數(shù)例3已知函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)為fx，且對xR恒成立，則以下函數(shù)在實(shí)數(shù)集內(nèi)必然是增函數(shù)的為（）A.fxB.xfxC.exfxD.xexfx【答案】D【解析】設(shè)，則.對xR恒成立，且ex0.在R上遞加，應(yīng)選D.練習(xí)1.設(shè)函數(shù)f(x)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f(0)1，且，則的解集為（）A.(ln4,)B.(ln2,)33C.(3,)D.(e,)23【答案】B【解析】依題意，結(jié)構(gòu)函數(shù)，由，得，xln23【思路點(diǎn)晴】此題觀察導(dǎo)函數(shù)的看法，基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，對數(shù)的運(yùn)算及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.結(jié)構(gòu)函數(shù)法是在導(dǎo)數(shù)題目中一個(gè)常用的解法.方程的有解問題就是判斷可否存在零點(diǎn)的問

8、題，可參變分別，轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的值域問題辦理.恒成立問題以及可轉(zhuǎn)變?yōu)楹愠闪栴}的問題，經(jīng)?？衫脜⒆兎制渌椒?，轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)最值辦理練習(xí)2.已知fx定義在R上的函數(shù)，fx是fx的導(dǎo)函數(shù)，若，且f02，則不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集是（）AB1,C0,D【答案】C【解析】設(shè)，則，gx，ygx在定義域上單調(diào)遞加，gx1，又，gxg0，x0，不等式的解集為0,應(yīng)選：C.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【方法點(diǎn)晴】此題觀察函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件結(jié)構(gòu)函數(shù)，爾后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的要點(diǎn)，屬于中檔題結(jié)合已知條件中的以及所求結(jié)論可知應(yīng)結(jié)構(gòu)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究ygx的單調(diào)性，結(jié)合

9、原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解.練習(xí)3定義在R上的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為fx，若對任意實(shí)數(shù)x，有，且fx1為奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A,0B0,C,1D1,ee【答案】B【解析】設(shè)由，得，故函數(shù)gx在R上單調(diào)遞減由fx1f01，因此不等式為奇函數(shù)等價(jià)于fx1，即，結(jié)合函數(shù)gx的單調(diào)性可得x0，從而不等式ex的解集為0,，故答案為B.【方法點(diǎn)晴】此題觀察了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)構(gòu)函數(shù)的思想，閱讀解析問題的能力，屬于中檔題常有的結(jié)構(gòu)思想是使含有導(dǎo)數(shù)的不等式一邊變?yōu)?，即得，當(dāng)是形如時(shí)結(jié)構(gòu)；當(dāng)是時(shí)結(jié)構(gòu)，在此題中令，（xR），從而求導(dǎo)gx0，從而可判斷ygx單調(diào)遞減，從而可獲取不等式的解

10、集練習(xí)4.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)fx，滿足，且fx2為偶函數(shù)，f41，則不等式fxex的解集為（）A2,B4,C1,D0,【答案】D【解析】設(shè)，則函數(shù)（gx）是R上的減函數(shù)，函數(shù)fx2是偶函數(shù)，函數(shù)函數(shù)關(guān)于x2對稱，原不等式等價(jià)為（gx），1不等式fxex等價(jià)（gx），1即g（x）是R上的減函數(shù)，x0不等式fxex式的解集為0,選D練習(xí)5設(shè)函數(shù)f(x)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f(0)1，且，則的解集是（）A.ln4,ln2,3eB.C.,D.,3323【答案】B【解析】設(shè)，則，因此（c為常數(shù)），則，由c2，因此，又由，因此，即f(x)3，即2e3x13，解得xln2應(yīng)選B3（四）結(jié)構(gòu)成積

11、的形式例4已知定義在R上的函數(shù)yfx滿足：函數(shù)yfx1的圖象關(guān)于直線x1對稱，且當(dāng)x,0時(shí)，（fx是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)）成立若，則a，b，c的大小關(guān)系是（）AabcBbacCcabDacb【答案】A【解析】易知fx關(guān)于y軸對稱,設(shè),當(dāng)x,0時(shí),Fx在,0上為遞減函數(shù),且Fx為奇函數(shù),Fx在R上是遞減函數(shù).,即bc,應(yīng)選A.【方法點(diǎn)睛】此題觀察學(xué)生的是函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題目.從選項(xiàng)可以看出,要想比較a,b,c的大小關(guān)系,需要結(jié)構(gòu)新函數(shù),經(jīng)過已知函數(shù)fx的奇偶性,對稱性和單調(diào)性,判斷Fx的各種性質(zhì),可得FxR上是遞減函數(shù).因此只需比較自變量的大小關(guān)系,經(jīng)過分別對各個(gè)自變量與臨界值0,1作比較,判斷

12、出三者的關(guān)系,即可獲取函數(shù)值得大小關(guān)系.練習(xí)1.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(,0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且有，則不等式的解集為（）ABC(2018,0)D(2016,0)【答案】B考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，結(jié)構(gòu)函數(shù)【思路點(diǎn)晴】此題觀察函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，結(jié)構(gòu)函數(shù)法，這樣我們就可以結(jié)構(gòu)函數(shù)由此可以求出Fx的單調(diào)性，即函數(shù)Fx為減函數(shù).是一個(gè)常有的題型，題目給定一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)的條件，它的導(dǎo)數(shù)恰好包含這個(gè)已知條件，.注意到原不等式可以看作，利用函數(shù)的單調(diào)性就可以解出來.練習(xí)2設(shè)函數(shù)fx是定義在0,上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為fx，且有，則不等式的解集為（）A2012,B0,2012C0,2016D20

13、16,【答案】D【解析】試題解析：函數(shù)fx是定義在0,上的可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)yx2（fx）在0,上是增函數(shù)，不等式的解集為2016,【名師點(diǎn)睛】此題觀察函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題解題時(shí)正確確定函數(shù)yx（fx）0,上是增函數(shù)是解題的要點(diǎn)2在練習(xí)3.函數(shù)fx是定義在區(qū)間0,上可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為fx，且滿足，則不等式的解集為（）ABCD【答案】C（五）與lnx有關(guān)的結(jié)構(gòu)例5.已知定義在實(shí)數(shù)集f3，則不等式R的函數(shù)f(x)滿足（1）=4,且f(x)導(dǎo)函數(shù)f(x)的解集為（）A.(1,)B.(e,)C.(0,1)D.(0,e)【答案】D【解析】設(shè)t=lnx,則不等式化為f(t)3t1

14、，設(shè)g(x)=f(x)-3x-1,則。因?yàn)閒(x)3，因此1時(shí)，g(x)g(1)=0,此時(shí)g(x)=f(x)-3x-13x+1的解為x3t+1的解集為t1.由lnx1得0 xe。選D。練習(xí)1.設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù).若，則（）ABCD【答案】B【解析】由不等式啟示，可結(jié)構(gòu)函數(shù)，則，又由，得，即Fx在0,上為單調(diào)遞加函數(shù)，因?yàn)?ee2，因此，即，又，整理可得，.故正確答案選B.【方法點(diǎn)晴】此題主要觀察導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等方面的知識(shí)，屬于中高檔題.第一依照條件，結(jié)構(gòu)函數(shù)，對函數(shù)Fx求導(dǎo)，則有，可知Fx在0,上為單調(diào)遞加函數(shù)，又2ee2，即，化簡整理即得正確答案.（六）結(jié)構(gòu)成商的形式例6.已知f

15、x在0,上非負(fù)可導(dǎo)，且滿足，關(guān)于任意正數(shù)m,n，若mn，則必有（）ABCD【答案】D【解析】結(jié)構(gòu)函數(shù),則由可知函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),因?yàn)閙n,因此,即,也即,因此應(yīng)選D考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和靈便運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】此題是一道抽象型的函數(shù)性質(zhì)判斷題答此題的難點(diǎn)是不清楚函數(shù)的解析式也無法弄清楚.觀察的是運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解析問題和解決問題的能力,因此擁有較大的難度.求解時(shí)經(jīng)過深刻的觀察和抽象概.解括,先結(jié)構(gòu)一個(gè)新的函數(shù)斷出函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),爾后再帶該函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),借助題設(shè)中的條件.從而運(yùn)用單調(diào)函數(shù)的定義使得此題巧妙獲解.,判練習(xí)1.已知函數(shù)yfx是R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，有，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A0B1C

16、2D3【答案】B【解析】令.，即當(dāng)x0時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，為減函數(shù)，函數(shù)y1在區(qū)間x上為增函數(shù)，故在區(qū)間,0上有一個(gè)交點(diǎn).即的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.考點(diǎn)：1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；2.零點(diǎn).【思路點(diǎn)晴】零點(diǎn)問題一種解法是變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，如此題中的的零點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)變?yōu)椋簿褪亲笥覂蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，函數(shù)y1上為增在區(qū)間x函數(shù)，經(jīng)過已知條件解析,即當(dāng)x0時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，為減函數(shù)，由此判斷這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間,0上有一個(gè)交點(diǎn).練習(xí)2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，當(dāng)時(shí)，下面選項(xiàng)中最大的一項(xiàng)是（）Af(mn)BCf(nm)Dmnnm【答案】B【解析】令，則，又，因此最大的一項(xiàng)為哪一項(xiàng)，選B.考點(diǎn)：

17、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性【方法點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要結(jié)構(gòu).構(gòu)造輔助函數(shù)常依照導(dǎo)數(shù)法規(guī)進(jìn)行：如結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)等練習(xí)3.已知fx是定義在R上的減函數(shù)，而滿足，其中fx為fx的導(dǎo)數(shù)，則（）A對任意的B對任意的C當(dāng)且僅當(dāng)D當(dāng)且僅當(dāng)【答案】B【解析】由題意f(x)0恒成立，由得令x1得f(1)0，又f(x)為減函數(shù)，因此當(dāng)x1時(shí)，而當(dāng)x1時(shí)，由得f(x)0，從而f(x)0，f(x)綜上有當(dāng)xR時(shí)，f(x)0應(yīng)選B考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性【名師點(diǎn)睛】此題觀察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，在解題時(shí)，要點(diǎn)是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得出f(x)0恒成立，爾后對已知不等式進(jìn)行解

18、析，第一可得f(1)0，從而有獲取部分f(x)的正負(fù)，即x1時(shí)，實(shí)質(zhì)上這個(gè)結(jié)果就消除了A，C的正確性，也說明D是錯(cuò)誤的，只有B是正確的這是利用了選擇題的特點(diǎn)練習(xí)4.若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=1，其導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（x）k1，則以下結(jié)論中必然錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）ABCD【答案】C【解析】依照導(dǎo)數(shù)的看法得出可判斷答案解；f（x）=（x）k1，k1，即k1，當(dāng)x=時(shí)，f（）+1k=即f（）1=故f（），因此f（），必然出錯(cuò)，應(yīng)選：C練習(xí)5.已知奇函數(shù)fx定義域?yàn)闀r(shí),；f11；2【答案】k1，用x=代入可判斷出f（），即，為其導(dǎo)函數(shù),且滿足以下條件x0則不等式fx2x2的解集為.,4x【解析】x0時(shí)，令，又fx為奇函數(shù)，因此gx為偶函數(shù)，因?yàn)?，因此，從而解集為考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解不等式【方法點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要結(jié)構(gòu)造輔助函數(shù)常依照導(dǎo)數(shù)法規(guī)進(jìn)行：如結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu).構(gòu)，結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)等（七）對稱問題例7設(shè)函數(shù)AB是，則C的導(dǎo)數(shù)某同學(xué)經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，其中滿足已知函數(shù)（）D【答案】D【解析】對稱中心為，設(shè)，解得是函數(shù)的圖象上關(guān)于中心對稱的兩點(diǎn)，則，因此函數(shù)的，應(yīng)選D考點(diǎn)：1、轉(zhuǎn)變與劃歸思想及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2、函數(shù)對稱的性質(zhì)及求和問題【方法點(diǎn)睛】此題經(jīng)過“三次函數(shù)都有對稱中心