平穩(wěn)時間序列的ARMA模型

1、 ARMA1平穩(wěn)性有一類描述時間序列的重要隨機模型受到了人們的廣泛關注，這就是所謂的平穩(wěn)模型。這類模型假設隨機過程在一個不變的均值附近保持平衡。其統(tǒng)計規(guī)律不會隨著時間的推平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。移發(fā)生變化。平穩(wěn)的定義分為定義1（嚴平穩(wěn)） # 設x,t,T是一個隨機過程t量，在不同的時刻x是在不同的時刻tt的隨機變t是不同的隨機變量，任取n個值t,t和任1n 意的實數(shù)汕則xx分布函數(shù)滿足關系式1nF（x，x;t，t）F（x，x;t+h，t+h）n1n1nn1n1n則稱,x,tt為嚴平穩(wěn)過程。t在實際中，這幾乎是不可能的。由此考慮到是否可以把條件放寬，僅僅要求其數(shù)字特征（數(shù)學期望和協(xié)方差）相等。定義2（寬平

2、穩(wěn)）若隨機變量,x,tT的均值（一階矩）和協(xié)方差（二階矩）t存在，且滿足：任取tT，有E(x)二c；t任取tT，t+，T，有E(X(t)a)(X(t+,)a)=R(,)協(xié)方差是時間間隔的函數(shù)。則稱x,tT為寬平穩(wěn)過程,t其中R(,)為協(xié)方差函數(shù)。2各種隨機時間序列的表現(xiàn)形式白噪聲過程（whitenoise,如圖1）。屬于平穩(wěn)過程。兒=u,uIID(0,0)tt3whitenoise210-1-2-3100120140160180200220240260280300圖1白噪聲序列（0=1）隨機游走過程（randomwalk，如圖11）。屬于非平穩(wěn)過程。yt=yt-1+ut,utiid(o,10y

3、=y(-1)+u5-5-1020020406080100120140160180圖2隨機游走序列（2=1）2DJPY1-1-2220240260280300320340360380400220020001800160014001200圖3日元兌美元差分序列 #50100150200250300 圖4深圳股票綜合指數(shù)10080604020750800400450500550600650圖5隨機趨勢非平穩(wěn)序列（=0.1）200-20-40-60-80100200300400500600700800圖6隨機趨勢非平穩(wěn)序列（=-0.1）10.0Ln(Income)9.59.08.58.07.57.05

4、560657075808590圖7對數(shù)的中國國民收入序列 1412108640050556065707580859095圖8中國人口序列3延遲算子延遲算子類似于一個時間指針，當前序列值乘以一個延遲算子，就相當于把當前序列值的時間向過去撥了一個時刻，記B為延遲算子，有x=Bpx,p1。tpt特別1-B)是差分算子。4ARMA(p,q)模型及其平穩(wěn)性和可逆性4.1模型類型及其表示在平穩(wěn)時間序列的分析中，應用最廣泛的是有限參數(shù)模型。p階自回歸模型：用自己的過去和現(xiàn)在的隨機干擾表X。tx，X+X+X+aa是白噪聲。t1t12t2ptpttq階移動平均模型：用現(xiàn)在和過去的隨機干擾表x。tX，aaaatt

5、1t12t2qtqp階自回歸和q階移動平均模型：自己的過去及過去和現(xiàn)在的隨機干擾表X。tX一X一X一一X，a一a一a一一at1t12t2ptpt1t12t2qtq其中a是白噪聲序列。t4.2平穩(wěn)性X，X+X+X+a是平穩(wěn)時間序列的反映t1t12t2ptpt嗎？如果它是平穩(wěn)時間序列的模型，回歸系數(shù)應該滿足何種條件呢？例設X是一階自回歸模型，即X，X+a或tt1t1t(B)X，a，其中(B)，1Btt11則X，；a(利用等比級數(shù)的通項和公式)t(1B)t=無jBja1tj，o=藝ja1tjj，o如果I1，X，藝4ja,a的系數(shù)隨著j的增加而1t1tjtjj,o趨于無窮大，這顯然違背了“遠小近大”的

6、原則，由此可見，平穩(wěn)的充分必要條件是II1，II1,X二-jXatit-jtX的系數(shù)隨著j的增加而趨于無窮大，這顯然違背了“遠小t-j丿近大”的原則，由此可見，X=a，a的逆轉形式存在的tt1t1充分必要條件為I11，I1p。kk注：偏自相關函數(shù)的概率意義是在給定X，,X的條件t1tk+1下，X和X的相關系數(shù)。ttkARMA（p，q）模型自相關和偏自相關均拖尾，但是快速收斂到零。表1自相關和偏自相關特征表偏自相關函數(shù)AR(p)MA(q)ARMA(P,q)拖尾截尾拖尾截尾拖尾拖尾型自相關函數(shù)對一個實際時間序列，我們能掌握的是一段樣本數(shù)據(jù)，所以首先要利用樣本數(shù)據(jù)估計模型的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)。

7、【例】利用1997年1月2002年12月到北京海外旅游人數(shù)資料繪制自相關和偏自相關圖，在這里去掉了2003年的數(shù)據(jù)是由于非典的流行使2003年到北京旅游的人數(shù)銳減，出現(xiàn)奇異值，不具有一般性。如圖17所示。 1 #圖171997年1月2002年12月到北京海外旅游人數(shù)曲線圖 1 #Autocorrelations:SARSAuto-Stand.LagCorr.Err.-1-.75-.5-.250.25.5.751Box-LjungProb.口卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩口1.587.115.o*.*25.892.0002.358.115.o*.*35.657.

8、0003.166.114o*37.775.0004.074.113O*38.205.0005.068.112O*38.573.0006.183.111.o*41.281.0007.034.110o*41.377.0008.011.110.*.41.387.0009.095.109o*42.154.00010.253.108.o*.*47.641.00011.427.107.o*.*63.578.00012.660.106.o*.*102.277.00013.386.105.o*.*115.737.00014.179.104.o*118.679.00015.038.103.o*.118.814.

9、00016-.022.103.*.118.860.000Autocorrelations:SARSPlotSymbols:Autocorrelations*TwoStandardErrorLimits.圖1897年1月到02年12月到北京海外旅游人數(shù)自相關圖圖18顯示滯后一期和滯后兩期的自相關函數(shù)分別為0.5874和0.35818，超過了兩倍標準差，顯著不為零，以后的自相關函數(shù)均顯著為零，直到滯后期為周期的長度12時，自相關函數(shù)出現(xiàn)了峰值，為0.66015，這是季節(jié)性時間序列的十分典型的特征，該序列從自相關函數(shù)看長期趨勢并不十分顯著。而且可能建立MA模型會產生過多的參數(shù)，于是可能適應的AR模型

10、。根據(jù)偏相關系數(shù)，如圖19所示PartialAutocorrelations:SARSPr-Aut-Stand.LagCorr.Err.-1-.75-.5-.250.25.5.751口卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩口1.587.118.o*.*2.020.118.*.3-.080.118.*o.4.003.118.*.5.064.118.o*.6.197.118.o*.7-.255.118*O.8.036.118o*9.223.118.o*.10.248.118.o*11.239.118.o*12.391.118.o*.*13-.305.118*.*o.14-

11、.165.118.*o.15-.044.118.*o.16-.029.118.*o.PlotSymbols:Autocorrelations*TwoStandardErrorLimits.圖1997年1月到02年12月到北京海外旅游人數(shù)偏自相關圖偏自相關函數(shù)圖19顯示滯后期為1，7，12和13的偏自相關函數(shù)分別為0.5874、-0.2555、0.39145和-0.30474，顯著不為零，該時間序列的偏自相關函數(shù)顯示該時間序列可能適應的模型(1B)(lB12)X，a和112tt(1BB7B12B13)X，a。171213tt我們模擬模型為(1B)(1B12)X，a。112tt表2模型(1B)(1

12、B12)X，a的參數(shù)估計表112tt參數(shù)參數(shù)估計標準差t值P值110.4959420.09480105.2314030.00000.7672140.076675610.0059730.000012卩22.7398662.186436110.4004260.0000StandarderrorAIC3.1740588Loglikelihood-189.48646384.97291SBC391.80291表2顯示，該模型為aX，22.739866+tt(10.495942B)(10.767214B12)進一步對模型的適應性進行檢驗，回歸系數(shù)均顯著外，殘差的自相關函數(shù)均落在兩倍標準差內，可以認為殘差序

13、列是白噪聲序列，如圖20所示。Auto-Stand.LagCorr.Err.-1-.75-.5-.250.25.5.751Box-LjungProb.口卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩口1-.048.115.*o.175.6762.039.115.O*.292.8643.040.114.o*.416.9374.056.113.O*.664.9565-.007.112.*.668.9856.112.111o*.1.681.9477.028.110o*.1.747.9728-.045.110*o.1.917.9839.117.109o*.3.083.96110.03

14、1.108o*.3.167.97711-.037.107*o.3.286.98612-.047.106*o.3.485.99113.130.105o*.5.011.97514.025.104o*.5.070.98515.017.103*.5.096.99116.067.103o*5.517.993圖20最終模型殘差的自相關函數(shù)圖最終模型殘差的白噪聲檢驗結果表明殘差序列可以視為白噪聲序列，模型是適應的。當模型通過了檢驗，我們可以用該模型進行結構分析和預測分析了。3時間序列建模的方法為了對時間序列建模有一個較全面的了解，下面從樣本觀測數(shù)據(jù)出發(fā)，介紹建立時間序列模型的基本步驟。Box-Jenkins

15、方法是以序列的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)的統(tǒng)計特性為依據(jù)，找出序列可能適應的模型，然后對模型進行估計。通常可以考慮的模型ARMA、ARIMA和乘積型季節(jié)模型。（一）模型的識別對于一組長度為N的樣本觀測數(shù)據(jù)x,x,x，首先要對12N數(shù)據(jù)進行預處理，預處理的目的是實現(xiàn)平穩(wěn)化，處理的手段包括差分和季節(jié)差分等。經過預處理的新序列能較好滿足平穩(wěn)性條件。模型的識別包括差分階數(shù)d、季節(jié)差分階數(shù)D、模型階數(shù)、q、k和m的識別。識別的工具是自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)。如果樣本的自相關函數(shù)(s)當sq時顯著為零，則序列適應的模型是MA(q)。如果樣本的偏自相關函數(shù)當sp時顯ss著為零，則序列適應的模型是AR,p)。若

16、樣本的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)均拖尾，并且按負指數(shù)衰減，則序列是ARMA序列，這時應該從高階到低階擬合模型，從中選擇最佳的。當自相關函數(shù)緩慢下降，或是具有季節(jié)變化，那么觀測的序列是具有趨勢變動或季節(jié)變動的非平穩(wěn)序列，則需要做差分或季節(jié)差分，如果差分后的序列的樣本的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)既不截尾又不拖尾，而在周期s的整倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，則序列遵從乘積型季節(jié)模型，否則遵從ARIMA模型。（二）模型的估計當模型的階數(shù)確定之后，利用有效的擬合方法。如最小二乘估計，極大似然估計等方法，估計模型各部分的參數(shù)。（三）診斷性檢驗模型選擇檢驗所選擇的模型是否能較好地擬合數(shù)據(jù)。它包括模型過擬合和欠擬合檢驗。通過檢

17、驗的結果，修改模型。時間序列建模應該基于簡約的原則，即用盡可能少的模型參數(shù)，對模型做出盡可能精確估計。所以在選擇模型時應該反復試探，這是一個識別，建模，再識別，再建模的過程。附錄1AR模型平穩(wěn)的充分必要條件。由于(B)X=att有X二1at(B)t111設(B)=0有個根，則(B)可表示為，九九12p(B)=c(1-,B)(1-,B)(1-,B)，c為常數(shù)，不妨假設12p11為1。貝0X二a=at(B)t(1-,B)(1-,B)(1-,B)t12p用待定系數(shù)法，有是有限實數(shù)）kX1a=YAka(其中t(B)t(1-,B)tTOC o 1-5 h zk1k再用等比級數(shù)通項和公式，有X1at(B)

18、t=pA.(1-LB)/k1k=YA(藝,jBj)akktk1j0=藝(YAkkt-jj0k1,Aj是把X表示為白噪聲的加權和的系數(shù)，根據(jù)前面kktk=11的結論，如果X=a平穩(wěn)，其充分必要條件為權系數(shù)絕t(B)tk1,的模大于1，即在單位圓外。p對收斂，權系數(shù)絕對收斂的充分必要條件為所有的模小于111，所以其根121,1,12可見自回歸模型的自回歸多項式如果有在單位圓上的根,的模大于1，則,的模小于1。12Pp1則可以稱為時間序列是非平穩(wěn)的，或存在趨勢。附錄2MA模型可逆的充分必要條件設時間序列X是m階滑動平均模型，有tX，aaaa，0(B)att1t12t2qtqt其中：0(B)，1BB2Bq12qX可逆的充分必要條件是：t特征方程0(z)，1zz2Zq，0的根在單位圓外。證：假設0(z)，1一z-z2Zq，0有m個根TOC o 1-5 h z12q11120(B)，1-B-B2Bq12q(1-vB)(1-vB)(1-vB)12q11故a，X，.Xt0(B)t(1-vB)(1-vB)(1-vB)t HYPERLINK l bookmark7312q用待定系數(shù)法，有上式為：