【八年級數(shù)學(xué)】二元一次方程組的認識與求解 - 教師講義

1、中 正 教 育 教 師 輔 導(dǎo) 講 義年 級： 八年級 課 時 數(shù)：3 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：王夢珠課程主題 二元一次方程組的認識與求解授課類型T 課本同步C 專題輔導(dǎo)T 應(yīng)用能力提升授課日期時段年 月 日 段（ ：00- ：00）學(xué)習(xí)目標1.會檢驗一組數(shù)是不是某個二元一次方程（組）的解.2. 理解消元的思想；3. 能熟練、正確、靈活掌握代入法和加減法解二元一次方程組；4會對一些特殊的方程組進行特殊的求解教學(xué)內(nèi)容 【要點梳理】要點一、二元一次方程含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程要點詮釋：二元一次方程滿足的三個條件：（1）在方程中“元

2、”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 要點二、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一組解要點詮釋：(1)二元一次方程的解都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般用大括號聯(lián)立起來，如：(2)一般情況下，二元一次方程有無數(shù)個解，即有無數(shù)多對數(shù)適合這個二元一次方程要點三、二元一次方程組把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組. 要點詮釋：組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數(shù)，例如 也是二元一次

3、方程組.要點四、二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點詮釋：（1）二元一次方程組的解是一組數(shù)對，它必須同時滿足方程組中的每一個方程，一般寫成的形式(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個要點五、消元法1.消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個未知數(shù)，然后再求出另一個未知數(shù). 這種將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知數(shù)由多變少.3.消元的基本方法：把二元一次方程組

4、轉(zhuǎn)化為一元一次方程.要點六、代入消元法 通過“代入”消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法要點詮釋：(1)代入消元法的關(guān)鍵是先把系數(shù)較簡單的方程變形為：用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)的形式，再代入另一個方程中達到消元的目的(2)代入消元法的技巧是：當(dāng)方程組中含有一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式時，可以直接利用代入法求解；若方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1(或-1)的方程則選擇系數(shù)為1(或-1)的方程進行變形比較簡便；若方程組中所有方程里的未知數(shù)的系數(shù)都不是1或-1，選系數(shù)絕對值較小的方程變形比較簡便要點七、加減消元法解二元一次方程組 兩個二元一次方程中

5、同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法要點詮釋：用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟： (1)方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)，又不相等，那么就用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘方程的兩邊，使同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；(2)把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；(3)解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；（4)將這個求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值，并把求得的兩個未知數(shù)的值用“大括號”聯(lián)立起來，就是方程組的解1已

6、知下列方程，其中是二元一次方程的有_(1)2x-5y； (2)x-14； (3)xy3； (4)x+y6； (5)2x-4y7；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)【思路點撥】按二元一次方程滿足的三個條件一一檢驗【答案】(1)(4)(5)(8)(10)【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)滿足二元一次方程的概念(2)為一元一次方程，方程中只含有一個未知數(shù)；(3)中含未知數(shù)的項的次數(shù)為2；(6)只含有一個未知數(shù)；(7)不是整式方程；(9)中未知數(shù)x的次數(shù)為2【總結(jié)升華】判斷一個方程是否為二元一次方程的依據(jù)是二元一次方程的定義，對于比較復(fù)雜的方程，可以先化簡，再根據(jù)定義進行判斷舉一反三：

7、【變式】下列方程中，屬于二元一次方程的有（ B ）A. B. C. D. 2. 下列方程組中，是二元一次方程組的是（D ） A. B. C. D. 【解析】A，B中未知數(shù)的次數(shù)高于或低于一次，而C中出現(xiàn)三個未知數(shù)，只有D選項滿足題意，故正確答案為D.【總結(jié)升華】是否是二元一次方程組要滿足“1、只有兩個未知數(shù)；2、未知數(shù)的項最高次數(shù)都應(yīng)是一次；3、都是整式方程”類型一、用代入法解二元一次方程組3用代入法解方程組： .【思路點撥】直接將上面的式子代入下面的式子，化簡整理即可.【答案與解析】解：將代入得：去括號，移項，合并，系數(shù)化1得： 把代入得： 原方程組的解為：【總結(jié)升華】當(dāng)方程組中出現(xiàn)一個未知

8、量代替另一個未知量的方程時，一般用直接代入法解方程組.舉一反三：【變式】若方程y1x的解也是方程3x2y5的解，則x_，y_.【答案】3，2.4. 用代入法解二元一次方程組：【思路點撥】觀察兩個方程的系數(shù)特點，可以發(fā)現(xiàn)方程中x的系數(shù)為1，所以把方程中的x用y來表示，再代入中即可.【答案與解析】解：由得x5-y 將代入得5(5-y)-2y-40，解得：y3，把y3代入，得x5-y5-32所以原方程組的解為【總結(jié)升華】代入法是解二元一次方程組的一種重要方法，也是同學(xué)們最先學(xué)習(xí)到的解二元一次方程組的方法，用代入法解二元一次方程組的步驟可概括為：一“變”、二“消”、三“解”、四“代”、五“寫”舉一反三

9、：變式：若x2y1(xy5)20，則 x= ， y= .【答案】3,2類型二、由解確定方程組中的相關(guān)量5. 方程組的解的值相等，則的值是 .【思路點撥】將代入上式，可得的值，再代入下面的方程可得值. 【答案】1【解析】解：將代入得，再代入得.【總結(jié)升華】一般地，先將k看作常數(shù)，解關(guān)于x，y的二元一次方程組再令x=m或y=m，得到關(guān)于m的方程，解方程即可 舉一反三：【變式】若方程組的解x與y相等，求k.【答案】將代入上式得，再代入下式得.類型三、加減法解二元一次方程組6. 直接加減：(蕪湖)解方程組【思路點撥】注意到方程組中y的系數(shù)互為相反數(shù)，可將兩個方程直接相加即可消元【答案與解析】解：+，得

10、6x18，解得x3將x3代入，得43-3y11，解得所以原方程組的解為【總結(jié)升華】如果兩個方程中某個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，可將兩個方程直接相加或相減，即可消去這個未知數(shù)7.先變系數(shù)后加減：【思路點撥】注意到方程組中x的系數(shù)成2倍關(guān)系，可將方程的兩邊同乘2，使兩個方程中x的系數(shù)相等，然后再相減消元【答案與解析】解：2，得13y65解得y5將y5代入，得2x-55-21，解得x2所以原方程組的解為【總結(jié)升華】如果兩個方程中未知數(shù)的系數(shù)的絕對值不相等，但某一未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍，可將一個方程的系數(shù)進行變化，使這個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等8.建立新方程組后巧加減：解方程組【思路點撥】注意到兩個方程

11、中兩個未知數(shù)的系數(shù)的和相等、差互為相反數(shù)，所以可將兩個方程分別相加、相減，從而得到一個較簡單的二元一次方程組【答案與解析】解：+，得7x+7y7，整理得x+y1 ，得3x-3y-15，整理得x-y-5 解由、組成的方程組得原方程組的解為【總結(jié)升華】解方程組時，我們應(yīng)根據(jù)方程組中未知數(shù)的系數(shù)的特點，通過將兩個方程相加或相減，把原方程組轉(zhuǎn)化為更簡單的方程組來解9.先化簡再加減：解方程組【思路點撥】方程組中未知數(shù)的系數(shù)是分數(shù)或小數(shù)，一般要先化成整數(shù)后再消元【答案與解析】解：10，6，得3-，得11y33，解得y3將y3代入，解得x4所以原方程組的解為【總結(jié)升華】當(dāng)二元一次方程組的形式比較復(fù)雜時，通常

12、是先通過變形(如去分母、去括號等)，將它化為形式簡單的方程組，再消元求解 一、選擇題1下列方程中，屬于二元一次方程的是（ ） Axy-71 B2x-13y+1 C4x-5y3x-5y D2下列方程組是二元一次方程組的是（ ） A B C D3. 以為解建立一個二元一次方程，不正確的是（ ） A3x-4y5 B Cx +2y-3 D4. 關(guān)于的兩個方程的公共解是（ ） B. C. D. 5用代入消元法解方程組代入消元法正確的是（ ）.A由得y3x+2，代入，得3x11-2(3x+2)B由得，代入，得C由得，代入，得2-y11-2yD由得3x11-2y，代入，得11-2y-y26用代入法解方程組使

13、得代入后化簡比較容易的變形是（ ）.A由得 B由得 C由得 D由得y2x-57已知x+3y0，則的值為（ ）. A B C3 D-38已知是二元一次方程組的解則a-b的值為（ ）. A-1 B1 C2 D39用加減消元法解二元一次方程組時，必須使這兩個方程中（ ）A某個未知數(shù)的系數(shù)是1 B同一個未知數(shù)的系數(shù)相等C同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù) D某一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等10已知，則的值是（ ） A1 B3 C5 D711用加減消元法解二元一次方程組，下列步驟可以消去未知數(shù)x的是（ ）A4+3 B2-5 C5+2 D5-2二、填空題12由x+2y4，得到用y表示x的式子為x_；得到用x表示y

14、的式子為y_13.若，則的值是 14.若是二元一次方程的一個解，則的值是_.15解方程組若用代入法解，最好是對方程_變形，用含_的代數(shù)式表示_16如果-x+3y5，那么7+x-3y_17.小剛解出了方程組的解為，因不小心滴上了兩滴墨水，剛好蓋住了方程組中的一個數(shù)和解中的一個數(shù)，則_，_.18.三年前父親的年齡是兒子年齡的4倍，三年后父親的年齡是兒子年齡的3倍，則父親現(xiàn)在的年齡是_歲，兒子現(xiàn)在的年齡是_歲19用加減法解方程組時，+得_，即_；得_，即_，所以原方程組的解為_已知二元一次方程，用含x的代數(shù)式表示y為_21已知二元一次方程組，則x-y_，x+y_三、解答題22已知是一個二元一次方程的

15、解，試寫出一個符合條件的二元一次方程組23.根據(jù)下列語句，分別設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，列出二元一次方程或方程組 （1）甲數(shù)的比乙數(shù)的2倍少7； （2）摩托車的時速是貨車的倍，它們的速度之和是200km/h； （3）某種時裝的價格是某種皮裝價格的1.4倍，5件皮裝比3件時裝貴700元24已知滿足二元一次方程的值也是方程的解，求該二元一次方程的解25用代入法解下列方程組： (1) (2)26解下列二元一次方程組（1） （2）27.如果是方程組的解求 【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】B；2. 【答案】D；【解析】考查二元一次方程組的定義3. 【答案】C； 【解析】代入驗證4. 【答案】B； 【解析】考

16、查二元一次方程組解的概念5. 【答案】D； 6. 【答案】D；7. 【答案】B； 【解析】由x+3y0得3yx，代入.8. 【答案】A；【解析】將代入得，解得.9. 【答案】D當(dāng)相同字母的系數(shù)相同時，用作差法消元，當(dāng)相同字母的系數(shù)互為相反數(shù)時，用求和法消元.10. 【答案】D；【解析】由題意可得，解得，.【答案】D；二、填空題12. 【答案】4-2y，；13.【答案】； 【解析】由非負性可得：，代入求出比值14【答案】8. 【解析】將代入，得， 所以.15. 【答案】； x， y；16. 【答案】2；【解析】由-x+3y5得x3y5，代入7+x-3y=7+（5）2.17.【答案】17，9； 【

17、解析】將代入得，即9，再將，代入， 得17.18.【答案】51，15； 【解析】設(shè)父親現(xiàn)在的年齡是歲，兒子現(xiàn)在的年齡是由題意得：，解得.19. 【答案】6x2， ， 2y-10， y-5， ；20.【答案】；21【答案】-1，5；三、解答題22.解：答案不唯一，現(xiàn)舉一例： x2，y3， x+y2+35，2x+y22+37， 就是所求的一個二元一次方程組23.【解析】解：（1）設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，則 （2）設(shè)摩托車的速度為x km/h，貨車的速度為y km/h，則 （3）設(shè)時裝的價格為x元/件，皮裝的價格為y元/件，則24.【解析】解：由得，將代入得，所以二元一次方程的解是.25.【解析】解：

18、 (1)由得x3-3y，將代入得，5(3-3y)-2y-2，解得y1，將y1代入得x0，故(2)由得y3-2x ，將代入得，3x-5(3-2x)11，解得x2，將x2代入得y-1，故由，得y1-6x ，將代入，得12x-3(1-6x)726.【解析】解：（1）將去括號，整理得+得，即，將代入得，解得，將代入得，所以原方程組的解為.（2）將“”看作整體，將代入得，解得，將代入得，所以原方程組的解為.27.【解析】解：由是方程組的解，得，解此方程組，得當(dāng)a1，b1時， 【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ） 2.若的二元一次方程，那么（ ）A B. C. 且 D. 或3

19、.若x、y 均為非負數(shù)，則方程6x=-7y 的解的情況是（ ） A無解 B.有唯一一個解 C.有無數(shù)多個解 D.不能確定 4.在早餐店里，王伯伯買5顆饅頭，3顆包子，老板少拿2元，只要50元李太太買了11顆饅頭，5顆包子，老板以售價的九折優(yōu)待，只要90元若饅頭每顆x元，包子每顆y元，則下列哪一個二元一次聯(lián)立方程式可表示題目中的數(shù)量關(guān)系? ( )A BC D 5.若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，則2x2-3xy 的值是（ ）. A14 B-4 C-12 D126關(guān)于x，y的方程，k比b大1，且當(dāng)時，則k，b的值分別是（ ）. A， B2，1 C-2，1 D-1，07已知和都是方程ya

20、x+b的解，則（ ）.A B C D8如果二元一次方程組的解是二元一次方程3x-5y-300的一個解，那么a的值是（ ）. A3 B2 C7 D69如果x:y3:2，并且x+3y27，則x與y中較小的值是（ ）. A3 B6 C9 D1210已知方程組中，x、y的值相等，則m等于（ ）. A1或-1 B1 C5 D-511.如果的解都是正數(shù)，那么a 的取值范圍是（ ）. Aa2； B.； C. ； D. 12. 已知方程組有無數(shù)多個解，則a、b 的值等于（ ）. Aa=-3,b=-14 B. a=3,b=-7 C. a=-1,b=9 D.a=-3,b=14 二、填空題13已知方程是二元一次方程

21、，則m_，n_14當(dāng)時，關(guān)于x、y的二元一次方程組的解互為相反數(shù)，則a_，b_ 15. 方程|a|+|b|=2 的自然數(shù)解是_；16.若二元一次方程組 的解中，則等于_.17在方程組中，若把x+y看作一個整體，把代入，解得y_，所以x_18若與是同類項，則x _，y _19已知方程組的解也是方程 的解，則a _，b _ 20.關(guān)于的二元一次方程組中，與方程組的解中的相等，則的值為 .21已知是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m_，n_；在自然數(shù)范圍內(nèi)，該方程的解是_22若|x-y-5|與|2x+3y-15|互為相反數(shù)，則x+y_23對于實數(shù)x和y，定義一種新的運算“”：xyax+by，其中a、b是

22、常數(shù)，等式右邊的運算是通常的加法和乘法運算，已知3525，4738，那么15_24若方程組的解是一個直角三角形的兩條直角邊，則這個直角三角形的面積為_三、解答題25已知是方程組的解，求的值26某球迷協(xié)會組織36名球迷租乘汽車赴比賽場地，為中國國家男子足球隊吶喊助威，可租用的汽車有兩種：一種是每輛車可乘8人，另一種是每輛車可乘4人要求租用的車子不留空座，也不超載 （1）請你給出三種不同的租車方案；（2）若8個座位的車子租金是300元/天，4個座位的車子租金是200元/天，請你設(shè)計費用最少的租車方案，并簡述你的理由27用代入法解方程組： （1） （2） 28關(guān)于x，y的方程組，甲正確地解出，乙因把

23、c看錯了，解得求a、b、c的值29解下列方程組：（1） （2） 30.已知 （1）求x:z的值；（2）求x:y:z的值；（3）求的值【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】C；【解析】依據(jù)二元一次方程組的定義進行判斷2. 【答案】C；【解析】x，y的系數(shù)均不為04. 【答案】B；【解析】可知：異號或均為0，所以不可能同時為正，只能同時為0.5. 【答案】B； 【解析】根據(jù)題意知，x，y同時滿足兩個相等關(guān)系:老板少拿2元，只要50元；老板以售價的九折優(yōu)待，只要90元，故選B 6. 【答案】B；【解析】聯(lián)立方程組，解得，代入2x2-3xy4.7. 【答案】A； 【解析】將時，代入得，再由k比b大1得

24、 ，聯(lián)立解得，.8. 【答案】B； 將和分別代入方程yax+b得二元一次方程組：，解得.9. 【答案】B 【解析】由方程組可得，代入方程，即可求得. 10. 【答案】B； 【解析】，解得，所以較小的數(shù)為6.11. 【答案】B；解方程組得解為，因為x、y的值相等，所以，解得.12. 【答案】C； 13. 【答案】A；【解析】方程組有無窮多解，說明方程組中的方程對應(yīng)項的系數(shù)成比例.二、填空題13. 【答案】-2， ；由二元一次方程的定義可得：，所以14. 【答案】12，8；【解析】解互為相反數(shù)可得，將與代入計算即可15.【答案】；16.【答案】34 ；【解析】將代入中，得，即；將代入 ，得，即，即