第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)頻域分析

1、3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.系統(tǒng)因果性的必要條件佩利-維納準(zhǔn)則系統(tǒng)因果性指的是系統(tǒng)沖激響應(yīng)為因果信號(hào)，因果性是系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)的充要條件。佩利（Paley）和維納（Wiener）證明了系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)的必要條件是：對(duì)于平方可積的系統(tǒng)函數(shù) 而言，系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)的必要條件是 3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.系統(tǒng)因果性的必要條件佩利-維納準(zhǔn)則如果系統(tǒng)幅度函數(shù)不滿足此必要條件，則系統(tǒng)一定是物理不可實(shí)現(xiàn)的。顯然，如果系統(tǒng)幅度函數(shù)在某個(gè)頻帶內(nèi)恒為零，即 ，則由于 使得 違反了佩利-維納準(zhǔn)則，這樣系統(tǒng)一定是物理不可實(shí)現(xiàn)的。這表明所有理想低通、理想高通、理想帶通和理想帶阻等理想濾波器都

2、是物理不可實(shí)現(xiàn)的。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.系統(tǒng)因果性的必要條件佩利-維納準(zhǔn)則研究高斯濾波器的非因果性。高斯濾波器的幅度函數(shù)為 用佩利-維納準(zhǔn)則檢驗(yàn)之，有 這證明了高斯濾波器一定是非因果的，事實(shí)上其沖激響應(yīng)也是一個(gè)高斯函數(shù)，所以系統(tǒng)是非因果的。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.系統(tǒng)因果性的必要條件佩利-維納準(zhǔn)則眾所周知，有理函數(shù)僅有可數(shù)個(gè)孤立零點(diǎn)，因此它一定滿足佩利-維納準(zhǔn)則由于滿足佩利-維納準(zhǔn)則的幅度函數(shù)可對(duì)應(yīng)于無(wú)限多個(gè)相位函數(shù)，由此組成的系統(tǒng)函數(shù)不一定是因果的只有滿足了下一小節(jié)所述的希爾伯特關(guān)系的系統(tǒng)函數(shù)才是因果的這表明，佩利-維納準(zhǔn)則是必要條件，而不是充分條件

3、。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系2.時(shí)域因果性與頻域希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系因果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)滿足稱因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)具有希爾伯特性，即它的實(shí)部和虛部構(gòu)成一個(gè)希爾伯特變換對(duì)幅度函數(shù)滿足佩利-維納準(zhǔn)則的系統(tǒng)，當(dāng)其實(shí)部和虛部構(gòu)成一個(gè)希爾伯特變換對(duì)時(shí)，系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的。 3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系3.最小相位系統(tǒng)的希爾伯特關(guān)系可逆的因果穩(wěn)定系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)?？梢宰C明，最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅度函數(shù)與相位函數(shù)構(gòu)成一個(gè)希爾伯特變換對(duì)，即3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系3.最小相位系統(tǒng)的希爾伯特關(guān)系這是因?yàn)樽钚∠辔幌到y(tǒng)的對(duì)數(shù)譜一定有因果的稱之為復(fù)倒譜（complex cepst

4、rum） 的時(shí)域特性，即復(fù)倒譜是因果的連續(xù)時(shí)間信號(hào)（反之亦然），而對(duì)數(shù)譜的實(shí)部和虛部分別為對(duì)數(shù)幅度譜和相位譜，因此根據(jù)時(shí)域因果性與頻域希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就有上述結(jié)論。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系3.最小相位系統(tǒng)的希爾伯特關(guān)系該結(jié)論的證明涉及第4章討論的系統(tǒng)零極點(diǎn)的概念，這兒只給出啟發(fā)式的理解：由于 使得 ，這樣 因果要求 因果，從而要求 及 因果。實(shí)際上， 因果只是 因果的必要條件，并非充分條件。因?yàn)橐蚬盘?hào)可以是非最小相位的。只有穩(wěn)定、可逆的因果信號(hào)才是最小相位信號(hào)。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系3.最小相位系統(tǒng)的希爾伯特關(guān)系從幅度傳遞函數(shù)求解對(duì)應(yīng)的可逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)

5、的步驟是：首先，計(jì)算對(duì)數(shù)幅度譜的逆FT，得到稱之為倒譜的；然后， 計(jì)算對(duì)應(yīng)的復(fù)倒譜 ，使它滿足因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：系統(tǒng)沖激響應(yīng)的復(fù)倒譜是因果的；再傅里葉變換之，得到對(duì)應(yīng)的因果穩(wěn)定且可逆的系統(tǒng)的對(duì)數(shù)傳遞函數(shù) ；最后取指數(shù)變換，就得到系統(tǒng)函數(shù) 。如果需要系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，再取逆FT即可。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系4.解析信號(hào)的時(shí)域希爾伯特關(guān)系解析信號(hào)是有單邊譜的復(fù)信號(hào)，不可能是實(shí)函數(shù)根據(jù)傅里葉變換的對(duì)偶性，由時(shí)域因果性和頻域希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系，很易得知，單邊譜信號(hào)（即有因果頻譜的信號(hào)）的實(shí)部和虛部構(gòu)成一個(gè)希爾伯特變換對(duì)，即，如果， 3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系5.希爾伯特濾波器沖激響應(yīng) 的濾波器稱為希爾伯特濾波器，其系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ，它是理想90度相移器，使輸入信號(hào)的所有頻率分量都滯后使用希爾伯特濾波器可以用來(lái)從一個(gè)具有雙邊譜的實(shí)信號(hào)得到其相應(yīng)的具有單邊譜的解析信號(hào)的虛部，從而實(shí)現(xiàn)實(shí)信號(hào)到解析信號(hào)的轉(zhuǎn)換。由于解析信號(hào)占有的頻帶僅為普通實(shí)信號(hào)占有的頻帶的一半，在通信中得到了重要的應(yīng)用：?jiǎn)芜厧ㄐ?。?-26給出了利用希爾伯特濾波器結(jié)合復(fù)正弦調(diào)制實(shí)現(xiàn)單邊帶調(diào)制的原理框圖。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系5.希爾伯特濾波器需要說(shuō)明的是，理想希爾伯特濾波器是無(wú)限帶寬的實(shí)際上，僅要求它在其輸入