2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷

1、2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標U）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。AA9B8C5D4pp（5分）函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）A.y=.：2xB.y=.：3xC.y=D.y=6.6.(5分)在厶ABC中，cos=,BC=1,AC=5，貝VAB=(A.4：2B.T30c.I29D.2157.（5（5分）雙曲線=1（a0,b0）的離心率為I及則其漸近線方程為（）且2b2填入（）A.填入（）A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.（5分）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果

2、.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）9.（5分）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA=lW,則異面直線AD】與DB】所成角的余弦值為（A.*B.10.（5分）若10.（5分）若f（x）=cosx-sinx在-a,a是減函數(shù)，則a的最大值是（）7TA.B兀C.11.（5分）已知f（x）是定義域為（-8,+8）的奇函數(shù)，滿足f（1-X）=f（1+x11.（5分）(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+.+f(50)=()A.-50B.0C.2D.502212.（5

3、分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:=1（ab0）的左、右焦點，A是C的左頂點,且bJ3點P在過A且斜率為可的直線上小旺為等腰三角形厶牙=120則C的離心率為D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。TOC o 1-5 h z（5分）曲線y=2ln（x+1）在點（0,0）處的切線方程為.-5。（5分）若x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值為.、0（5分）已知sina+cosB=l,cosa+sinB=0,則sin（a+B）=.（5分）已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值琨,SA與圓錐底面所成角5為45。，若厶SAB的面積為5!石，則該圓錐的側(cè)面積為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)

4、寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根要求作答。（一）必考題：共60分。（12分）記S為等差數(shù)列a的前n項和，已知a.=-7,S3=-15.nn13（1）求an的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值.nn（12分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖209ISO1-601401008C111S-L171籌資額十為了預(yù)測該地區(qū)209ISO1-601401008C111S-L171籌資額十為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模2000200

5、12005200620072008200920102C112Q12201320142015201-6年份型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2,，17）建立模型：甲=-30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2,，7）建立模型：y=99+17.5t.1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；2）你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.19.（12分）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k（k0）的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8.1）求l的方程；2）求過點A，B且與C的準線相

6、切的圓的方程.20.（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=21龍，PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.（1）證明：P0丄平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30,求PC與平面PAM所成角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.若a=1，證明：當(dāng)x0時，f(x)1；若f(x)在(0,+8)只有一個零點，求a.二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。選修44：坐標系與參數(shù)方程ngB心，(e為參數(shù))，直線ILy=4sin廿的參數(shù)方程為k=1ngB心，(e為參數(shù))，直線ILy=4sin廿的參

7、數(shù)方程為k=1+1cos口，(t為參數(shù))(1)求C和丨的直角坐標方程;(2)若曲線C截直線I所得線段的中點坐標為(1,2)，求I的斜率.選修45：不等式選講23.設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-21.當(dāng)a=1時，求不等式f(x)20的解集;若f(x)W1,求a的取值范圍.2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標H）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.（5分）1.（5分）1+五二1-21=A.B.罟C買D.靈分析】利用復(fù)數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可.【解答】解:1+五=（14肚）時巫）=_3亠【

8、解答】解:1-班=（1-21）1+巫廠5百1故選:D.點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，是基本知識的考查.（5分）已知集合A=（x,y）|x2+y2W3,xZ,yZ）,則A中元素的個數(shù)為（）A.9B.8C.5D.4【分析】分別令x=-1,0,1,進行求解即可.【解答】解：當(dāng)x=-1時，y2W2，得y=-1,0,1,當(dāng)x=0時，y23,得y=-1,0,1,當(dāng)x=1時，y20,b0）的離心率為1虧，則其漸近線方程為（）且2b2A.y=.：A.y=.：2xB.y=.：3xC.y=D.y=【分析】根據(jù)雙曲線離心率的定義求出a,c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線a,b,c的關(guān)系進行求解即可【解答】解：即可【解答

9、】解：雙曲線的離心率為ea即雙曲線的漸近線方程為y=-x=土匚2x,a故選：A.點評】本題主要考查雙曲線漸近線的求解，結(jié)合雙曲線離心率的定義以及漸近線的方程是解決本題的關(guān)鍵.CdmTOC o 1-5 h z6.（5分）在AABC中，cos=,BC=1,AC=5，貝VAB=（）a.41龍B.T30C.I29D.215【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函數(shù)值,利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】解：在ABC中，cos辜,cosC=2X=-2555BC=1,AC=5,則AB=嚴觀c故m妨一+25+2X1X5脅忌4邁故選：A.【點評】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的解法以及計算能力.7.（5分）為計

10、算S=1-斗弓-寺+-，設(shè)計了如圖的程序框圖，則在空白框中應(yīng)匚IJJ丄U填入（）開始是否100結(jié)束A.i=i+1B開始是否b0)的左、右焦點，A是C的左頂點，且b點P在過A且斜率為于的直線上PFF2為等腰三角形，ZFF2P=120，則C的離心率為C.3C.3D.【分析】求得直線AP的方程：根據(jù)題意求得P點坐標，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率.解答】解：由題意可知：A(-a，0)，F(xiàn)1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，直線AP的方程為：y=(x+a),由ZFF2P=120,|PF2|=|F1F2|=2c，貝VP(2c,l3c),代入直線AP：更c半(2c+a),整理得：a=4c,題意的離心率e=

11、.a4故選：D.點評】本題考查橢圓的性質(zhì),直線方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(5分)曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x.【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而問題解決【解答】解:y=2ln(x+1)，y=，當(dāng)x=0時，yz=2,曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x.故答案為：y=2x.【點評】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.屬于基

12、礎(chǔ)題.14.(5分)若x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值為9.、肚-50)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8.求丨的方程；求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程.【分析(1)方法一：設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點弦公式即可求得k的值，即可求得直線丨的方程；方法二：根據(jù)拋物線的焦點弦公式|AB|=，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線sin2e丨的斜率，求得直線丨的方程；(2)根據(jù)過A，B分別向準線丨作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點坐標公式，即可求得圓心，求得圓的方程.【解答】解：(1)方法一：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0),當(dāng)直線的斜率不存在

13、時,|AB|=4，不滿足；設(shè)直線AB的方程為：y=k(x-1),設(shè)A(x】，y】)，B(x2，y2),X】X2=1，整理得：k2X2-2(k2+2)x+k2=0，則xX】X2=1，由|ab|=xW由|ab|=xW丄+2=8,解得：k2=1，則k=1,直線l的方程y=x-1；方法二：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0)，設(shè)直線AB的傾斜角為8,由拋物線的弦長公式|AB|=8,解得：sin20呂,sin26sin2e2&，則直線的斜率k=1,4.直線l的方程y=x-1；(2)過A,B分別向準線x=-1作垂線，垂足分別為A】，B,設(shè)AB的中點為D,過D作DD丄準線I,垂足為D,貝yIddJ令(|

14、aa1|+|bb1|)由拋物線的定義可知：|AAj=|AF|,|BB1|=|BF|，則r=|DD1|=4,以AB為直徑的圓與x=-1相切，且該圓的圓心為AB的中點D,由(1)可知：x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4,則D(3,2),過點A,B且與C的準線相切的圓的方程(x-3)2+(y-2)2=16.【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點弦公式，考查圓的標準方程，考查轉(zhuǎn)換思想思想，屬于中檔題20.(12分)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=21龍，PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.證明：PO丄平面ABC；若點M在棱BC上，且二面角M-PA

15、-C為30,求PC與平面PAM所成角的正弦值.【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明PO丄AC，PO丄OB即可；(2)根據(jù)二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論.【解答】解：(1)證明:AB=BC=2邁,O是AC的中點，.B0丄AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，.PO丄AC,P0=2.：3,則PB2=PO2+BO2，貝9PO丄OB,VOBnAC=O,PO丄平面ABC；(2)建立以O(shè)坐標原點，OB,OC,OP分別為x,y,z軸的空間直角坐標系如圖:A(0,-2,0),P(0,0,2忑),C(0,2,0),B(2,0,0),BC=(-2,2,0),設(shè)甌=入號=(

16、-2入，2入，0),0X0,h(x)三h(ln2)=ein2-2ln2=2-2ln20,f(x)在0,+8)單調(diào)遞增，.f(x)2f(0)=1,解：(2),f(x)在(0,+8)只有一個零點o方程ex-ax2=0在(0,+8)只有一個根,oa=在(0,+8)只有一個根，x/即函數(shù)y=a與G(x)=牙的圖象在(0,+8)只有一個交點.當(dāng)x(0,2)時，Gz(x)V0,當(dāng)(2,+8)時，Gz(x)0,G(x)在(0,2)遞減，在(2,+8)遞增，當(dāng)T0時，G(x)-+8，當(dāng)T+8時，G(x)T+8,e2f(x)在(0,+8)只有一個零點時，a=G(2)=丁.4【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)單調(diào)

17、性,以及函數(shù)零點問題,考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。選修44:坐標系與參數(shù)方程22.(10分)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為”.a，(0為參數(shù))，直線lI7=4sint1的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求C和丨的直角坐標方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求丨的斜率.分析(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程進行轉(zhuǎn)化【解答】解：(【解答】解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))2轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：話直線丨的參數(shù)方程為胄:寫(

18、t直線丨的參數(shù)方程為胄:寫(t為參數(shù))轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：sinax-cosay+2cosa-sina=0.(2)把直線的參數(shù)方程代入橢圓的方程得到：丿辿eosCl)162=1整理得：(4cos2a+sin2a)t2+(8cosa+4sina)t-8=0,則:t+t=4cos2+sin2Seos口則:t+t=4cos2+sin2由于(1,2)為中點坐標,所以:；址二，則：8cosa+4sina=0,解得：tana=-2,即：直線丨的斜率為-2.點評】本題考查的知識要點：參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化,直線和曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,中點坐標的應(yīng)用.選修4-5：不等式選講23.設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.當(dāng)a=1時，求不等式f(x)20的解集；若f(x)W1,求a的取值范圍.【分析(1)去絕對值，化為分段函數(shù)，求出不等式的解集即可，(2)由題意可得|x+a|+|x-2|24,根據(jù)據(jù)絕對值的幾何意義即可求出2k+4?k-1【解答】解：(1)當(dāng)a=1時，f(x)=5-|x+11-|x-21=(2、-2x+6,I當(dāng)xW-1時，f(