微分幾何模擬卷

1、 PAGE PAGE 5微分幾何模擬卷 A一、判斷題（，錯(cuò)誤打（每小題2 分，共10 分）1、等距變換一定是保角變換()2、空間曲線的形狀由曲率與撓率唯一確.()3、二階微分方程A(uv)du2 2B(uv)dudv B(uv)dv2 0 總表示曲面上兩族曲線.4、連接曲面上兩點(diǎn)的所有曲線段中，測(cè)地線一定是最短的()5、坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是F0，這里F是第一基本().二、填空題（每小題 3 分，共 15 分）半徑為R 的圓的曲率.曲面的坐標(biāo)曲線網(wǎng)正交的充要條件,坐標(biāo)曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)的充要條件.在臍點(diǎn)處曲面的第, 第二類基本量滿,使法曲率達(dá)到最大值和最小值的方向方向. 三、計(jì)算題（第

2、1 小題各18 分，第、4 小題各10 分，共48 分） 1、已知空間正則參數(shù)曲線r(t)cos3 t,sin2 t,cos 2t(1) 求基本向量, , .(2) r(t的曲率和撓率(0 t .22z a(x2 y2 臍點(diǎn).3、 設(shè)一個(gè)曲面的第一基本形式為 ds2u v 0,u v 0 的交角. du 2 u2 a2 )dv2 , 求它上面兩條曲線4.確定螺旋面r cosvusinv9 27 分)( 0的曲線.2、證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量e ，那么這曲線是直線或平面曲線.3、設(shè)在兩條曲線、 的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切線平行，證明它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線以及副法線

3、也互相平行。微分幾何模擬卷 B一、判斷題（，錯(cuò)誤打（每小題2 分，共10 分）1、保角變換一定是等距變換()2、空間曲線的位置和形狀由曲率與撓率唯一確.()3、坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是F 0 ，這里F 是第一基本()4、高斯曲率恒為零的曲面必是可展曲.()5、測(cè)地曲率是內(nèi)蘊(yùn)量()二、填空題（每空 3 分共 30 分）1r cos3 x,sin 3 x,cos 2x0 x ， ，則 ， ，22、已知曲面 r cosvusinv,6u 00v ，則它的第一基本形式為2 第二基本形式為 高斯曲率K 平均曲率 H 點(diǎn)處沿方向du:dv 2的法曲率 ，點(diǎn)(1,0,0)處的兩個(gè)主曲率分別為 .三、計(jì)

4、算題（每小題 12 分共 36 分）1、求曲面 z x3 y3 的漸近曲線.2I v(du 2 dv2 v 0 .3、求曲線 r a ta 0,3at2,t3的曲率和撓率：四、證明題（每小題 12 分，共 24 設(shè)空間兩條曲線和C的曲率處處不為零，若曲線和C可以建立一一對(duì)應(yīng)，且在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線互相平行，求證曲線 和C 給出曲面上一條曲率線，設(shè)上每一點(diǎn)處的副法向量和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角. 求證 是一條平面曲線.微分幾何模擬卷 C一、判斷題(正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)的打“”。每小題 2 分，共 10 分)曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L(zhǎng)=N=0.()曲面上曲率線網(wǎng)一定存.()存在第

5、一類基本量E=1，F(xiàn)=-3，G=3 的曲面()高斯曲率與第二基本形式有關(guān)，不是內(nèi)蘊(yùn)量。()曲面上的直線一定是測(cè)地線。()二、填空題(每小題 3 分，共 15 分)向量函數(shù)r=r(t)具有固定長(zhǎng)的充要條件。曲線r=r(t)的撓率。曲面上曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條。直紋曲面的高斯曲率值滿。球面上的測(cè)地線三、計(jì)算題（每小題10分共50分）1、 求曲線r=tsint ,tcost,te線、副法線。 在原點(diǎn)的密切平面、法平面、從切面、切線、主法2、求曲面z = axy 上坐標(biāo)曲線x = x03、 求曲面 z xy 2 的漸近線.,y =y0的交角.4、確定拋物面z=a(x 2 y 2 )在（0，0）ab

6、uv5、求曲面r (u 2(u v),22四、 證明題(第 1 小題 5 分，2、3 小題各 10 分，共 25 分)1、證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).122、證明如果 線的所有切線都經(jīng)過(guò)一的定點(diǎn)，則此曲線是直線。123、證明曲面r=uv,2uuv,uu2v33微分幾何模擬卷 D一、判斷題(正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)的打“”。每小題 2 分，共 10 分)在空間曲線的非逗留點(diǎn)處，密切平面存在且唯一。()空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀與位置。()在曲面的非臍點(diǎn)處，最多有二個(gè)漸近方向。()LN-M2不是內(nèi)蘊(yùn)量。()高斯曲率恒為零的曲面一定是可展的。()二、填空題（每小題 3

7、分，共 15 分）曲線r=r(s)的曲率定義?？臻g曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向。曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件。坐標(biāo)網(wǎng)是漸近線網(wǎng)的充要條件是。平面上的測(cè)地線一定三、計(jì)算題每小題12分，共48分)1、求雙曲面z=axy 上的曲率線.du2 dv22、求第一基本形式為ds2 (u2 v2 c)2的曲面高斯曲率 。3、將圓柱螺線r =acost ，asin t ，bt 4、求曲線x=1+3t+2t 2 ,y=2-2t+5t 2 ,z=1-t 2 四、 證明題(每小題各 9 分，共 27 分)1、證明不存曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.2、證明曲面r=cosv-(u

8、+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。3、 證明在曲面上的給定點(diǎn)處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).微分幾何模擬卷 E一、判斷題(正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)的打“”。每小題 2 分，共 10 分).曲線r = r (s)為一般螺線的充要條件(r , r , r )=0()主法向量正向總是指向曲線凹入的方向。()不存在兩條不同曲,使得一條曲線的主法線都是另一曲線的主法線()曲面上平點(diǎn)對(duì)應(yīng)的杜邦指標(biāo)線是一條直線。()每一個(gè)可展曲面或是柱,或是錐,或是一條曲線的切線曲面。()二、填空題(每小題 3 分，共 15 分)1、當(dāng)曲線參數(shù)是自然參數(shù)時(shí)，它的一階導(dǎo)向量的長(zhǎng)度

9、。2、螺旋線X t,sint,在點(diǎn)（1,0,0）處的單位切向量是，法平面方程是。3為曲面P 在上，在P ，又在P 點(diǎn)沿切方是。向的法曲率為2，則在P 點(diǎn)的曲率為。4、曲面的第一、二、三基本形式的關(guān)系是三、計(jì)算題（每小題12分共48分）1、計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的2x31 5x14x x12x2 22z (ax 2 by 2 ) 在(0,0)點(diǎn)沿方向(dx:dy)的法曲率.23、確定拋物面z=a(x y 2 )在（0，0）點(diǎn)的主曲率.4、在oz平面上去圓周y = 0,(x b)2 z2a2 (b a),參數(shù)方程為 r =(b+acos )cos , (b+acos )sin , asin ,求圓環(huán)面上

10、的橢圓點(diǎn)、雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)。四、 證明題(每小題 9 分，共 27 分)1、如果兩曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有公共的副法線，則它們是平面曲線。(.2、證明曲線r r (s) r , r , r ) 03 、若線 主法線是曲線 的副法線， 的曲率、撓率分別為 k、 ， 求證k 0k 2 ，其中0是常數(shù)。微分幾何模擬卷 F一、判斷題(正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)的打“”。每小題 2 分，共 10 分)1. 橢圓的曲率和撓率特征為k=1,=0。() 2.若曲線的所有切線都經(jīng)過(guò)定,則該曲線一定是直.(3.球面曲線的主法線必過(guò)球心(4.曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L(zhǎng)=N=0.()5. 曲面上的漸進(jìn)網(wǎng)一定存.(

11、)二、填空題(每小題 3 分，共 15 分)向量函數(shù)r (t) 平行于固定平面的充要條件. .以杜(Dupin)指標(biāo)線為分類標(biāo)曲面上的點(diǎn)分為橢圓,雙曲,平.曲面上一點(diǎn)的主曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向的最大值和最小.曲面的第三基本形式是它的第一基本形.三、計(jì)算題（每小題 10 分，共 50 分）1、求三次曲線r at, bt 2 , ct 3 在點(diǎn)t0的切線和法平面。2、求球面r =a cos sin , a cos sin , a sin 上任意點(diǎn)的切平面和法線方程。3、設(shè)曲面的第一基本形式為I = du 2= 0 的交角。4、求正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線的測(cè)地曲率。5、求雙曲面z=axy 上的曲率線. (

12、ua2 )dv2 ，求它上面兩條曲線uv0uv四、證明題（第 1 小題 5 分，2、3 小題各 10 分，共 25 分）1、求證：如果測(cè)地線同時(shí)為漸近線，則它是直線；2證明正螺面r=vcosu,vsinu,au+b(a0)不是可展曲面。3、 如果兩曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有公共的副法線，則它們是平面曲線。微分幾何模擬卷 G一、判斷題(正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)的打“”。每小題 2 分，共 10 分)在光滑曲線的正常點(diǎn)處，切線存在而且唯一。()圓的曲率、撓率特征是常數(shù)0()在曲面的非臍點(diǎn)處，有且僅有二個(gè)主方向。()高斯曲率 與第二基本形式有關(guān)，不是內(nèi)蘊(yùn)量。()曲面上連接兩點(diǎn)的最短線一定是測(cè)地線。()二、填

13、空題(每小題 3 分，共 15 分)曲面上曲線的弧長(zhǎng)不變量。球極投影給出（除北極外）到平面的一個(gè)變換變換。圓的曲率和撓率特征。曲率恒等于0 的曲線。在曲面上的任意點(diǎn)，主方向的數(shù)目總。三、計(jì)算題(每小題 12 分，共 48 分)1xya2 y,2xz a2 在平面3與y = 9a之間的弧長(zhǎng)。2、在曲線x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法線的正向取單位長(zhǎng)，求其曲線的密切平面。3求正螺面r =ucosv,usin,av上的測(cè)地線。aa4、求曲面r (u 2b (u v), uv 上的曲率線的方程.22四、證明題(每小題9分，共27分)1. 證明如果一條曲

14、線的所有法平面包含常向量e ，那么曲線是直線或平面曲線。2、證明過(guò)原點(diǎn)平行于圓柱螺線 r =acost ，asin t ，bt 的副法線的直線軌跡是錐面a 2 (x 2 y 2 ) bz 2 .3、 證明一條曲線的所有切線不可能同時(shí)都是另一條曲線的切線。微分幾何模擬卷 H(判斷下列各小題，正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“2101、在空間曲線的非逗留點(diǎn)處，密切平面存在且唯一。()2、在曲面的非臍點(diǎn)處，有且僅有二個(gè)主方向。()3、存在第一類基本量E=1，F(xiàn)=3，G=3的曲面。()4、LN-M2是內(nèi)蘊(yùn)量。()5、曲面上一定存在著曲率線網(wǎng)和漸近線網(wǎng)()二、填空題（315）1、若曲面 和曲面: X x, y,2等

15、距，則的高斯曲率K=。2、柱面X F(u),G(u),v的第一基本形式為。3、設(shè)若曲面上的曲線，若既是漸近線又是測(cè)地線，則是。又若曲面上的曲線既是漸近線又是曲率線，則是。4X (uv) uu 2uv,u2v 在點(diǎn)的切平面方程是。三、計(jì)算題（每小題 12 分，共 48 分）111X t2 t 2 3 t 3 的曲率k 和撓率 。2、求曲線Y Y (s的切線曲面的主曲率，平均曲率，曲率線方程。123X v,2u3uv,u3u2v高斯曲率。4、求正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線u-曲線的測(cè)地曲率。四、證明題(第 1 小題 6 分,2，3，4 小題各 7 分，共 27 分)1、是否存在曲面使得E=1，F(xiàn)=0，G=1， L=-1，M=0，N=0？為什么？2、設(shè)非直線曲線 和另一條曲線 * 之間建立的一一對(duì)應(yīng)，使得在對(duì)應(yīng)點(diǎn)，曲線 的切線是 * 的主法線，證明 是平面曲線。3、證明：若曲面是（非平