【八年級數(shù)學(xué)講義】視圖與投影-學(xué)生講義

1、中 正 教 育 學(xué) 生 講 義年 級： 九年級 課 時 數(shù)：3 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：課程主題 視圖與投影授課類型T 認(rèn)識投影和視圖的基本概念和基本性質(zhì)C 分析立體圖形和平面圖形之間的聯(lián)系，提高空間想象能力T 通過實例了解視點、視線、盲區(qū)的含義及其在生活中的應(yīng)用授課日期時段年 月 日 A段（8：00-10：00）教學(xué)內(nèi)容 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.以分析實際例子為背景，認(rèn)識投影和視圖的基本概念和基本性質(zhì)；2.通過討論簡單立體圖形與它的三視圖的相互轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷畫圖、識圖等過程，分析立體圖形和平面圖形之間的聯(lián)系，提高空間想象能力；3.通過實例了解視點、視線、盲區(qū)的含義及其在生活中的應(yīng)用.【要

2、點梳理】要點一、三視圖1.三視圖的概念（1）視圖從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的一個視圖.（2）正面、水平面和側(cè)面用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側(cè)面.（3）三視圖一個物體在三個投影面內(nèi)同時進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.2.三視圖之間的關(guān)系（1）位置關(guān)系三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖(1)所示.（

3、2）大小關(guān)系三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.要點詮釋：物體的三視圖的位置是有嚴(yán)格規(guī)定的，不能隨意亂放.三視圖把物體的長、寬、高三個方面反映到各個視圖上，具體地說，主視圖反映物體的長和高；俯視圖反映物體的長和寬，左視圖反映物體的高和寬，抓住這些特征能為畫物體的三視圖打下堅實的基礎(chǔ).3.畫幾何體的三視圖畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“

4、高平齊”，與俯視圖“寬相等”.幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線.要點詮釋：畫一個幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個方向觀察時所得的視圖畫出來，所以，首先要注意觀察時視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實踐，多與同學(xué)交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.4.由三視圖想象幾何體的形狀由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來考慮整體圖形.要點詮釋：由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定

5、的難度，可以從如下途徑進(jìn)行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長、寬、高；(2)根據(jù)實線和虛線想象幾何體看得見和看不見的輪廓線；(3)熟記一些簡單的幾何體的三視圖會對復(fù)雜幾何體的想象有幫助；(4)利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.要點二、平行投影1.一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如

6、圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.2. 物高與影長的關(guān)系（1）在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西西北北東北東，影長也是由長變短再變長.（2）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.即：.利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.要點詮釋：1平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.

7、利用平行投影知識解題要分清不同時刻和同一時刻.2物體與影子上的對應(yīng)點的連線是平行的就說明是平行光線.要點三、中心投影若一束光線是從一點發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個“點”就是中心，相當(dāng)于物理上學(xué)習(xí)的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機(jī)的燈光等.相應(yīng)地，我們會得到兩個結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.

8、在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結(jié)論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應(yīng)點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.要點詮釋： 光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).要點四、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系1.聯(lián)系：（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽光線、月光等，而中心投影是從一點發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點發(fā)射出來的光線.（2）在平行投影中

9、，同一時刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.2.區(qū)別：（1）太陽光線是平行的，故太陽光下的影子長度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.（2）同一時刻，太陽光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要點詮釋：在解決有關(guān)投影的問題時必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點進(jìn)一步解決問題.要點五、視點、視線與盲區(qū)視點是指人的觀看位置，由視點發(fā)出的

10、射線稱為視線，兩條視線的夾角稱為視角，看不到的地方稱為盲區(qū).【典型例題】類型一、三視圖1在圖中，根據(jù)下列主視圖和俯視圖(大致形狀)，找出對應(yīng)的物體 舉一反三：【變式】分別畫出圖中幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖 類型二、投影的作圖問題2如圖，路燈下一墻墩（用線段AB表示）的影子是BC，小明（用線段DE表示）的影子是EF，在M處有一顆大樹，它的影子是MN（1）指定路燈的位置（用點P表示）；（2）在圖中畫出表示大樹高的線段；（3）若小明的眼睛近似地看成是點D，試畫圖分析小明能否看見大樹 舉一反三：【變式】如何才能使如圖所示的兩棵樹在同一時刻的影長分別與它們的原長相等，試畫圖說明類型三、投影的應(yīng)用3如

11、圖，陽光通過窗口照到教室內(nèi)，豎直窗框在地面上留下2.1m長的影子如圖所示，已知窗框的影子DE到窗下墻腳的距離CE=3.9m，窗口底邊離地面的距離BC=1.2m，試求窗口的高度（即AB的值）4如圖，王琳同學(xué)在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他行到P處時發(fā)現(xiàn)，他在路燈B下的影長為2米，且恰好位于路燈A的正下方，接著他又走了6.5米到Q處，此時他在路燈A下的影子恰好位于路燈B的正下方（已知王琳身高1.8米，路燈B高9米）（1）標(biāo)出王琳站在P處在路燈B下的影子；（2）計算王琳站在Q處在路燈A下的影長；（3）計算路燈A的高度類型五、視點、視線與盲區(qū)5如圖，點P的對面是一面東西走向的墻，某人在點P觀察一輛自西向

12、東行駛的汽車AB，汽車的長為6米，根據(jù)圖中標(biāo)示的數(shù)據(jù)解決下列問題：（1）畫出此人在汽車與墻之間形成的盲區(qū)，并求出該盲區(qū)的面積；（2）當(dāng)汽車行駛到CD位置時，盲區(qū)的面積是否會發(fā)生變化？為什么？【變式】如圖所示，一段街道的兩邊沿所在直線分別為AB，PQ，并且ABPQ，建筑物的一端DE所在的直線MNAB于點M，交PQ于點N，小亮從勝利街的A處，沿著AB方向前進(jìn)，小明一直站在點P的位置等待小亮（1）請你畫出小亮恰好能看見小明的視線，以及此時小亮所在的位置（用點C標(biāo)出）（2）已知：MN=30m，MD=12m，PN=36m求（1）中的點C到勝利街口的距離 一、選擇題1如圖所示是一個幾何體的實物圖，則其主視

13、圖是 ( )2從左邊看圖1中的物體，得到的是圖2中的( ) 第3題3 如圖所示，身高為16米的某學(xué)生想測量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)他站在C處時，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，并測得AC20米，BC80米，則旗桿的高度是( ) A64米 B70米 C80米 D90米4如圖下列物體的影子，不正確的是（ ）5關(guān)于盲區(qū)的說法正確的有（）（1）我們把視線看不到的地方稱為盲區(qū)（2）我們上山與下山時視野盲區(qū)是相同的（3）我們坐車向前行駛，有時會發(fā)現(xiàn)一些高大的建筑物會被比它矮的建筑物擋?。?）人們常說“站得高，看得遠(yuǎn)”，說明在高處視野盲區(qū)要小，視野范圍大A1個B2個C3個D4個6如圖所示，王華晚上由路燈A

14、下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是15米，那么路燈A的高度AB等于( ) A45米 B6米 C72米 D8米 二、填空題7一個幾何體是由一些大小相同的小正方體擺成的，其主視圖與左視圖如圖所示，則組成這個幾何體的小正方體最少有_個8下圖是由兩個長方體組合而成的一個立體圖形的三視圖，根據(jù)圖中所標(biāo)尺寸(單位：mm)，計算出這個立體圖形的表面積是_mm29如圖所示上體育課，甲、乙兩名同學(xué)分別站在C、D的位置時，乙的影子恰好在甲的影子里邊，已知甲、乙同學(xué)相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，則甲的影長是_米 第9題 第10題

15、10如圖所示，小明在A時測得某樹的影長為2m，B時又測得該樹的影長為8m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為_m11一個圓柱體的軸截面平行于投影面，圓柱體的正投影是邊長為4的正方形，則圓柱的表面積為 ；體積為 12如圖，房間里有一只老鼠，門外蹲著一只小貓，如果每塊正方形地磚的邊長為1米，那么老鼠在地面上能避開小貓視線的活動范圍為 平方米 三、解答題13 用小立方塊搭一個幾何體，使得它的主視圖和俯視圖如圖所示，這樣的幾何體只有一種嗎？它最少需要多少個小立方塊？最多需要多少個小立方塊？俯視圖俯視圖主視圖主視圖14學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度，并探究影子長度的變化規(guī)律如圖所示，在同一時間，身高為16 m的小明(AB)的影子BC長是3m，而小穎(EH)剛好在路燈燈泡的正下方H點，并測得HB6m(1)請在圖中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G； (2)求路燈燈泡的垂直高度GH； (3)如果小明沿線段BH向小穎(點H)走去，當(dāng)小明走到BH中點B1處時，求