工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論矢量分析課件

1、標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度亥姆霍茲定理電磁場(chǎng)的特殊形式第0章 矢量分析下 頁(yè)返 回Vector Analysis標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋正交坐標(biāo)系-直角坐標(biāo)系下 頁(yè)上 頁(yè)返 回正交坐標(biāo)系-直角坐標(biāo)系下 頁(yè)上 頁(yè)返 回工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論矢量分析課件元面積元面積元體積元體積正交坐標(biāo)系-柱坐標(biāo)系下 頁(yè)上 頁(yè)返 回正交坐標(biāo)系-柱坐標(biāo)系下 頁(yè)上 頁(yè)返 回工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論矢量分析課件元面積元面積元體積元體積正交坐標(biāo)系-球坐標(biāo)系下 頁(yè)上 頁(yè)返 回正交坐標(biāo)系-球坐標(biāo)系下 頁(yè)上 頁(yè)返 回工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論矢量分析課件元面積元面積元體積元體積坐標(biāo)系間單

2、位矢量的換算投影原則能理解書(shū)中第322頁(yè)表附1-1所列公式之間的關(guān)系可參考書(shū)籍：BHag Singh Guru, Huseyin R .Hiziroglu，周克定等譯 .，電磁場(chǎng)與電磁波 . 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2000第二章 矢量分析（Page1047）坐標(biāo)系間單位矢量的換算投影原則能理解書(shū)中第322頁(yè)表附1-1 場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量。例如，在直角坐標(biāo)下：0.1 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)如溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等；如流速場(chǎng)、電場(chǎng)、渦流場(chǎng)等。Scalar Field and Vector Field下 頁(yè)上 頁(yè)返 回 場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢

3、量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任其方程為:圖0.1.1 等高線(1) 標(biāo)量場(chǎng)-等值線(面)形象描繪場(chǎng)分布的工具場(chǎng)線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下 頁(yè)上 頁(yè)返 回其方程為:圖0.1.1 等高線(1) 標(biāo)量場(chǎng)-等值線(面)三維場(chǎng)二維場(chǎng)圖0.1.2 矢量線矢量場(chǎng)-矢量線線上每一點(diǎn)處的切線方向都與矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的方向相同其方程為：在直角坐標(biāo)系下：下 頁(yè)上 頁(yè)返 回三維場(chǎng)二維場(chǎng)圖0.1.2 矢量線矢量場(chǎng)-矢量線其方程0.2 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 Gradient of Scalar Field 設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù) (x，y，z)，若函數(shù) 在點(diǎn) P 可微，則 在點(diǎn)P 沿任意方向 的方向?qū)?shù)為設(shè) 式中 , , 分別是任

4、一方向 與 x, y, z 軸的夾角下 頁(yè)上 頁(yè)返 回則有：當(dāng) ， 最大0.2 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 Gradient of Scala梯度(gradient)哈密頓算子式中圖0.1.3 等溫線分布梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率（增加的方向），即最大方向?qū)?shù)。標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。梯度的意義下 頁(yè)上 頁(yè)返 回梯度(gradient)哈密頓算子式中圖0.1.3 ，例 0.2.1 試證明在點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中，電位函數(shù)的負(fù)梯度等于電場(chǎng)強(qiáng)度 。，例 0.2.1 試證明在點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中，電位函例 0.2.2 電位場(chǎng)的梯度圖0.2.2

5、電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度與過(guò)該點(diǎn)的等位線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回例 0.2.2 電位場(chǎng)的梯度圖0.2.2 電位場(chǎng)的例: 設(shè)一標(biāo)量點(diǎn)函數(shù) (1) 該點(diǎn)函數(shù) 在點(diǎn)P(1, 1, 1) 處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求： (2) 求該點(diǎn)函數(shù) 沿單位矢量 方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1, 1, 1) 處該方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。例: 設(shè)一標(biāo)量點(diǎn)函數(shù) (1) 該點(diǎn)函數(shù) 在點(diǎn)P(解(1) 由梯度定義,可解出待求 P 點(diǎn)的梯度為解(1) 由梯度定義,可解出待求 P 點(diǎn)的梯度為(2)(2) 顯然，梯度 描述了P

6、點(diǎn)處標(biāo)量點(diǎn)函數(shù) 的最大變化率，即系最大方向?qū)?shù)，故 ，恒成立。 顯然，梯度 描述了P點(diǎn)處標(biāo)量點(diǎn)函數(shù) 的最大變化0.3 矢量場(chǎng)的通量與散度0.3.1 通量 ( Flux ) 矢量E 沿有向曲面 S 的面積分若 S 為閉合曲面 根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)：Flux and Divergence of Vector 0 (有正源) 0 (有負(fù)源) = 0 (無(wú)源)圖0.3.2 矢量場(chǎng)通量的性質(zhì) 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回圖0.3.1 矢量場(chǎng)的通量 0.3 矢量場(chǎng)的通量與散度0.3.1 通量 ( F0.3.2 散度 ( Divergence ) 如果包圍點(diǎn) P 的閉合面 S 所圍區(qū)域 V 以任意方式縮

7、小到點(diǎn) P 時(shí)：散度 (divergence)下 頁(yè)上 頁(yè)返 回0.3.2 散度 ( Divergence ) 散度的意義 在矢量場(chǎng)中，若 A= 0，稱(chēng)之為有源場(chǎng)， 稱(chēng)為 ( 通量 ) 源密度；若矢量場(chǎng)中處處 A=0 ，稱(chēng)之為無(wú)源場(chǎng)。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。 (無(wú)源） (正源) (負(fù)源)圖0.3.3 通量的物理意義 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回散度的意義 在矢量場(chǎng)中，若 A= 0，稱(chēng)0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem )圖0.3.4 散度定理 通量密度 高斯公式矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回0.3.3

8、 散度定理 ( Divergence Theor0.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度0.4.1 環(huán)量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空間有向閉合曲線 L 的線積分環(huán)量 環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。Circulation and Rotation of Vector Field下 頁(yè)上 頁(yè)返 回圖0.4.1 環(huán)量的計(jì)算0.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度0.4.1 環(huán)量 ( Cir水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)，= 0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)。例：流速場(chǎng)圖0.4.2 流速場(chǎng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)， 0，有產(chǎn)生渦旋的源。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)，= 0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)。例：流速工程

9、電磁場(chǎng)導(dǎo)論矢量分析課件0.4.2 旋度 ( Rotation )1. 環(huán)量密度 過(guò)點(diǎn) P 作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為L(zhǎng)，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當(dāng) S 點(diǎn) P 時(shí)，存在極限環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回0.4.2 旋度 ( Rotation )1. 環(huán)量密2. 旋度 旋度是一個(gè)矢量，其大小等于環(huán)量密度的最大值；其方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向旋度(curl) S 的法線方向它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)下:下 頁(yè)上 頁(yè)返 回2. 旋度 旋度是一個(gè)矢量，其大小等于環(huán)量密度的最3. 旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量

10、密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場(chǎng)中，若 A=J 0 稱(chēng)之為旋度場(chǎng)（或渦旋場(chǎng)），J 稱(chēng)為旋度源（或渦旋源）。若矢量場(chǎng)處處 A= 0 ，稱(chēng)之為無(wú)旋場(chǎng)。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回3. 旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。 4、斯托克斯定理 ( Stockes Theorem )矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。圖 0.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理下 頁(yè)上 頁(yè) 在電磁場(chǎng)理論中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是兩個(gè)非常重要的公式。返 回 4、斯托克斯定理 ( Stockes Theorem ) 0.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理： 在有限區(qū)域V內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊

11、界條件唯一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋渦源密度場(chǎng)域邊界條件（矢量 A 惟一地確定）電荷密度電流密度 J 場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中Hymherze Theorem下 頁(yè)上 頁(yè)返 回 0.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：已知：矢量A的通量例 0.5.1 試判斷下列各圖中矢量場(chǎng)的性質(zhì)。000000下 頁(yè)上 頁(yè)返 回例 0.5.1 試判斷下列各圖中矢量場(chǎng)的性質(zhì)。0000(1) 無(wú)旋場(chǎng)( irrotational field )例如 靜電場(chǎng) 從而由矢量恒等式 可定義 （ 電位函數(shù)） 無(wú)旋場(chǎng)中，矢量沿場(chǎng)域中任意閉合路徑的環(huán)量等于零無(wú)旋場(chǎng)可以表示為某一標(biāo)量函數(shù)梯度場(chǎng)(1) 無(wú)旋場(chǎng)( irrotat

12、ional field )例(2) 無(wú)散場(chǎng)( 無(wú)源場(chǎng)、管量場(chǎng) solenoidal field ) 例如 恒定電流的磁場(chǎng) 無(wú)源場(chǎng)中穿過(guò)場(chǎng)域中任一個(gè)矢量管的所有截面的通量都相等無(wú)源場(chǎng)存在著矢勢(shì)（磁矢位）(2) 無(wú)散場(chǎng)( 無(wú)源場(chǎng)、管量場(chǎng) solenoidal fi(4) 一般的場(chǎng) 例如 時(shí)變電磁場(chǎng) （3）調(diào)和場(chǎng)：散度和旋度都等于零的矢量場(chǎng) 調(diào)和場(chǎng)位函數(shù)滿足拉普拉斯方程(4) 一般的場(chǎng) 例如 時(shí)變電磁場(chǎng) （3）調(diào)和場(chǎng)：散度和旋度0.6 特殊形式的電磁場(chǎng) 如果在經(jīng)過(guò)某一軸線( 設(shè)為 z 軸）的一族平行平面上，場(chǎng) F 的分布都相同，即 F= f（x，y），則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。1. 平行平面場(chǎng)Special Forms of Electromagnetic Field如無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回00.6 特殊形式的電磁場(chǎng) 如果在經(jīng)過(guò)某一軸線( 如果在經(jīng)過(guò)某一軸線 ( 設(shè)為 z 軸 )的一族子午面上，場(chǎng) F 的分布都相同，即 F=f（r,），則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng)。2. 軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng) 如螺線管線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)；有限長(zhǎng)直帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回 如果在經(jīng)過(guò)某一軸線 ( 設(shè)為 z 軸 )的一族