第一章結構動力學概述2(長沙理工大學結構動力學)

1、1.5 結構運動方程的建立 要了解和掌握結構動力反應的規(guī)律，必須首先建立描述結構運動的（微分）方程。建立運動方程方法很多，常用的有：達朗伯原理、虛位移原理、哈密頓原理建立運動方程。1）達朗伯原理-直接平衡法 對運動的質體m，將其慣性力 看成作用在質體上，聯(lián)合主動力F(t)、重力W、彈性力 阻尼力 再直接應用平衡條件建立平衡方程從而得到運動方程的方法1、應用的原理和方法ckmF(t)mF(t)FdFsFiW例如圖示結構設在某時刻t，質點的總位移為 ，它包括質體重量所產(chǎn)生的靜位移 和動位移y，取向下為正。作用在質體上的力有：動力荷載： F(t)；彈性力：阻尼力：重力：W=mg慣性力：根據(jù)平衡條件可

2、得運動方程為：即：由于質體重量所產(chǎn)生的靜位移 與質體重量W相互平衡，于是上式為：2）虛位移原理當結構較復雜時，可運用基于虛位移原理的虛功法來建立方程。假想m沿y正方向發(fā)生一符合約束條件的虛位移 ，由虛位移原理可知，各力在虛位移上所做的總虛功等于零。即：也即：3）哈密頓原理采用該法對上例分析，同樣可以得到之前兩個方法得到的方程。 用哈密頓原理時和上兩方法的不同之處：不再考慮慣性力、阻尼力和彈性恢復力等，它們通過能量變分來得到。哈密頓原理是能量變分形式的平衡方程。在時間段 和 內，動能T減位能V的變分加非保守力做的功 的變分等于零，即2、廣義單自由度系統(tǒng) 廣義單自由度系統(tǒng)有兩種：即剛體集合系統(tǒng)和分

3、布質量系統(tǒng)。 1、剛體集合系統(tǒng) 當質體為一桿件（而非質點），且有質量桿件為剛性時，便可以將這種桿件看做是廣義單自由度系統(tǒng)。應用達朗伯原理亦可以建立起這種體系的運動方程。如：圖示系統(tǒng)AB梁為剛性無質量桿件，CD梁亦為剛性桿，其總質量為m，k1、k2分別為兩彈簧的勁度，c為粘性阻尼系數(shù)。cABCDk2k1F(t)2LLLL設C點向下位移為Y，B點向下位移為y1；K2彈簧力為K2(2/3Y-y1)CD桿的慣性力為CD桿的轉角為 （設振動微小）則其角加速度為 cABCDk2k1F(t)2LLLLCD桿的轉動慣量為對AB梁由MA=0，得對CD梁由MD=0，得由上兩式消去y1,可得：改寫為：式中為廣義質量

4、， 為廣義勁度 為廣義阻尼系數(shù)為廣義荷載則CD桿的轉動慣性矩為 cABCDk2k1F(t)2LLLL213、 桿系結構單自由度體系的運動方程建立 要了解和掌握桿系結構動力反應的規(guī)律，必須首先建立描述結構運動的（微分）方程。下面介紹建立在達朗泊爾原理基礎上的“動靜法”。m運動方程施力物體慣性力m形式上的平衡方程，實質上的運動方程一、柔度法mEIl=1l柔度系數(shù)柔度法步驟：1.在質量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。一、柔度法mEIl=1l柔度系數(shù)柔度法步驟：1.在質量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。二、剛度

5、法mEIl1y剛度系數(shù)剛度法步驟：1.在質量上沿位移正向加慣性力；2.求發(fā)生位移y所需之力；3.令該力等于體系外力和慣性力。柔度法步驟：1.在質量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。三、列運動方程例題剛度法步驟：1.在質量上沿位移正向加慣性力；2.求發(fā)生位移y所需之力；3.令該力等于體系外力和慣性力。例1.mEIlEIl=1l例2.=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4柔度法步驟：1.在質量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。三、列運動方程例題剛度法步驟：1.在質量上沿位移正向加慣性力；2.求發(fā)生位移y

6、所需之力；3.令該力等于體系外力和慣性力。例3.mEIlEIl1例4.mEIl/2EIl/2三、列運動方程例題例3.mEIlEIl1例4.mEIl/2EIl/21例5.m1EIl/3l/3l/3m2=簡記為位移向量柔度矩陣荷載向量質量矩陣加速度向量例6.m1m2=剛度矩陣例6.m1m2=+例6.m1m2例7 圖示體系為質量均勻分布的剛性平板,試建立運動方程. 總質量為M,轉動慣量為J.設 水平位移為x 豎向位移為y 轉角為2b2a 練習1、圖示，不計梁的質量，梁中有一質點m，其剛度為EI，建立其動平衡方程。剛度系數(shù)的求法有二：在質點m處沿運動方向加一單位力，求出相應的位移f（柔度系數(shù)），圖乘可求得f，剛度系數(shù)為柔度系數(shù)之倒數(shù)。mL/2L/21PL/4K1ACB于是方程即為：K=1/f=48EI/mL/2L/