2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題及答案

1、2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題及答案2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省賽區(qū))預(yù)賽&2020年福建省高中數(shù)學(xué)競賽試卷(考試時(shí)間；加20年6月27日上午沢00-11-30)一、填空題共10小題，每小題6分，滿分60分.請直接將答案寫在答題卷相應(yīng)位置上)已知復(fù)數(shù)二滿足|2-1|=|-/|-若三|為正實(shí)數(shù)，則-已知0)=%個(gè)(砒+護(hù))血0，|訶|百押人若/()=0f(斗=且/()的最小正周期大于則爐=.3+已知工表示不超過上的最大整數(shù)，集合力工-朋町，/?=r|2.則加目=*一已知函數(shù)/(是定義在況上的偶函數(shù)且對任意實(shí)數(shù)I都有y(.T+i)=/(i-x).立，TOC o 1-5 h z出IS赫2

2、吋./(x)=lnx.若關(guān)于工的方程/+商-2D在工打3上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根+則a的取值范圍為女*卡爭設(shè)片、耳為雙曲線：(fJ0-b)的左、右焦點(diǎn)，過打的直線r交雙曲線的右支于兩點(diǎn)t且AFtAF2=0,巧R+紹“(h則刈曲線的離心率認(rèn)一匚在哄凸十八邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，任取一個(gè)三帝形，則所取的三角闿與該十八邊形無公共邊的概率為*bcd【第7題圖)7.如圖在正方體ABCD-C中，點(diǎn)止、F、石分別在林丄4”.n.ma2總戰(zhàn)丈*則wr的最大館為_.101設(shè)正整數(shù)”為合數(shù).八叩為”的最小的三個(gè)正約數(shù)之和.肌町為丹的最大的兩牛正的數(shù)之和.若g(tf)=fn)+則片的所有可能值為*，二、解答題

3、(共5小題，每小題20分，滿分100分要求寫出解題過程，寫在答題卷相應(yīng)位置上)己知數(shù)列滿足=1=5tan2=4flrM+I3an(we；V*).(1)求數(shù)列“的通項(xiàng)公式：設(shè)b嚴(yán)丄一,7；是數(shù)列的前項(xiàng)的和，求證：Tb0)的離心率為右焦點(diǎn)F到直線x-y+2=0的cro2距離為20,4、4分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn).求橢圓C的方程；過點(diǎn)F的直線/交橢圓C于/1、兩點(diǎn)(點(diǎn)4在A軸上方)，y為直線/、舄的交點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)丁的縱坐標(biāo)為6州時(shí)，求宜線/的方程.C分別切于點(diǎn)D、E.13如圖，在川心？中，AB0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.將一個(gè)2020 x2020方格表的每個(gè)小方格染黑、白兩種顏色之一，滿足以下條件：方

4、格表中的任意一個(gè)小方格，它所在的行與列的所有小方格中，與/異色的小方格多于與/同色的小方格證明：染色后，方格表中每行、每列兩種顏色的小方格一樣多.2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建賽區(qū)）預(yù)賽暨2020年福建省高中數(shù)學(xué)競賽試卷參考答案（考試時(shí)間：2020年6月27日上午9：00-11：30,滿分160分）一、填空題（共10小題，每小題6分，滿分60分請直接將答案寫在題中的橫線上）1.已知復(fù)數(shù)三滿足|z-l|=|z-/|,若一三為止實(shí)數(shù)，則三=【答案】2+2/=(x-l)+.v+5(.丫_1)_詞(x-)2+x2【解答】山|二一1|=|二一/|=(x-l)+.v+5(.丫_1)_詞(x-)2+x2o

5、il-=z-l+=x+x/-l+-二一1二一1X+X/-1=(.v-l)+5(x-l)(x-l)2+x25x(x_l)2+x2心甘皿實(shí)數(shù)，知（-）+需+0,占寸解彳所1以，r=2+2z.2.已矢2.已矢|l/(x)=3cos(ex+0)(0|儼|兀），若/（羋20,/（學(xué)）=3,11./（對的Oo最小正周期大丁最小正周期大丁2兀則卩11兀【答案】12【解答】ill/()=()f()=3ft/-inkeZ.TOC o 1-5 h z?-r41另山fW的最小止周期大于2兀tftjIn.069I.于是,0-(2m-k)co32丄2m-kdilldi,keZ得2m-k=14lbr?211lbr【人I此

6、，q=二.將。=二代入(o+(p=2ni7t(ineZ)W(p=2jji7t5wZ)結(jié)?3812的11兀7r9rx=12已知珂表示不超過x的彼大桀數(shù)，集tA=xZ?=.r|2.v2-3.v-5=0,貝Ij/C.【答案】【解答】易知(-2,3),【解答】易知(-2,3),ixA,則x=-2一l,(),1.2、lx=-2時(shí)，若.丫w3,則2.v:+6-5=0,x不存/l當(dāng)x=_l時(shí),若XW”，則2x2+3-5=0,x=1.x=l不符合要求,x=-l符合要求.、la-、la-=0時(shí)，林xwB,Wij2x2-0-5=0,、二】0,均不符合要求.z2,均不符介要求.為x=2時(shí)，z2,均不符介要求.為x=

7、2時(shí)，VixeB.則2x2-6-5=0,.Y=土互.X=至符介要求，.至不222符介耍求.所以AfB所以AfB=已知函數(shù)/是定義在人上的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x,都仃/(x+l)=/(l-x)成立,當(dāng)1x2時(shí)，/(.v)=Inx.若關(guān)J：.V的方/(.v)+ax-1=0在xw3,5I*.網(wǎng)個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c的取值范用為.【答案】0丄A15J【解答】如圖，分別作出函數(shù)py=f(a)丄Jy=-ax+1的圖像，其中-P(0l),6(-,0).a-1012345GX山圖像可Sn,仏=丄，即(第4題答題圖)0l|bJ,兩函數(shù)圖像在.0方0）的左、右焦點(diǎn)，過E的肛線/交雙曲線C的右支于X、B兩點(diǎn),IIA

8、F.AFO,F2B+2F2A=09則雙曲線C的離心率為.【答案】【解答】如圖，設(shè)AF2=t,則依題意旬刃訂=力，|肋|=3，|礎(chǔ)|=2+八|眄|=2a+2F.山祈廷=0,知/斥丄月/所以,I舫r+i；r=i衲AFl2+AB2=FlB2訕(2+/)+，3.解得,(2a+t)2+f=(2+2川TOC o 1-5 h zx/17!=a,c=a3I人I此，離心率e=.在以凸|八邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，任取一個(gè)三角形，則所取的三角形與該I八邊形無公共邊的概率為.【答案】136【解答】以凸丨八邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的二角形個(gè)數(shù)為G；.對尸凸I八邊形的任意個(gè)頂點(diǎn)要作為與凸邊I八形無公共邊的三角形的-個(gè)頂點(diǎn)

9、，則二角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)p、c不能為頂點(diǎn)川在凸I八邊形中的兩條邊的另外兩個(gè)頂點(diǎn),只能是1L它15個(gè)頂點(diǎn)屮的不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，共冇（；：-14種不同的選収方法.所以，9原凸I-八邊形無公共邊的三角形的個(gè)數(shù)為7X18X（C,25-14）.因此，所求的概率為-x!8x(C-14)91136557.如圖.在匸方體ABCD-ACp,中，點(diǎn)F、G分別在棱側(cè)、/“、D.C,I：,E為AA.中點(diǎn)，竺=笑=丄記屮|（|EFG*jT:Ifll4即Q的交線為八則（L線wUT:IfllDXADXCX3ABCD所成角的iF切值為【答案】35858【解答】如圖，設(shè)4Z）.F的交點(diǎn)為八延長GF、4交J：點(diǎn)Q則PQ為平面EF

10、G與平血Afi.CD的交線為m.不妨設(shè)正方體棱長為3,D.FDfi3AQ=AXF=2知，（第7題圖）作PH1ADJ=H,則皿丄平Iftl,連結(jié)07,則ZPQH就是I工線尸0與平而A、BGD所成的角.設(shè)PH則倂f山欝嘖是，QI12=QA;+AJI1=224-(y)2,QII=-所以,tanZ?(/=QH3x5858（第7題答題圖）111平IfllABCD/平Ifll耳CQ知,在線PQf亍平面4巧3、平血敘Q所成角相等所以，直如與平面M3所成角的正切值為警.8.己知o、b、c.為正數(shù).ILf/+20A=c+2（W=2,則丄+丄的最小值為abed【答案】字【解答】由條件知,。宀存如僉篤吟噲.所以,丄

11、+丄二+込丄丄+竺）（卄20方）（40】+叱型聚abedah2ah2abrfOb20c)_44120b20為L僅c=2(WL=,HPa=A=-ab21所以，丄+丄的放小值為巴.abed2山鶴時(shí)等號成立.已知實(shí)數(shù)加滿足:當(dāng)關(guān)于X的實(shí)系數(shù)元二次方程亦+&T+C有實(shí)根時(shí),(a-b)2+(b-c)2+(c-7):ma2總成工，則加的最大flT.為【答案】-8【解答】設(shè)“=(匕上(二匚,英中4、b、。為實(shí)數(shù)，。工0.a當(dāng)方程ax2+bx+cO有實(shí)根時(shí),設(shè)軋兩根為旺、耳山韋達(dá)定理知,bcX+Xy=，XXy=,aaJ是.(a-Z)2+(/)-c)2+(c-)2fb2bc、2qzn=；=(1)+()+(I)a

12、aaaa=(1+勺+兀)+(兀一*2-勺丫2y+(兀勺-I)2=2(X；+A；+l)(x；+x2+1)、3392xx=.TOC o 1-5 h z48ioill僅H|Jp)，則f(n)=+p+(j=+p(mod/),/(2(l+p)(modq)illp(in,知g()=+上為g的倍數(shù)，g()三0(modq)J：是，(l+/?)3三0(modq)P山q為素?cái)?shù)知I，q|l+“.J：是，pc+p,符介條件的素?cái)?shù)“、q只有p=2,q=3.又p=2,7=3時(shí),/()=6,gGO=,illg()=/*()得=6s,n=144.經(jīng)驗(yàn)證=】44符合耍求.所以，”的所仃町能值為=I44.解法二：若”是奇數(shù),則n

13、的世約數(shù)都是奇數(shù),山/()與g)的定義知f()為奇數(shù),g()為偶數(shù)，故”不滿足條件.因此只需考慮”是偶數(shù)的情況，此時(shí)1、2是”的最小的兩個(gè)止約數(shù)，上是”的最大的兩個(gè)正約數(shù).設(shè)d是”的第三小的lK約數(shù)，則/(”)=1+2+d=d+3,g(n)=”+弓=3彳，丿0以，3#=(+3)，從而,(3d)y=30(m(xi3)F是,3d,這樣丹的第三小的止約數(shù)只能是3此時(shí)/(”)=6，故3-=63,U|Iw=144.2因此的所有可能值為n=144.解答題（共5小題，每小題20分，滿分100分要求寫出解題過程）已知數(shù)列?！睗M足竹=1,a2=59%2=他+i（“”）（1）求數(shù)列%的通項(xiàng)公式：設(shè)$=一，7；是數(shù)

14、列的前”項(xiàng)的和，求證:Tn2時(shí),a=（b0)的離心率為丄，右焦點(diǎn)尸到1T.線x-v+2=0的/V2距離為2近,4、4分別為橢闘C的左、右頂點(diǎn)求橢圜c的方程:過點(diǎn)F的直線/交橢圓C-A.B兩點(diǎn)(點(diǎn)力在x軸上方),卩為直線如4、曲的交點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)7的縱坐標(biāo)為6石時(shí)，求IT線/的方程【解答】(1)山右焦點(diǎn)F(c【解答】(1)山右焦點(diǎn)F(c,0)到直線x-y+2=0的亞離為2近,=2x/2.結(jié)ioO,得c=2乂橢陰的離心率為W此，=2e=4b=2.7所以,橢圓C的方程為-4-=1612(2)解法一：如圖，易知化線/斜率不為所以,橢圓C的方程為-4-=1612(2)解法一：如圖，易知化線/斜率不為0,設(shè)廠方程

15、為X=mv+2x=my+2v2v2,得(3r+4)V2+12wv-36=0+=11612方程的判別式(),冇兩個(gè)不相等的實(shí)根.設(shè)/i(X，H),(丫2，兒)，則Jy】+)2=訕兒“2=訕二設(shè)口/,6館).山4、A.廠共線得，墜二2=21二9,即llH1.(第12題答題圖)/+4X+4“4=6石（“+4）=6石仙+仝）,11山払、7*共線得，朋-=212,即/-4x2-4z_4=6A.v;-4)=6(w_A)TOC o 1-5 h z兒兒10分（/+4）-3（/一（/+4）-3（/一4）=6y/3（m+-3m+）=6命（一2也+6：、）=6/J（-27+6匚）=027】兒一36山11匕町得,/=

16、815分所以，門46館)，直線/方程為y=(x+4),與MMC的方稈丄+二=1聯(lián)“得21612/(0,2后所以,.1工線4F方程即直線/方程為y=-命x+2/?,即VJx+y-2命=020分解法二：如圖，易知宜線/斜率不為()，設(shè)/方程為x=w+2(3解法二：如圖，易知宜線/斜率不為()，設(shè)/方程為x=w+2(3廠+4)y2+12wv-36=0 x=my+2山彳X2V2，W+=11612方程的判別AAo,有兩個(gè)不相等的實(shí)根.設(shè)心必),B(x2,設(shè)心必),B(x2,y2),則y+y2=-12m3+4一363滬+4設(shè)T(t,6/3).山岀、設(shè)T(t,6/3).山岀、A.T共線得，理二2=21二V,

17、|1|J6a/s(x.+4)/T.6/+4=6丁3(/).山4、R、廠其線得，仝二2=21二2,即/-4y2-4一6鳳-J屈22聯(lián)立兩式消f,W-8=6/3(+),+丄=二312123(310分所以,3|1二所以,3|1二(”+兒)+2兒_2)y2)y23運(yùn)一12m宀2-36;2v7=尸x；3+43/33廠+41515分-18加+4巧代入兒比=一363/+4得r滬春,解得，”占所以,11線/方程為v+2H|Ja/Jx+j-2/3=0.20代入兒比=一363/+4得r滬春,解得，”占所以,11線/方程為v+2H|Ja/Jx+j-2/3=0.20分y=k(x-2)ill丫22,得(3+42川2_1

18、6斤2兀+16/_48=0+=1161216,3+4疋16，-4R3+4疋的判別式=576(，+i16,3+4疋16，-4R3+4疋設(shè)J（Xj,y）,B（x2,y2）,則x,+x2=山勺、a.r共線待也二即“4二迢也嘰、共線得學(xué)產(chǎn)器仙亠警于/+4a*.+4k(X2)嘰、共線得學(xué)產(chǎn)器仙亠警于10分隔(“半(笫一3孝)=半弋爲(wèi)害嚴(yán)山一2斗斗+10（斗+斗）一32=-2乂“一?+10=（x+4）,與橢闘C的方程+=1聯(lián)立得121612/（0.2巧）所以，flfftAF方程即11纟戈/方用為y=-/3x+2/3,U|Jy/x+y-2/3=020分MN（第13題圖）VN（第13MN（第13題圖）VN（第

19、13題答題圖）15分如圖，在/IBC中,AB0恒成工，求實(shí)數(shù)a的取值范I札【解答】/(X)=(2.v+a-l)er+卜，+(a-l).v+1ex=(x+1)(.r+a)ex.設(shè)g(x)=x2+(a-l).r+1.當(dāng)一時(shí)，方程r+(a)x+i=o的判別式=(a1)2-450,此時(shí)g(x)0恒成立,f(.v)+e2=g(.v)ex+e2e20恒成立.5分當(dāng)a3U寸，xv-a或丫一1時(shí)，f(x)0:-avxv-l時(shí)，f(x)0,/(.r)4-e20成71.半x-a時(shí)，/(x)的皿小值為/(-l)=(3-a)el.ill/(.v)+e20恒成工知，(3-6/)e_1+e20,ae3+3.Wilt,3aSe十3.10分當(dāng)。一111寸，“一11寸，廠(x)()；-lx-aIbj,fXx)(rj-l)x0,f(x)+e20JjK立.當(dāng)x-l時(shí),/(.v)的最小值為f(-a).山/(