《二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計(jì)(含教學(xué)內(nèi)容學(xué)情分析及教學(xué)點(diǎn)評(píng))

1、二項(xiàng)式定理一教學(xué)設(shè) 一教內(nèi)解二項(xiàng)式定理課內(nèi)容上只有一個(gè)二項(xiàng)式定理但它卻是前面內(nèi)容的繼續(xù)也 是后面內(nèi)容的開始。在計(jì)數(shù)原理之后學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理，一方面是因?yàn)樗淖C明要用到 計(jì)數(shù)原理，可以把它看做為計(jì)數(shù)原理的一個(gè)應(yīng)用。另一方面也是為后面學(xué)習(xí)隨機(jī)變量 及分布做準(zhǔn)備。二項(xiàng)式定理具有較高應(yīng)用價(jià)值和思維訓(xùn)練價(jià)值不僅能解決某些整除性似計(jì)算 問(wèn)題的一種方法，并能解釋集合的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題；再者，二項(xiàng)式定理不僅僅是初中多 項(xiàng)式乘法的拓展，它又是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中函數(shù)級(jí)數(shù)展開式的一個(gè)特例，在 組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和中有廣泛的應(yīng)用，因此這節(jié)課在高中數(shù) 學(xué)中有著十分重要的作用。通過(guò)本課的教學(xué)，進(jìn)一步提高學(xué)

2、生的歸納演繹能力，讓學(xué) 生感受體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、和諧美和對(duì)稱美。教材中的二項(xiàng)式定理主要包括：定理本身，通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等通 過(guò)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識(shí)同時(shí)在求展開式其通項(xiàng)證恒等式、 近似計(jì)算等方面形成技能或技巧；進(jìn)一步體會(huì)過(guò)程分析與特殊化方法等等的運(yùn)用；重 視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成。二項(xiàng)式定理本身是教學(xué)重點(diǎn)，因?yàn)樗呛竺娓鞣N應(yīng)用的基礎(chǔ)通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式 系數(shù)的性質(zhì)，特殊化方法等意義重大而深遠(yuǎn)，所以也應(yīng)該是重點(diǎn)。二項(xiàng)式定理的證明是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)這是因?yàn)樽C明中符號(hào)比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)?運(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)。二學(xué)分學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了計(jì)數(shù)原理、排列組合及合情推理的相關(guān)知識(shí)，

3、已經(jīng)具備了一定的 歸納演繹和分析事件方法種數(shù)的能力。但是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的把握還不夠，研究問(wèn) 題的方法和能力有待提高，有些學(xué)生容易粗心，對(duì)細(xì)節(jié)知識(shí)的把握還不夠好。本節(jié)課 二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)運(yùn)用了先猜想后證明，由特殊到一般的研究問(wèn)題的思想方法。因此 本堂課采用小組討論學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在相互討論的過(guò)程中直接或間接地感受和體驗(yàn)知識(shí) 的產(chǎn)生、發(fā)展和演變過(guò)程，提高學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力。在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，以發(fā)揮他們的自主精神；盡量創(chuàng)造讓學(xué) 生活動(dòng)的機(jī)會(huì)，以讓學(xué)生在直接體驗(yàn)中建構(gòu)自己的知識(shí)體系；盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和 創(chuàng)造意識(shí)，以使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí)。三教目設(shè)1.識(shí)技能目（1）理解二項(xiàng)式

4、定理是代數(shù)乘法公式的推廣。（2）理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理。（3掌握對(duì)簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式進(jìn)行展開能夠?qū)?xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行區(qū)分并 能求出指定項(xiàng)。2.程與方法標(biāo)通過(guò)學(xué)生經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的能力，以及 化歸的意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)歸納猜想論證的思想方法發(fā)展探究能力。3.感、態(tài)度價(jià)值觀標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生自主探究意識(shí)，合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會(huì)數(shù) 學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)捷和嚴(yán)謹(jǐn)。四教重、點(diǎn)重點(diǎn)：用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分 a )3的展開式得到二項(xiàng)式定理掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。難點(diǎn)：用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析推 a ) 理。五教過(guò)3的展

5、開式用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定教 程 問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)情 情 引出問(wèn)題：如果今天是星期五14 天后的這 一天是星期幾呢？ 天后的這一天呢？ 師生歸納：比如 23=73+2，所 23 天后是 星期日。算法：用各個(gè)數(shù)除以 7，看余數(shù)是多少， 再用五加余數(shù)來(lái)推算提 出 問(wèn) 題 激發(fā) 學(xué) 生 探 索 讓 學(xué) 生 用 師：再過(guò) 82016天后是星期幾，你知道嗎？欲望并引出 算器計(jì)算不方便求 出 82016 以的余數(shù) ，可以 利用課題8=7+1，得到 82016=(7+1)2016=? 的 , 究 a )n n N*從特殊開始由(ab)1=ab創(chuàng) (+b)2=(abab)=a+2abb; 問(wèn) (+b)

6、3=(ab)2(ab結(jié)果 ) 3 a 2 ab 2 體 會(huì) 多 項(xiàng) 式 乘 法 計(jì) 算 過(guò) 程 , 加深對(duì)因 式 展 開 原 理 的理解。與 學(xué) 生 一 同 計(jì)算，得到計(jì) 算結(jié)果，為后 面做鋪墊。引 新 探究一：通過(guò)組合思想來(lái)分 (+)3的展開 )3( ) 展開后項(xiàng)的形式為： a3, 2b ab2, b3項(xiàng)的系數(shù)，考 ，a 3 ：每個(gè)都不取 的情況有 種， , 3 前的系數(shù) Ca b 恰有 1 個(gè) 的情況 種 a 的系數(shù) 1 2 恰有 2 的情況 C 種 2 前的系數(shù) C考 察 學(xué) 生 對(duì) 因 式 展 開 的 各 項(xiàng) 形 式 及 系數(shù)的理解。學(xué) 生 說(shuō) 出 自 己的思路，老 師 做 分 析 與

7、 講 解 為 后 面 猜想做鋪墊。：恰有 3 個(gè) 的情況 C33種， b前的系數(shù) C所以( a ) C 3 a 2 b C C b 33 3探究二：觀察展開式中的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)變化以 及系數(shù)變化發(fā)現(xiàn)了什么？由此猜+）學(xué) 生 先 觀 察 總結(jié)特點(diǎn)： 1. 項(xiàng) 數(shù) 是 指 數(shù)加 1；讓 學(xué) 生 通 過(guò) 2.字母 a 按降4,(ab)的展開式中項(xiàng)數(shù)，指數(shù)變化及系數(shù)特 例 去 觀 察 冪排列，字母變化又如何呢？并試著寫出他們的展開式。 回答：( a ) 4 4 1 a b 2 a 3 ab 4 b 4 4 相 同 之 處 與 按照升冪排 不同之處以 列，二者指數(shù) 及 不 同 之 處 之 和 是 二 的處理

8、方法， 式指數(shù)； 3 (a )nCnanna rna n r從 而 提 出 猜 每 一 項(xiàng) 的 n b n ( n n*)想。數(shù) 有 上 面 的 問(wèn)題 2 給出，這 很 好 的 突 破 了 本 節(jié) 的 難點(diǎn)。探究三：對(duì)于猜想( n n rn br nnbn我們?nèi)绾芜M(jìn)行證明呢？師 生 討 論 證 讓 學(xué) 生 體 會(huì) 明思路，通過(guò)證明 a 是 n ( a ) 相乘 ( )利 用 組 合 思 閱 讀 課 本 在相乘時(shí)，有兩種選擇，選 a 或選 b，由分步計(jì)數(shù)原理可知展開式共 2 項(xiàng)（包括同類想 從 特 殊 到 的證明過(guò)程， 一般對(duì)猜想 老 師 最 后 做 給 出 嚴(yán) 謹(jǐn) 的 出方法歸類，項(xiàng)一項(xiàng)都 r

9、( r 0,1, n) 形 證明過(guò)程 提 示 學(xué) 生 證式對(duì)于每一 a r 它是由 r ( 選了 b，nr ( 了 a 到的，它出現(xiàn)理 解 如 何 用 明的思路。并 “說(shuō)理的方 留 下 課 下 演 式 闡 述 證 明 練 二 項(xiàng) 式 過(guò)程。理 的 數(shù) 學(xué) 歸的次數(shù)相當(dāng)于從 n ( 取 r 個(gè) b 組合 C r ，將它們合并同類項(xiàng)得二項(xiàng)展開 式，這就是二項(xiàng)式定理納法證明。1 0 201520151 0 20152015思 觀 觀察二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)以及系數(shù)有 何特點(diǎn)，誰(shuí)最具代表性？(1)項(xiàng)：二項(xiàng)展開式共 項(xiàng)；(2)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于 n；字母 a 降冪排列，次數(shù) n 減到 0；字 母

10、b 升冪排列，次數(shù)由 遞增到 n(3)二項(xiàng)式系數(shù) C k ( 0,1,2,(4)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) T = C n b k 學(xué) 生 繼 續(xù) 總 結(jié)這三點(diǎn)，以考 察 學(xué) 生 的 強(qiáng) 化 已 有 觀察力以及 認(rèn)識(shí)，同時(shí)老 分 析 問(wèn) 題 的 師強(qiáng)調(diào)：二項(xiàng) 能力。 式系數(shù)，與二項(xiàng) 展 開 式 系 數(shù)的區(qū)別。學(xué) 新 特殊的情況1.用-b 替 b寫（a 的展開式 2.令 ab=2.寫1 x 的展開式今天是星期五, 再過(guò) 8 知道嗎？2016天后是星期幾，你對(duì) 二 項(xiàng) 式 定 理 的 簡(jiǎn) 單 應(yīng) 用同時(shí)也是 告 訴 學(xué) 生 二 項(xiàng) 式 定 理 在 解 決 問(wèn) 題 時(shí) 的方法賦值 或 是 賦 表 達(dá) 式。學(xué)

11、生 自 主 完 成，老師進(jìn)行 檢查，通過(guò)投 影 儀 將 學(xué) 生 的 結(jié) 果 進(jìn) 行 展示，錯(cuò)誤時(shí) 做 出 點(diǎn) 撥 與 分析。學(xué) 生 提 出 解 決思路，老師破 疑 82016 (7 2016 7 C 2016 7( 7 72014 C 7 2016 C ) 破 解 疑 惑 讓 點(diǎn)評(píng)分析，怎 學(xué) 生 感 受 計(jì) 么才能被 7 整 算 的 簡(jiǎn) 單 與 除好計(jì)算呢 ? 快捷增強(qiáng)對(duì) 聯(lián) 想 二 項(xiàng) 式 數(shù) 學(xué) 學(xué) 習(xí) 的 定 理 的 表 即 82016除以 7 余數(shù)是 1。熱情，形式，問(wèn)題得故再過(guò) 82016天后的那一天是星期六。到解決，留為精 精 鞏 新 再探索對(duì)1 x 的展開式思考 1：展開式的第

12、 2 項(xiàng)的系數(shù)是多少？ 思考 2：展開式的第 2 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是多 少？思考 3：你能否直接求出展開式的第 2 項(xiàng)？課下計(jì)算。 熟 悉 二 項(xiàng) 式定理以及對(duì) 教 師 板 演 過(guò) 二項(xiàng)式系數(shù)， 程，給學(xué)生以 展開式系數(shù)， 示范，為后面 以及 x 的系數(shù) 步 驟 的 整 潔 問(wèn) 題 的 理 解 做鋪墊。 與記憶。反 練 課堂練習(xí)1、 (2 6 的展開式的第三項(xiàng)2、 y x) 的展開式的第三項(xiàng)熟 悉 二 項(xiàng) 式定理二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展 學(xué) 生 自 主 練 開式系數(shù)以 習(xí)，反饋教學(xué) 及 通 項(xiàng) 的 初 效果，老師巡 步應(yīng)用理解 視 做 個(gè) 別 輔 二 項(xiàng) 式 展 開 導(dǎo)。 式 的 項(xiàng) 的 順序。學(xué)生說(shuō)，

13、教師 讓 學(xué) 生 回 顧 課件演示，并課 本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么知識(shí)，他是怎么得到的 小 呢？在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)要注意什么呢？本節(jié)要點(diǎn)觀 強(qiáng)調(diào)：二項(xiàng)式 察 學(xué) 生 掌 握 系 數(shù) 與 二 情況。展 開 式 系 數(shù) 的區(qū)別。布 作 課本 37 頁(yè) 習(xí)題 A 組 、4課后探究：用數(shù)學(xué)歸納法證明二項(xiàng)式定理讓 學(xué) 生 鞏 固 本 節(jié) 課 的 所 學(xué) 內(nèi) 容 和 知 識(shí)。六板設(shè)1.3.1 二項(xiàng)式定理例題 1( a ) r r ( *)例題 2(1)項(xiàng)：二項(xiàng)展開式共 n 項(xiàng)；(2)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于 n字母 a 降冪排列，次數(shù)由 n 遞減到 0 字母 b 升冪排列，次數(shù)由 0 遞增到 n(3)二項(xiàng)式系數(shù)

14、C k ( 練習(xí) 1練習(xí) 2作業(yè)：課本 37 頁(yè) 習(xí)題 1.3 A 組 2、4 課后探究：用數(shù)學(xué)歸納法證明二項(xiàng)式定理 （根據(jù)課堂教學(xué)活動(dòng)的推薦，反復(fù)使用(4)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) k = k 關(guān)于1.3.1 項(xiàng)式定理一）點(diǎn)分析1.3.1 二項(xiàng)式定理是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科-數(shù)學(xué)選修 2-3 第一章 第三部分第一節(jié)的內(nèi)容普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修 2-3 教師教學(xué)用書建議 3 課時(shí)，本節(jié)課為第一課時(shí)。執(zhí)教者堅(jiān)持“以人為本，以學(xué)定教”的教學(xué)理念，通過(guò)自已的精心設(shè)計(jì)和認(rèn)真思 考，把對(duì)教材的深刻認(rèn)識(shí)，通過(guò)靈活的教學(xué)方法，將新課程的理念充分地體現(xiàn)在課堂 中，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，充分展示了知識(shí)的形

15、成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)了二項(xiàng)式定 理的生成過(guò)程和應(yīng)用過(guò)程，具有良好的教學(xué)效果。這節(jié)課主要有以下特點(diǎn)： 、 以問(wèn)題為主線 充分激發(fā)學(xué)的學(xué)習(xí)力和興趣本節(jié)課精心設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)問(wèn)題，教學(xué)活動(dòng)開始時(shí)，就提出了人們的生活安排往往成 周期變化，提出了推算星期幾的問(wèn)題，從而引出對(duì)二項(xiàng)式定理的研究，最后通過(guò)所得 結(jié)論解決提出的問(wèn)題。一是以問(wèn)題為載體，有機(jī)滲透德育，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)對(duì)學(xué) 生進(jìn)行思想教育這正是數(shù)學(xué)新課程理念所期待的目標(biāo) 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)（實(shí) 驗(yàn)簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)出數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的 作用逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀為此高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值 是發(fā)揮問(wèn)題的魅力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)

16、力。眾所周知，思維是從問(wèn)題開始的， 沒(méi)有問(wèn)題就沒(méi)有思維，由此可見，課堂教學(xué)中問(wèn)題的質(zhì)量直接影響到教學(xué)效果，正因 為如此準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容采“問(wèn)題情景一建立模型一解 釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生通過(guò)問(wèn)題的吸引，積極 思考，發(fā)掘新知識(shí)的各個(gè)方面，最大限度地實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的教學(xué)價(jià)值。2、 重教學(xué)中的引導(dǎo)強(qiáng)化數(shù)思想方法的透和應(yīng)標(biāo)準(zhǔn) 指出不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)， 更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律， 強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行 解釋與應(yīng)用的過(guò)程抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過(guò)程， 幫助 學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的

17、學(xué)習(xí)方法從中不難看出：過(guò)程教學(xué)觀是新課程理念的靈魂， 本課例特別突出了過(guò)程教學(xué)，以過(guò)程為載體，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。（1注重課題的引入過(guò)程上課開始提出實(shí)際問(wèn)題捕捉到實(shí)際應(yīng)用與新知識(shí)的 銜接點(diǎn)，突出了建模的思想方法。（2）注重了二項(xiàng)式定理的生成過(guò)程，在此環(huán)節(jié)中充分展示了系列過(guò)程乘法公式(ab1，(ab)2，(ab)3, (ab)4到(ab)n的展開式”中出現(xiàn)的規(guī)律時(shí)，又突出了三個(gè)過(guò)程：一是引導(dǎo)學(xué)生找每一項(xiàng)的次數(shù)、項(xiàng)數(shù)規(guī)律；二是找系數(shù)規(guī)律，這是問(wèn)題的關(guān) 鍵； 是找組合數(shù)的實(shí)際意義這是解決求二項(xiàng)式指定項(xiàng)系數(shù)問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)通過(guò)這 些過(guò)程教學(xué)，突出了以下數(shù)學(xué)思想方法：由特殊到一般的不完全歸納法；類比聯(lián)想。 由此可見從公式定理的形成過(guò)程中可以學(xué)到重要的數(shù)學(xué)方法， 可“過(guò)程即方法 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程比學(xué)習(xí)結(jié)論更重要。3、人為本因材施教，出學(xué)生個(gè)性化選擇高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)具有多樣性和選擇性，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展， 高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)為學(xué)生提供多層次、多種類的選擇，以促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展