(整理)07曲線積分與曲面積分

1、精品文檔精品文檔第七章曲線積分與曲面積分(僅數(shù)學(xué)一)【大綱要求】：1理.解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系.2.掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法.3掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)求二元函數(shù)全微分函數(shù)的原函數(shù).4了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握兩類曲面積分的計(jì)算方法，掌握利用高斯公式計(jì)算曲面積分的方法，并會(huì)用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分.5了解散度、旋度的概念，并會(huì)計(jì)算.6會(huì)用曲線積分及曲面積分計(jì)算一些幾何量和物理量(平面圖形的面積、體積、曲面的面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等).一、曲線積分1第一類曲線積分

2、(對弧長的曲線積分)()【定義】設(shè)曲線L是工分平面上的分段光滑曲線，xy)是定義在曲線L上的有界函數(shù)，則f(xy)在曲線L上的第一類曲線積分為ii其中,表示第i個(gè)小弧段長度，為這n個(gè)小弧段長度的最大值.f(xii其中,表示第i個(gè)小弧段長度，為這n個(gè)小弧段長度的最大值.()性質(zhì)性質(zhì)1設(shè).,為常數(shù)，則f(x,y)g(x,y)ds/1(x,y)ds(x,y)ds.性質(zhì)2設(shè)l由l和l兩段光滑曲線組成(記為“l(fā).l)，則212f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds.L2L1L2性質(zhì)3設(shè)在L有f(x,y)g(x,y)，則If(x,y)ds(%,y)ds性質(zhì)4(中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在光滑曲

3、線L上連續(xù)，則在L上必存在一點(diǎn)g)，使1f(x,y)dsf(H)其中s是曲線L的長度.L性質(zhì)5對稱性(1)曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性若曲線l關(guān)于x軸對稱，則有，f(x,y)ds,f(x,y)關(guān)于x是偶函數(shù)f(x,y)dsl1l10,f(x,y)關(guān)于x是奇函數(shù)其中L為L在x軸上方部分.曲緞L關(guān)于y軸對稱，則有，f(x,y)ds,f(x,y)關(guān)于y是偶函數(shù)f(x,y)dsL1L，f(x,y)關(guān)于y是奇函數(shù)其中L為L在y軸右方部分.(2)積1分關(guān)于積分變量的對稱性若在曲線的方程中，x與y對調(diào)后方程不變，則有f(x,y)dsf(y,x)ds.(3)計(jì)算方法LL直接計(jì)算法(參數(shù)方程法)i)如果曲線l的方程為

4、:Tx()，(.,)，則yy(t),嗎(x,y)dshBfx(t),y(t)”(t)y(t)dtii)如果曲線l的方程為:y(x),“xb，則Bf(x,y)dsIbfx,y(x)vly(x)dxLxx(y),cyd，則，(x,y)ds/x(y),yV1x(y)dyiv)如果曲線L的方程為Ig,.，則Hf(x,y)dsf(rcos，rsin)r2(H)r()d注意：以上計(jì)算中要注意兩點(diǎn)：曲線L的方程的參數(shù)形式已知(參數(shù)可以不同)，即一定要把曲線L的方程化為參數(shù)方程；積分的下限一定要小于上限即積分限必須由小到大(與起點(diǎn)終點(diǎn)大小無關(guān))。利用積分曲線與積分變量的對稱性計(jì)算.【題型一】第一類曲線積分的計(jì)

5、算【例】求IJx2y2ds，其中C為x2y2yC【解答】：【例】求,呼心一是橢圓吟1在第一象限的部分【例3【例3】求周長為a【解答】：I(Xsin、x2y2X24y27y)ds，其中L是x2(y1)21，且L的Lv4【例】求I.x2.y2.z2)ds，其中L是點(diǎn)(1,m,2)到點(diǎn)(2,1,3)的直線段X2X2y2z24a2,z0a0X2y22aX【例】求iyds，其中l(wèi)：lx2y2z2【解答】：9【例】計(jì)算/(x2y2z2)ds，其中L：STy2z2-2L*z1【解答】：2第二類曲線積分(對坐標(biāo)的曲線積分)()【定義】設(shè)曲線L為xy平面上從點(diǎn)A到點(diǎn)B的有向光滑曲線，P(x,y),Q(x,y)為

6、曲線L上的有界函數(shù)，則P(x,y),Q(x,y)沿曲線L的第二類曲線積分為iiiiiiL0.其中為這幾個(gè)小弧段長度的最大值:tP(x,y)dxQ(x,y)dyiiiiiiL0.其中為這幾個(gè)小弧段長度的最大值:(2)性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)L是有向曲線弧，M是與L方向相反的有向曲線弧，則P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y)dxQ(x,y)dy；LL即第二類曲線積分與積分弧段的方向有關(guān).性質(zhì)2如L由L和L兩段光滑曲線組成，則12PdxQdyBllpdxQdyPdxQdy.L(3)計(jì)算方法L(3)計(jì)算方法L1L2直接計(jì)算法(參數(shù)方程法)：如果曲線L的參數(shù)方程為x.x(t),y.y(t),則P(x,y)d

7、xQ(x,y)dy叫px(t),y(t)x)Qx(t),y(t)y)dt.L其中是指參數(shù)的/的起點(diǎn)值到參數(shù),的終點(diǎn)值(它可以由小到大，也可以由大到小。必須強(qiáng)調(diào)的是：它是,的起點(diǎn)值終點(diǎn)值)。如果曲線L的方程為y.y(%.起點(diǎn)為。,終點(diǎn)為b，則PdxQdyPx,y(x)Qx,y(x)y(%)dx.La如果曲線L的方程為xx(y),起點(diǎn)為g終點(diǎn)為d，則PdxQdy1Px(y),yx(y)Qx(y),ydy.Lc間接計(jì)算法(利用格林公式，與路徑無關(guān)，求原函數(shù)法)i)格林公式(格林定理)：設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有PdxQdyll|x1

8、xdy其中L是D的取正向的邊界曲線.注意：)公式使用條件：P(x,y),Q(x,y)和里，E在D上連續(xù)；L的方xy向?yàn)檎较?，即某人沿著L的方向行走時(shí)，區(qū)域D始終在他的左手邊(可簡單的理解為外邊界是逆時(shí)針方向，內(nèi)邊界是順時(shí)針方向)L必須是封閉的.2)結(jié)論：把第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分的計(jì)算.3)用法技巧：條件不滿足時(shí)，創(chuàng)造條件(連續(xù)、正向、封閉)盡可能使用格林公式;常用技巧：補(bǔ)線，挖洞、換曲線(當(dāng)積分值與路徑無關(guān)時(shí))。ii)曲線積分與路徑無關(guān)的定理：設(shè)開區(qū)域D是一個(gè)單連通域，函數(shù)p(x,y)及Q(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列命題等價(jià):（a）曲線積分PdxQdyL在（a）曲線積分P

9、dxQdyL在D內(nèi)與路徑無關(guān);（b）表達(dá)式PdxQdy為某二元函數(shù)u(x,y)的全微分；(c)P忠在D內(nèi)恒成立；y,(d)對D內(nèi)任一閉曲線L，IPdxQdy0.L注意：利用線積分與路徑無關(guān)解題條件：p(x,y),Q(x,y)和吆,9在單xy連通區(qū)域D上連續(xù)；結(jié)論：在單連通的條件下：(a條件).(b(cP里.(a條件).(b(cyxLPQ存在函數(shù)F(x,y)使得PdxQdydF(x,y)yxBPdxQdyF(x,y)b(x2,y2)A(x1,y1)P.里.Pdx.Qdy在D內(nèi)與路徑無關(guān).選擇路徑的一般經(jīng)驗(yàn)是:y0L平行于坐標(biāo)軸的路徑(方便，簡單).(d吆存在函數(shù)F(x(d吆存在函數(shù)yx【方法一】

10、線積分法：注意：常常如下取：PdxQdydF(x,y)，貝UFyx【方法一】線積分法：注意：常常如下取：F(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dyC(x0,y0)TOC o 1-5 h zF(x,y)HUP(x,y)dxHUP(x,y)dyCx00y0F(x,y)xP(x,y)dxyP(x,y)dyCx0y0 x0【方法二】偏導(dǎo)數(shù)法：由FPF(x,y)(x,y)dxA(y)，兩邊求導(dǎo)，由IFQ，積分求出A(y)xx0y進(jìn)一步求出F(x,y).【方法三】湊微分法：利用湊微分，把PdxQdydF(x,y)F(x,y).空間曲線積分|P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z

11、)dz的計(jì)算()直接法(參數(shù)方程法)：xx(t)設(shè)曲線L的方程為Sy(t)，t,周，則IP(dxQdyRdzzz(t)LPx(t),y(t),z(t)x(t)Qx(t),y(t),z(t)y(t)Rx(t),y(t),z(t)z(t)dt(2)間接法利用斯托克斯公式.斯托克斯公式：設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，.是以.為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有公式PdxQdyRdzL數(shù)，則有公式PdxQdyRdzL.暮|dydz胃稱Idzdx!晟Idxdy為了便于記憶，斯托

12、克斯公式常寫成如下形式:dydzdzdxdxdyPdxQdyRdziyQR注意：斯托克斯公式的作用：把空間曲線積分與曲面積分的相互轉(zhuǎn)化.使用公式的關(guān)鍵是：有L后如何選取相應(yīng)的曲面，可以選曲面，也可以選平面，一般選平面方便4.兩類曲面積分的關(guān)系IPdxQdytPcosQcos)ds其中cos-cos是有向曲線L的切線的方向余弦值得注意的是，曲線積分給出的往往是的法線方向，因此在計(jì)算中必須將法線的方向余弦轉(zhuǎn)化為切線的方向余弦【題型二】第二類曲線積分的計(jì)算【例】求/y2dxxdy，其中L是拋物線y.x2從A(1,1)到B(,1)，再沿直線到C(0,2)所形成的曲線【解答】：【例】求I巖，其中L是A(

13、0,)到B(1,0)，再到C(0,1)的折線段中|y|【解答】：【例】求I43exmy)dx(3y2exm)dy，其中L是A(1,0)B(2,1)的直線再沿半圓周到c6的曲線【解答】：【例】求I(cosexex.inex癡xy)dxcosex.dy其中c是圓周(x2)2cxy(y2)22沿A(1,1)到B(3,3)的一段弧【解答】：【例】求線積分I93dx.(3xx3)dy的最大值，其中C是x2y2R2(R0)的正向C【解答】：【例】計(jì)算線積分ixd,其中l(wèi)為LX2y2()圓周(X1)2(y1)21的正向；()菱形邊界Xy1的正向【解答】：【例】計(jì)算i.(xy)d(xy)d,其中c是由)沿曲線

14、y.3x到cX2y2B()的一段弧【解答】：【例】求Ixy)d(xy)d，其中曲線c是從4-0)沿y.Hx28到cx2y2B(2,0)的弧段【解答】：【例】已知曲線積分i出yda(常數(shù))，其中2)可導(dǎo)，且i,L是繞原點(diǎn)(00)一周的任意正向閉曲線，試求*x)及A【解答】：【例10】曲線yx(tx)(t0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為0(0,0)及A(t,0)，又曲線在點(diǎn)A的切線交y軸于B，弧AB是從A到B的直線段，求t的值，使得I(t)(sinyy1)dxx1cosyBn(x1)dy為最小.【解答】：弧ABx為最小.【解答】：【例1設(shè)C為分段光滑簡單閉曲線，:為曲線C的外法線方向，D為C所圍成的閉區(qū)

15、域，u(x,y)在D上具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，證明：tudismHuu)dxdyc*iy2【解答】：【例】求Iy2.)dx(z2x2)dy(x2y2)dz，其中c為八分之一球面:cx2y2z21,X0,y0,z0的邊界線，從球心看cC為逆時(shí)針方向【解答】：【例】求Iydxzdyxdz，其中C：:2y2z2R2，C的方向是由zCzR軸正向看去(即人眼與x軸正向一致)是逆時(shí)針【解答】：二、曲面積分.第一類曲面積分(對面積的曲面積分)()【定義】設(shè)曲面是光滑的，函數(shù)/(九乂幻在上有界，把任意分成八小塊鄧(鄧同時(shí)也表示第i小塊曲面的面積)，對鄧上任取一點(diǎn)(.)作乘積/(,)”12.,n)并作和,如果當(dāng)各小

16、塊曲面的直徑的最大值.()時(shí)，這和式iiii的極限存在，則稱此極限值為Q,z)在上或?qū)γ娣e的曲面積分，記為Mx,y,z)dSBlimBf(,).0其中內(nèi),z)稱為被積函數(shù)：稱為積分曲甯.()性質(zhì)性質(zhì)第一類曲面積分與曲面的側(cè)的方向無關(guān)，即%,j,z)dS.fix,j,z)dS-性質(zhì)P(x,y,z)g(x,y,z)dSMx,y,z)dSP，%z)dS-性質(zhì)3y,z)dS左Mx,y,z)dS性質(zhì)4j,z)dSJ,z)dS%,J,z)dS-性質(zhì)5：帚稱性)2若關(guān)于w平面對稱，“羽乂刀關(guān)于變量工有奇偶性，則有2H羽y,Z)dS,f(x,y，,)f(x,y,z)f(x,y,z)dS0I0,f(x,y,，)

17、f(x,y,z)其中.是.在xy平面上方部分.若關(guān)于xz平面對稱，f(x,y,z)關(guān)于變量y有奇偶性，則有2nx,y,Z)dS,f(x,嗎,Z)f(x,y,Z)f(x,y,z)dS0I0,f(x,嗎,z)f(x,y,z)其中是在xoz平面右方部分.若關(guān)于yoz平面對稱，f(x,y,z)關(guān)于變量x有奇偶性，則有Hx,y,z)dS,f(Bx,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)dS0|0,f(Br,y,z)町(x,y,z)其中是在yoz平面前方部分.(關(guān)于積分變量的對稱性)：若在曲面.的方程中，某兩個(gè)變量對調(diào)以后，方程不變，則在曲面積分中被積函數(shù)中的這兩個(gè)變量對調(diào)后的兩個(gè)曲面積分的值相等.(3

18、)計(jì)算方法直接計(jì)算法(化為二重積分法)(a)設(shè)曲面:zz(x,y)在xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈，f(x,y,z)在上連續(xù),xyzz(x,y)在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有xyHx,y,z)dSHx,y,z(x,y)1z2(x,y)z2(x,y)dxdy.xyDb設(shè)曲面yy(x,z)在xoz平面上的投影區(qū)域?yàn)镈，f(x,y,z)在上連續(xù),xzyy(x,z)在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有xzHx,y,z)dSHx,y(x,z),z-.,1y2(x,z)y2(x,z)dxdz.*xzD(c)設(shè)曲面,x、x(y,z)在yoz平面上的投影區(qū)域?yàn)镈，f(x,y,z)在上連續(xù),yzxx(y,z)在D上有一階連續(xù)

19、偏導(dǎo)數(shù)，則有yznx,y,z)dSnx(y,z),y,z)J1x2(y,z)x2(y,z)dydz.yzD利用對稱性(積分曲面的對稱性和被積函數(shù)的對稱性)計(jì)算【題型三】第一類曲面積分的計(jì)算【例】求I飛xbyczd)2dS，其中是球面：x2y2z2R2【解答】：【例】求Iz2X生）dS，其中是平面：上一1在第一卦限的部3234分.【解答】：【例】求I“dS，其中是柱面X2y2R2被X0,y-0,z0,z1所截得的在第一卦限的部分【解答】：【例】求I4X2y3z4)2dS，其中是正八面體xyz1的全表面【解答】：【例】球面X2.w.z2.25被曲面z.13X2y2分為三部分，試求這三部分曲面的面積

20、之比.【解答】：第二類曲面積分(對坐標(biāo)的曲面積分)()【定義】設(shè)為光滑的有向曲面，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上有界，則U|x,y,z)dydzQ(x,y,z)dxdzR(x,y,z)dxdylimP(,)Q(,)R(,)|0iiiyziiixziiixy其中,分別表示第i個(gè)小有向曲面更在坐標(biāo)面yz,xoz,xoy上的1fyzxzxyI投影性質(zhì)性質(zhì)UtttydzQdxdzRdxdyUdydzQdxdzRdxdyUUdydzQdxdzRdxdyUdydzQdxdzRdxdy-性質(zhì)UdydzQdxdzRdxdyIlMUdydzQdxdzRdxdy這里.:表示曲面的兩側(cè)(如

21、一表示外側(cè)，表示內(nèi)側(cè))兩類曲面積分之間的關(guān)系UdydzQdxdzRdxdyHPcosQcosRcos-dS.其中cos,cos.cos為曲面上點(diǎn)(x,y,z)處法線的方向余弦.計(jì)算方法直接計(jì)算法(化為投影的二重積分)設(shè)光滑曲面.：zz(x,y)，與平行于z軸的直線至多交于一點(diǎn)，它在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閐，則.xy【計(jì)算步驟】一投：把向BR【計(jì)算步驟】一投：把向BR|x,y,z)dxdy!BRx,y,z(x,y)dxdyDyzxOy面投影得到投影區(qū)域d二代：把被積函數(shù)中的R(x,y,z)中的z用I，xyz(x,y)代入，三定號(hào)：確定投影的正負(fù)號(hào)，確定方法是：若.的法向量場與z軸正向的夾角(n人

22、z)為銳角時(shí)取“+”號(hào)，若(naz)為鈍角時(shí)取“-號(hào).U(x,y,z)dydz，”x,y,z)dxdz的計(jì)算于此完全相同.向量點(diǎn)積黑(投影輪換法)xy設(shè)光滑曲面:zz(x,y)，它在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閐，P,Q,R在上連續(xù),xy函數(shù)z(x,y)在d上的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則xyHUtydzQdxdzRdxdy一一一WX,j,z(x,j)(lZ)Qx,j,z(x,j)(lZ)Rx,j,z(x,j)dxdyXlj正負(fù)號(hào)的確定方法同前間接法(利用高斯公式)高斯定理：設(shè)空間閉區(qū)域.由分片光滑的閉曲面.圍成，函數(shù)P(xyh、(x,J,z)Q(x,j,z)、R(x,j,z)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有公式

23、UdjdzQdzdxRdxdj曹看.或1HBcos.QcosRcosHdS|HQv這里是:的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，：oscos.cos是上點(diǎn)(xyz)處的法向量cos,coscosx,j,z的方向余弦.高斯公式的使用條件：(i)P,Q,r,E，堊，我在上連續(xù)；xlj.是封閉曲面；.取外側(cè).高斯公式的作用：把第二類曲面積分和三重積分相互轉(zhuǎn)化.3.通量與散度設(shè)有向量場ffffA(x,j,z)P(x,j,z)iQ(x,j,z)jR(x,j,z)k,其中函數(shù)p、Q、R有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，.是場內(nèi)的一片有向曲面，方。是曲面.的單位法向量.則沿曲面.的第二類曲面積分mbSHlk。dSmltPljdzQdzdx

24、Rdxdj稱為向量場A通過曲面流向指定側(cè)的通量.而1P忠1Rxlj稱為向量場A的散度，記為divA，即divA里4.環(huán)流量與旋度設(shè)向量場A(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k,則沿場,中某一封閉的有向曲線C上的曲線積分PdxQdyRdz稱為向量場,沿曲線C按所取方向的環(huán)流量.而向量函數(shù)稱為向量場a的旋度，記為rotAA，即A餐畤卜。咱!唱唱1.旋度也可以寫成如下便于記憶的形式:jjrotAxyPQzR【題型四】第二類曲面積分的計(jì)算z；X2y2,z1,z2所圍成的閉曲面【例】求z；X2y2,z1,z2所圍成的閉曲面X2y2外1J【解答】：【例】求/#dydzz2d