2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國卷)3

1、絕密 啟用前2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.(2017全國3,理1)已知集合A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|y=x,則AB中元素的個數(shù)為()A.3B.2C.1D.0解析A表示圓x

2、2+y2=1上所有點的集合,B表示直線y=x上所有點的集合,易知圓x2+y2=1與直線y=x相交于兩點22,22,-22,-答案B2.(2017全國3,理2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則|z|=()A.12B.22C.2D解析由題意,得z=2i1+i=1+i,故|z|=1答案C3.(2017全國3,理3)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月

3、至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)解析由題圖可知2014年8月到9月的月接待游客量在減少,故A錯誤.答案A4.(2017全國3,理4)(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A.-80B.-40C.40D.80解析(2x-y)5的展開式的通項公式Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)當(dāng)r=3時,x(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為C5322(-1)3當(dāng)r=2時,y(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為C5223(-1)2=故展開式中x3y3的系數(shù)為80-40=40.答案C5.(2017全國3,理5)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,

4、b0)的一條漸近線方程為y=52x,且與橢圓x2A.x28-y210=1B.x24-y25解析由題意得ba=52又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程為x24-答案B6.(2017全國3,理6)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+3),則下列結(jié)論錯誤的是(A.f(x)的一個周期為-2B.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=8C.f(x+)的一個零點為x=6D.f(x)在(2,解析由f(x)=cosx+3的解析式知-2是它的一個周期,故將x=83代入f(x)=cosx+3,得f83=-1,故y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=f(x+)=cosx+43,當(dāng)x=6時,f(x+)=cos6當(dāng)x2,時,x

5、+356,43答案D7.(2017全國3,理7)執(zhí)行右面的程序框圖,為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N的最小值為()A.5B.4C.3D.2解析程序運行過程如下表所示:SMt初始狀態(tài)01001第1次循環(huán)結(jié)束100-102第2次循環(huán)結(jié)束9013此時S=90b0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0A.63B.33C.23解析以線段A1A2為直徑的圓的方程是x2+y2=a2.因為直線bx-ay+2ab=0與圓x2+y2=a2相切,所以圓心到該直線的距離d=2abb整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,從而答案A11

6、.(2017全國3,理11)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則a=()A.-12B.13C.12解析f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=f(x),即x=1為f(x)圖像的對稱軸.f(x)有唯一零點,f(x)的零點只能為1,即f(1)=12-21+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12答案C12.(2017全國3,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=

7、2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=AB+AD,則+的最大值為()A.3B.22C.5D.2解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,1),B(0,0),D(2,1).設(shè)P(x,y),由|BC|CD|=|BD|r,得r=|BC即圓的方程是(x-2)2+y2=45易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=AB+AD,得x=2,y-1=-,所以所以+=12x-y+1設(shè)z=12x-y+1,即12x-y+1-z=因為點P(x,y)在圓(x-2)2+y2=45上所以圓心C到直線12x-y+1-z=0的距離dr即|2-z|14+1所以z的最大值是3,即+的最

8、大值是3,故選A.答案A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(2017全國3,理13)若x,y滿足約束條件x-y0,x+y-20,解析畫出不等式組表示的可行域,如圖,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,得目標(biāo)函數(shù)在點A(1,1)處取得最小值z=31-41=-1.答案-114.(2017全國3,理14)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=.解析設(shè)an的公比為q,則由題意,得a1(1+q)=-1,a1(答案-815.(2017全國3,理15)設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x0,2x,x0,則滿足f(x)解析f(x)=x+1,x0,2x,即fx-121-f(x),利用圖像變

9、換,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=fx-12與y=1-f(由數(shù)形結(jié)合可知,滿足fx-121-f(x)答案-16.(2017全國3,理16)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:當(dāng)直線AB與a成60角時,AB與b成30角;當(dāng)直線AB與a成60角時,AB與b成60角;直線AB與a所成角的最小值為45;直線AB與a所成角的最大值為60.其中正確的是.(填寫所有正確結(jié)論的編號)解析由題意,AB是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線,由ACa,ACb,得AC圓錐底面,在底面內(nèi)可以過點B,作BDa,交底面圓C

10、于點D,如圖所示,連接DE,則DEBD,DEb.連接AD,在等腰三角形ABD中,設(shè)AB=AD=2,當(dāng)直線AB與a成60角時,ABD=60,故BD=2.又在RtBDE中,BE=2,DE=2,過點B作BFDE,交圓C于點F,連接AF,由圓的對稱性可知BF=DE=2,ABF為等邊三角形,ABF=60,即AB與b成60角,正確,錯誤.由最小角定理可知正確;很明顯,可以滿足直線a平面ABC,直線AB與a所成的最大角為90,錯誤.故正確的說法為.答案三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必

11、考題:共60分。17.(2017全國3,理17)(12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)設(shè)D為BC邊上一點,且ADAC,求ABD的面積.解(1)由已知可得tan A=-3,所以A=2在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由題設(shè)可得CAD=2所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面積與ACD面積的比值為12AB又ABC的面積為1242sinBAC=23,所以ABD的面積為318.(12分)(2017全國3,理18)某超市計劃按月訂購一種

12、酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;

13、(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值?解(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=3690=0.4,P(X=500)=25+7+490=0因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200n500.當(dāng)300n500時,若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y=6300+2(n-300)-4n=

14、1 200-2n;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.當(dāng)200n300時,若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300時,Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值,最大值為520元.19.(12分)(2017全國3,理19)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)證

15、明:平面ACD平面ABC;(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的余弦值.解(1)由題設(shè)可得,ABDCBD,從而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中點O,連接DO,BO,則DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB為二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.(2)由題設(shè)及(1)知,OA,OB,OD兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA的方向為x軸正方向,|

16、OA|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由題設(shè)知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的12,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的12,即E為DB的中點,得E故AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=設(shè)n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,則n可取n=1,設(shè)m是平面AEC的法向量,則m同理可取m=(0,-1,3).則cos=n所以二面角D-AE-C的余弦值為7720.(12分)(2017全國3,理20)已知拋物線C:y2=2x,過點(2,0)的直線l交C于A,B兩點,圓

17、M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明:坐標(biāo)原點O在圓M上;(2)設(shè)圓M過點P(4,-2),求直線l與圓M的方程.解(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,又x1=y122,x2=y222,故x1x因此OA的斜率與OB的斜率之積為y1x所以O(shè)AOB.故坐標(biāo)原點O在圓M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圓心M的坐標(biāo)為(m2+2,m),圓M的半徑r=(m由于圓M過點P(4,-2),因此APBP故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x

18、2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12當(dāng)m=1時,直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為(3,1),圓M的半徑為10,圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10.當(dāng)m=-12時,直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為94,-12,圓M的半徑為85421.(12分)(2017全國3,理21)已知函數(shù)f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)0,求a的值;(2)設(shè)m為整數(shù),且對于任意正整數(shù)n,(1+12)(1+122)(1+12n)m解(1)f(x)的定義域為(0,+).若a0,因為f12=-12+aln 20,由f(x)=1-ax=x-ax知,當(dāng)x(0,a)時,f(x)0.令x=1+12n得ln從而ln1+12+ln1+122+ln1+12n12故1+121+而1+121+1221+(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。22.(10分)(2017全國3,理22)選修4