專題02從求根公式談起

1、專題 02從求根公式談起閱讀與思考一元二次方程是解數學問題的重要工具，在因式分解、代數式的化簡與求值，應用題，各種代數方程，幾何問題、二次函數等方面有廣泛的應用.初學一元二次方程，需要注意的是：1、熟練求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基礎，它體現了“降次求解”的基本設想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，對于各項系數較大的一元二次方程，可以先從分析方程的各項系數特征入手，通過探求方程的特殊根來求解，常用的兩個結論是： 若 abc0 ，則方程 ax2bxc0( a0) 必有一根為1. 若 abc0 ，則方程 ax 2bxc0(a0) 必有一根為1.2、善于變形解有些與一元二

2、次方程相關的問題時，直接求解常給解題帶來諸多不便，若運用整體思想，構造零值多項式，降次變形等相關思想方法，則能使問題獲得簡解.思想精髓一元二次方程的求根公式為bb24acx1,22a這個公式形式優(yōu)美，內涵豐富：公式展示了數學的抽象性，一般性與簡潔美；公式包含了初中階段所學過的全部六種代數運算；公式本身回答了解一元二次方程的全部的三個問題，方程有沒有實數根？有實根時共有幾個？如何求出實根？例題與求解例1閱讀下列的例題解方程：x2| x |20解：當x0 時，原方程化為x2x20 ，解得x12, x21(舍)當x0 時，原方程化為x2x20 ，解得x11(舍 )， x22請參照例題解方程：x2|

3、x3|30 ，則方程的根是（晉江市中考試題）解題思路：通過討論，脫去絕對值符號，把絕對值方程轉化為一般的一元二次方程求解.例 2 方程 | x21| (4 2 3)( x2) 的解的個數為（）A、1 個B、2 個C、3 個D、4個（全國初中數學聯(lián)賽試題）解題思路：通過去絕對值，將絕對值方程轉化為一元二次方程求解.例 3已知 m，n 是二次方程x21999 x70 的兩個根， 求（ m2 +1998 m6)(n22000n8) 的值 .（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：若求出 m，n 值或展開待求式，則計算繁難，由方程根的定義可得關于 m， n 的等式，不妨從變形等式入手 .反思：一元二次方程

4、常見的變形方法有：把 ax2bxc0(a0)變形為 ax 2bxc把 ax2bxc0(a0)變形為 ax 2bxc把 ax2bxc0(a0)變形為 axcbx其中體現了“降次”代換的思想；則是構造倒數關系作等值代換.例4解關于x 的方程：(m1)x2(2 m1)xm30解題思路：因未指明關于x 的方程的類型，故首先分m10 及 m1 0兩種情況，當m1 0時，還考慮就b24ac 的值的三種情況加以討論.例 5 已知三個不同的實數a ， b ， c滿足 abc 3 , 方程 x2ax 10 和 x2bx c0 ，有一個相同的實根，方程 x2xa 0 和 x2cxb0 也有一個相同的實根，求a，

5、b， c 的值 .解題思路：這是一個一元二次方程有公共根的問題，可從求公共根入手.方法指導：公共根問題是一元二次方程常見問題，解這類問題的基本方法是：若方程便于求出簡單形式的根，則利用公共根相等求解.設出公共根，設而不求，消去二次項.例 6已知 a 是正整數， 如果關于x 的方程 x3(a17)x2(38a) x560 的根都是整數， 求 a的值及方程的整數根.（全國初中數學聯(lián)賽試題）解題思路：本題有兩種解法，由方程系數特點發(fā)現 1 為隱含的根，從而將試題進行降次處理，或變更主元，將原方程整理為關于 a 的較低次數的方程 .能力訓練級1x26x q 0可以配成 x p 27 的形式，那么x26

6、x q 2可以配成、已知方程_ 的形式 .（杭州市中考試題）2、若分式x2x2 的值為 0，則 x 的值等于 .x22x1（天津市中考試題）3、設方程 x21993x19940, 和 (1994x)21993 1995x 1 0 的較小的根分別為 ， ，則 .4、方程 | x24x5 |6 2x 的解應是（上海市競賽試題）5、方程 ( x2x 1)x 31的整數解的個數是 .A、2 個B、3 個C、4 個D、5個（山東省選拔賽試題）6、若關于 x 的一元二次方程 (m1)x25xm23m 20 的常數項為0，則 m 的值等于 （）A、 1B、2C、1或 2D 、0（德州市中考試題）7、已知 a

7、,b 都是負實數，且11a10 ，那么 b 的值是（）abbaA、15B、15C、1 5D 、 152222（江蘇省競賽試題）8、方程 x2| x | 10 的解是（）A、15B、15C、 15 或1 5D 、1 5222229、已知 a 是方程 x21999x 10 的一個根，求 a21998a1999 的值 .a2110、已知 a24a 1 0 且a4ma213 ，求 m 的值 .2a3ma22a（荊州市競賽試題）11、是否存在某個實數m，使得方程 x2mx20 和 x22xm0 有且只有一個公共根？如果存在，求出這個實數m 及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由.12、已知關于x 的

8、方程 (4k)(8k) x2(8012k ) x320 的解都是整數，求整數k 的值 .級1、已知 、 是方程 x2(m 2) x10 的兩根，則 (1m2 )(1m2 ) 的值為2、若關于 x 的方程 x2pxq0 與 x2qxp0 只有一個公共根，則(pq)1999 3、設 a,b 是整數，方程 x2axb0 有一個根為74 3 ，則 ab =_( 全國通訊賽試題 )4、用 x表示不大于 x 的最大整數，則方程x22 x30 解的個數為（）A、1 個B、2 個C、3 個D、4個5、已知1| a |1 ，那么代數式1| a |（）aaA 、5B、5C、5D 、 5226、方程 x | x |

9、 3|x | 20 的實根的個數為（）A、1 個B、2 個C、3 個D、4 個7、已知 x25x19910 ，則代數式 ( x2) 4( x1)21 的值為（）( x1)( x2)A 、1996B 、1997C、 1998D、19998、已知三個關于x 的一元二次方程 ax2bxc0, bx 2cxa 0, cx2axb 0 恰有一個公共實根，則a2b2c2）bcca的值為（abA 、0B、 1C、 2D、 3（全國初中數學聯(lián)賽試題）19 8 3 ，求 x46x32x218x 23 的值 .9、已知 x2x8x15（“祖沖之杯”邀請賽試題）10、設方程 x2| 2x1|40 ，求滿足該方程的所有根之和.（重慶市競賽試題）11、首項系數不相等的兩個二次方程(a 1)x2( a22) x (a22a) 0及 (b 1)x2(b22) x(b22b) 0（其中 a， b 為正整數）有一個公共根，求abba的值 .a