換元積分法課件

1、一、第一換元法(或稱湊微分法)第四節(jié)換元積分法二、第二換元法1一、第一換元法(或稱湊微分法)第四節(jié)換元積分法二、第二換元 利用積分性質(zhì)和簡(jiǎn)單的積分表可以求出不少函數(shù)的原函數(shù), 但實(shí)際上遇到的積分憑這些方法是不能完全解決的. 現(xiàn)在介紹與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相對(duì)應(yīng)的積分方法 不定積分換元法. 它是在積分運(yùn)算過程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q, 將原來的積分化為對(duì)新的變量的積分, 而后者的積分是比較容易積出的.2 利用積分性質(zhì)和簡(jiǎn)單的積分表可以求出 引例(因?yàn)?d(3x) = 3dx).一、第一換元法(或稱湊微分法）令 u = 3x，則上式變?yōu)?引例(因?yàn)?d(3x) = 3dx).一、第一換元法(或稱湊那么，也

2、就是說上述結(jié)果正確.一般地，能否把公式定理 1 回答這個(gè)問題.4那么，也就是說上述結(jié)果正確.一般地，能否把公式定理 1 回答第一換元法且 u = j (x) 為可微函數(shù)，證已知 F (u) = f (u)， u = j (x)，則所以則5第一換元法且 u = j (x) 為可微函數(shù)，證已知 F第一換元法可以分為以下三個(gè)步驟：（1）湊微分：將被積表達(dá)式湊成 的形式，（2）代換：令（3）還原：用于是：求不定積分還原， 即6第一換元法可以分為以下三個(gè)步驟：（1）湊微分：將被積表達(dá)式湊用上式求不定積分的方法稱為第一換元法或稱湊微分法 式就是把已知的積分中的 x 所以說把基本積分表中的積分變量換成可微函

3、數(shù) j (x) 后仍成立 .其中 u = j (x) 可微.換成了可微函數(shù) j (x) .7用上式求不定積分的方法稱為第一換元法或稱湊微分法 例 1求解對(duì)照基本積分表，如果把 dx 寫成了 d(3x + 2)，那么就可用定理 1 及為此將 dx 寫成代入式中，那么令 3x + 2 = u 則a, b 均為常數(shù)，且 a 0.8例 1求解對(duì)照基本積分表，如果把 dx 寫成了 d(3x例 2求解上式與基本積分表中相似，為此將 dx 寫成那么令 4x + 5 = u，9例 2求解上式與基本積分表中相似，為此將 dx 寫成那么例 3求解上式與基本積分表中為此將 dx = d(x + 1) 代入式中，那么

4、10例 3求解上式與基本積分表中為此將 dx = d(x +例 4求(a 0 常數(shù)).解上式與基本積分表11例 4求(a 0 常數(shù)).解上式與基本積分表11例 5求(a 0 常數(shù)).解12例 5求(a 0 常數(shù)).解12等等.13等等.13例 6求解將被積分式中的 xdx 因子湊微分，則經(jīng)求導(dǎo)驗(yàn)算，結(jié)果正確 .即即14例 6求解將被積分式中的 xdx 因子湊微分，則經(jīng)求導(dǎo)驗(yàn)例 7求解湊微分，即則15例 7求解湊微分，即則15例 8求解解例 9求16例 8求解解例 9求16例 10求解17例 10求解173.利用三角函數(shù)的恒等式.例 12 求解183.利用三角函數(shù)的恒等式.例 12 求解18例

5、13求解19例 13求解19例 14求解20例 14求解20例 15求解21例 15求解21例 16求解4.利用代數(shù)恒等式22例 16求解4.利用代數(shù)恒等式22例 17求(a 0 常數(shù)).解23例 17求(a 0 常數(shù)).解23例 18求解24例 18求解24例 19求解25例 19求解25例 20求解26例 20求解26例 21求解27例 21求解27例 22求解28例 22求解28二、第二換元法引例為了將被積函數(shù)中的根式去掉，應(yīng)將其作為一個(gè)整體，因此令因此，將其代入原積分式中，29二、第二換元法引例為了將被積函數(shù)中的根式去掉，應(yīng)將其作為一個(gè)30301.簡(jiǎn)單根式代換例 22求解為了去掉被積函

6、數(shù)中的根號(hào)，則 dx = 2tdt ，于是有311.簡(jiǎn)單根式代換例 22求解為了去掉被積函數(shù)中的根號(hào)，則回代變量，得32回代變量，得32例 23求解被積函數(shù)含根式為了去掉根號(hào)，于是有則 dx = 4t3 dt，33例 23求解被積函數(shù)含根式為了去掉根號(hào)，于是有則 dx 回代變量，得34回代變量，得34例 24求解為了去掉被積函數(shù)中的根號(hào)，于是有35例 24求解為了去掉被積函數(shù)中的根號(hào)，于是有3536362.三角代換例 25求于是有解則 dx = acost dt，372.三角代換例 25求于是有解則 dx = acost 把變量 t 換為 x . 為簡(jiǎn)便起見， 畫一個(gè)直角三角形，稱它為輔助三角

7、形，如圖.于是有xat38 把變量 t 換為 x . 為簡(jiǎn)便起見， 例 26求解則 dx = asec2 tdt ，于是有39例 26求解則 dx = asec2 tdt ，于是有39作輔助三角形，得axt其中 C = C1 - lna .40作輔助三角形，得axt其中 C = C1 例 27求解令 x = a sec t，則 dx = a sec t tan t dt，于是有41例 27求解令 x = a sec t，則 dx = a作輔助三角形，axt得其中 C = C1 lna .42作輔助三角形，axt得其中 C = C1 作三角代換 x = a sin t 或 x = a cos t

8、；作三角代換 x = a tan t 或 x = a cot t；作三角代換 x = a sec t 或 x = a csc t.43作三角代換 x = a sin t 或 x = a cos 例 28求解法一三角代換法.令 x = tan t，于是得則 dx = sec2 tdt，44例 28求解法一三角代換法.令 x = tan t，于是根據(jù) tan t = x，作輔助三角形，得1xt= ln |csc t cot t | + C45根據(jù) tan t = x，作輔助三角形，得解法二湊微分法.于是有46解法二湊微分法.于是有46解法三根式代換法.于是有47解法三根式代換法.于是有47例 29求解48例 29求解48常用的湊微分列表如下：49常用的湊微分列表如下：4