機器人技術第5講

1、2022/10/121 第四章 機器人動力學機器人是主動機械裝置，原則上，它的每個自由度都具有單獨傳動。從控制的觀點來看，機械手系統(tǒng)是冗余、多變量和本質非線性的自動控制系統(tǒng)，也是復雜的動力學耦合系統(tǒng)。每個控制任務本身就是一個動力學任務。因此研究機器人的動力學問題就是為了進一步討論控制問題。為使機器人連桿加速，驅動器必須有足夠大的力和力矩來驅動機器人連桿和關節(jié)，以使他們能以期望的加速度和速度運動，否則連桿將因運動遲緩而損失機器人的位置精度。因此必須建立決定機器人運動的動力學關系方程，用來計算每個驅動器所需的驅動力。2020-02-112第四章機機器器人動力力學方法：1牛頓歐拉法；2拉格朗日日方法

2、。機器人動動力學方方程可以以確定機機器人的的運動，但實際際上除最最簡單的的情況外外，求解解機器人人的全部部動力學學方程幾幾乎是不不可能的的。作用：1確定力和和力矩，以便在在機器人人連桿和和關節(jié)上上產生期期望的加加速度；2考察不同同負載對對機器人人的影響響及根據(jù)據(jù)期望的的加速度度來考察察某些負負載的重重要性；2020-02-113第四章機機器器人動力力學牛頓歐拉拉法從運運動學出出發(fā)求得得加速度度，并消消去各內內作用力力。拉格格朗日方方法，它它只需要要速度而而不必求求內作用用力，是是比較直直接的方方法。對于動力力學，有有兩個相相反的問問題：一一是動力力學的正正問題：已知機機械手各各關節(jié)的的作用力力

3、或力矩矩，求各各關節(jié)的的位移、速度和和加速度度。主要要應用于于仿真研研究；二二是動力力學的逆逆問題：已知機機械手的的運動軌軌跡，即即各關節(jié)節(jié)的位移移、速度度、加速速度求各各關節(jié)所所需要的的驅動力力或力矩矩。主要要是實時時控制的的需要一般機器器人的動動態(tài)方程程由6個個非線性性微分方方程聯(lián)立立表示，實際上上除了一一些簡單單的情況況外，不不可能求求得方程程的一般般解。在在實際控控制時往往往對動動態(tài)方程程作出某某些假設設，進行行簡化處處理。2020-02-1144.1慣性矩首先，在在圖41里通過把把質點的的平移運運動改作作回轉運運動的分分析，來來了解慣慣性矩的的物理意意義。若將力F作用到質質量為m的質

4、點時時的平移移運動，看作是是運動方方向的標標量，則則可以表表示為：式中：表表示示加速度度。若把把這一運運動看作作是質量量可以忽忽略的棒棒長為r的回轉運運動，則則得到加加速度和和力的關關系式為為：2020-02-1154.1慣性矩式中，和和N是繞軸回回轉的角角加速度度和慣性性力矩，將和和F代入上式式得：令，上式可以變?yōu)闉椋海?1）式（41）是質點點繞固定定軸進行行回轉運運動時的的運動方方程式，I相當于平平動時的的質量，稱為慣慣性矩。求質量連連續(xù)分布布物體的的慣性矩矩時，可可以將其其分割成成假想的的微小物物體，然然后將微微小物體體的慣性性矩加在在一起，這時，微小物物體的質質量dm及其微小小物體體體

5、積dV的關系可可用密度度表示為：2020-02-1164.1慣性矩那么，它它的慣性性矩為：整個物體體的慣性性矩可用用下式表表示：（42）例4.1求圖42所示示質量為為M，長度為L的勻質桿桿（粗細細忽略），繞其其一端回回轉時的的慣性矩矩I。2020-02-1174.1慣性矩例42試求上例例的桿繞繞重心回回轉時的的慣性矩矩IC。解：由于于該桿是是重心位位于中心心的勻質質桿，因因此，可可先就桿桿的一半半來求解解，然后后再加倍倍即可。假定x為離桿中中心的距距離，則則得到：解：微小小物體的的質量用用線密度度（M/L）表示，所所以其慣慣性矩為為。因此將將dI在長度方方向積分分，即可可得到：2020-02-

6、1184.2牛頓、歐歐拉運動動方程式式圖43所示示的單一一剛體的的運動方方程式可可用下式式來表示示：（43）式中，m（標量）是是剛體的的質量；是繞重心心C的慣性矩矩陣；FC是作用于于重心的的平動力力；N是慣性力力矩；Vc是重心的的平移速速度；為角速度。式（43）及式（44）分別被被稱為牛牛頓運動動方程式式及歐拉拉運動方方程式。Ic的各元素素表示對對應的力力矩元素素和角加加速度元元素間的的慣性矩矩。（44）2020-02-1194.2牛頓、歐歐拉運動動方程式式下面我們們來求圖圖44所示示1自由由度機械械手的運運動方程程式。這這種場合合，由于于關節(jié)軸軸制約連連桿的運運動，所所以可以以把式（44）的

7、運動動方程式式看作是是繞固定定軸的運運動。假假定繞關關節(jié)軸的的慣性矩矩為I，取垂直紙紙面的方方向為Z軸，則得得到：2020-02-11104.2牛頓、歐歐拉運動動方程式式式中：g為重力常常數(shù)；是是在第第三行第第三列上上具有繞繞關節(jié)軸軸的慣性性矩陣，把這些些公式代代入（44），提取取只有z分量的回回轉則得得到：2020-02-11114.2牛頓、歐歐拉運動動方程式式式中：（45）對于一般般形式的的連桿，由于I除第三分分量以外外，其它它分量皆皆不為零零，所以以I不是零向向量。I的第1，2分量量成了改改變軸方方向的力力矩，但但在固定定軸的場場合，與與這個力力矩平衡衡的約束束力生成成式N的第1，2分量

8、量，不產產生運動動。由于機器器人是具具有分布布質量的的三維、多自由由度機構構，利用用牛頓力力學建模模非常困困難，拉拉格朗日日力學成成為主要要的動力力學分析析方法。2020-02-11124.3拉格朗日日運動方方程式拉格朗日日運動方方程式僅僅僅包涵涵能量項項對系統(tǒng)統(tǒng)變量和和時間的的微分，結構簡簡單，因因此多數(shù)數(shù)教科書書利用該該方程進進行動力力學推導導。拉格朗日日力學以以兩個方方程為基基礎：一一個是直直線運動動，另一一個針對對旋轉運運動。2020-02-11134.3拉格朗日日運動方方程式拉格朗日日運動方方程式可可表示為為：（46）（47）式中，q是廣義坐坐標，是廣義力力，當為為直線運運動時，為力

9、的的單位，當為轉轉動時，它為力力矩的單單位。拉格朗日日運動方方程式也也可表示示為：這里，L是拉格朗朗日算子子；K是動能；P是勢能。2020-02-11144.3拉格朗日日運動方方程式例：用拉拉格朗日日運動方方程式推推導下圖圖所示的的單自由由度系統(tǒng)統(tǒng)力和加加速度的的關系，車輪的的質量忽忽略不計計：小車的動動能為：拉格朗日日算子為為：小車系統(tǒng)統(tǒng)的勢能能為：2020-02-11154.3拉格朗日日運動方方程式拉格朗日日函數(shù)的的導數(shù)為為：因此小車車系統(tǒng)的的運動方方程為：2020-02-11164.3拉格朗日日運動方方程式現(xiàn)就前面面講的1自由度度機械手手來具體體求解。假定為廣義坐坐標，則則有：由于 （4

10、8）2020-02-11174.3拉格朗日日運動方方程式所以用置換式（46）的廣義義坐標后后得到下下式：（49）它與前面面的結果果完全一一致。下面推導導圖45所示示的2自自由度機機械手的的運動方方程式。在推導時時，把1，2當作廣廣義坐標標，1，2當作廣廣義力求求拉格朗朗日算子子，代入入式（46）即可得得到。2020-02-11184.3拉格朗日日運動方方程式第1個連桿的的動能K1、勢能P1可分別表表示為：（410）2020-02-11194.3拉格朗日日運動方方程式式中，是是第i個連桿質質量中心心的位置置向量。（411）2020-02-11204.3拉格朗日日運動方方程式應該注意意到各連連桿的

11、動動能可用用質量中中心平移移運動的的動能和和繞質量量中心回回轉運動動的動能能之和來來表示。由式（411），得到到式（410）中的質質量中心心速度平平方和為為：利用式（410）和式（412），（413），通過過下式（412）（413）2020-02-11214.3拉格朗日日運動方方程式式中：可求出拉拉格朗日日算子L，把它代入入式（46）的拉格格朗日運運動方程程式，整整理后可可得：2020-02-11224.3拉格朗日日運動方方程式（437）2020-02-11234.3拉格朗日日運動方方程式是慣性力力；是是離心心力；表表示加加在機械械手上的的重力項項，g是重力加加速度常常數(shù)。對于多于于3個自自由

12、度的的機械手手，也可可用同樣樣的方法法推導出出運動方方程式，但隨自自由度的的增多演演算量將將急劇增增加。2020-02-11244.4機械手動動力學方方程在分析了了二連桿桿機械手手的基礎礎上，我我們分析析由一組組A變換描述述的任何何機械手手，求其其動力學學方程。分以下下5步進行推推導：（1）計算任一一連桿上上任一點點的速度度；（2）計算各連連桿的動動能和機機械手的的總動能能；（3）計算各連連桿的位位能和機機械手的的總位能能；（4）建立機械械手系統(tǒng)統(tǒng)的拉格格朗日函函數(shù)；（5）對拉格朗朗日函數(shù)數(shù)求導，以得到到動力學學方程。2020-02-11254.4機械手動動力學方方程下圖表示示一個四四連桿機機

13、械手的的結構。我們先先從這個個例子出出發(fā)，求求得此機機械手某某個連桿桿（例如如連桿3）上某一一點（P）的速度度、質點點和機械械手的動動能與位位能、拉拉格朗日日算子，求系統(tǒng)統(tǒng)的動力力學方程程。然后后，由特特殊到一一般，導導出任何何機械手手的速度度、動能能、位能能和動力力學方程程的一般般表達式式。2020-02-11264.4機械手動動力學方方程2020-02-11274.4.1速度的計計算圖中連桿桿3上點P的位置為為：式中，為為基基坐標系系中的位位置矢量量；為局部（相對關關節(jié)O3）坐標系系中的位位置矢量量；T3為變換矩矩陣，包包括旋轉轉和平移移變換。對于任一一連桿i上的一點點，其位位置為：202

14、0-02-11284.4.1速度的計計算點P的速度為為（4.14）2020-02-11294.4.1速度的計計算對于連桿桿i上任一點點的速度度為：（4.15）P點的加速速度2020-02-11304.4.1速度的計計算速度的平平方：對于任一一機械手手上一點點的速度度平方為為(4.16)2020-02-11314.4.2動能和位位能的計計算令連桿3上任一質質點P的質量為為dm，則其動動能為：任一機械械手連桿桿i上位置矢矢量的的質質點，其其動能為為2020-02-11324.4.2動能和位位能的計計算對連桿3積分dK3，得連桿3的動能為為：式中，積積分稱稱為連桿桿的偽慣慣量矩陣陣，并記記為：202

15、0-02-11334.4.2動能和位位能的計計算任何機械械手上任任一連桿桿i的動能為為：（4.17)式中，Ii為偽慣量量矩陣，其表達達式為：2020-02-11344.4.2動能和位位能的計計算式中，Ii為偽慣量量矩陣，其表達達式為：2020-02-11354.4.2動能和位位能的計計算物體的轉轉動慣量量、矢量量積以及及一階矩矩量為：如果令2020-02-11364.4.2動能和位位能的計計算于是可把把Ii表示為（4.18)：2020-02-11374.4.2動能和位位能的計計算具有n個連桿的的機械手手總的動動能為：（4.19)連桿i的傳動裝裝置動能能為式中，Iai為傳動裝裝置的等等效轉動動慣量，對于平平動關節(jié)節(jié)，Iai為等效質質量；傳動關節(jié)節(jié)的傳動動裝置總總動能為為2020-02-11384.4.2動能和位位能的計計算下面計算算機械手手的位能能，一個個高度為為h，質量為為m的物體其其位能為為：Pmgh連桿i上位置處處的質質點dm，其位能能為：2020-02-11394.4.2動能和位位能的計計算其中，mi為連桿I的質量，為為連桿