高等數(shù)學(xué)二重積分概念

1、高等數(shù)學(xué)二重積分概念第1頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例 二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計(jì)算 二重積分的概念與性質(zhì) 第十章 第2頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四解法:一、引例1.曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:底：頂:側(cè)面：求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” xOy 面上的閉區(qū)域 D連續(xù)曲面以 D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面類似定積分解決問題的思想:第3頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四1)“大化小”以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)2)“

2、常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體用 曲線網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域任意第4頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四4)“取極限”令則曲頂柱體的體積為：第5頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四2. 平面薄片的質(zhì)量 有一個(gè)平面薄片, 在 xOy 平面上占有區(qū)域 D ,計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為設(shè)D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求極限” 解決.1)“大化小”相應(yīng)把薄片也分為小塊 .用 曲線網(wǎng)分D 為 n 個(gè)小區(qū)域任意第6頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)

3、“近似和”4)“取極限”則第 k 小塊的質(zhì)量第7頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四兩個(gè)問題的共性：(1) 解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 第8頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四二、二重積分的定義及可積性定義 將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù) I , 使可積 , 積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 在D上的二重積分.第9頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四引例1中曲頂柱體體積:

4、引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,元素d也常記作二重積分記作這時(shí)分區(qū)域 D , 因此面積 可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 第10頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四二重積分存在定理:若函數(shù)定理2 (證明略)定理1 在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限條光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如, 在 D :上二重積分存在 ;在D 上 二重積分不存在 . 第11頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四三、二重積分的性質(zhì)( k 為常數(shù)) 為D 的面積, 則 第12頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期

5、四特別, 由于則5. 若在D上6. 設(shè)D 的面積為 ,則有第13頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四7.(二重積分的中值定理)證由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此由性質(zhì)6 可知,第14頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四例1其中解它在與 x 軸的交點(diǎn) (1,0) 處與直線從而而域 D 位于直線的上方, 故在 D 上比較下列積分的大小:積分域 D 的邊界為圓周第15頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四例2 估計(jì)下列積分之值解由于積分性質(zhì)5即: 1.96 I 2DD 的面積為第

6、16頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四例3 判斷積分的正負(fù)號(hào).解則原式 =猜想結(jié)果為負(fù) 但不好估計(jì) .舍去此項(xiàng)分積分域?yàn)榈?7頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四8. 設(shè)函數(shù)D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對(duì)稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有第18頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的記作 第19頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)

7、23分，星期四同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算記作 第20頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四例4解利用對(duì)稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為求兩個(gè)底圓半徑為R 的直交圓柱面所圍的體積.設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為第21頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義2. 二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法第22頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四被積函數(shù)相同, 且非負(fù), 思考與練習(xí)解 由它們的積分域范圍可知1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:第23頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四2. 設(shè)D 是第二象限的一個(gè)有界閉域 , 且 0 y 1, 則的大小順序?yàn)?( )因 0 y 1, 故故在D上有提示:第24頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四3 計(jì)算解 第25頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四4 證明:其中D 為解又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .利用題中 x , y 位置的對(duì)稱性, 有第26頁，共28頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四補(bǔ)