2022-2023年度 名師 《解三角形》章末總結(jié)

1、PAGE16人教A版必修五第一章解三角形章末復(fù)習(xí)知識(shí)梳理1正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圓半徑2余弦定理：（1）形式一：，形式二：，（角到邊的轉(zhuǎn)換）ABC=absinC=bcsinA=acsinB,S=SrS=,r為內(nèi)切圓半徑=R為外接圓半徑4在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然5射影定理：a=bcosCccosB,b=acosCccosA,c=acosBbcosA6三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式1sinAB=sinC,cosAB=-cosC,tanC=-tanAB,cos=sin,sin=cos在ABC中，熟記并會(huì)證明tanAtanBtanC=tanAtanBtanC;2A、B、C成等差數(shù)列的充要條件

2、是B=60；3ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列7解三角形常見的四種類型1已知兩角A、B與一邊a,由ABC=180及=，可求出角C，再求b、c2已知兩邊b、c與其夾角A，由a2=b2c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C3已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C4已知兩邊a、b及其中一邊的對(duì)角A，由正弦定理=，求出另一邊b的對(duì)角B，由C=-AB，求出c，再由=求出C，而通過=求B時(shí)，可能出一解，兩解或無解的情況，其判斷方法，如下表：A90A=90Ab一解一解一解a=b無解無解一解absinA兩解無解無解a=bsinA一解absinA

3、無解8用向量證明正弦定理、余弦定理，關(guān)鍵在于基向量的位置和方向9三角形的分類或形狀判斷的思路，主要從邊或角兩方面入手專題一：正、余弦定理的應(yīng)用1正弦定理主要有兩個(gè)方面的應(yīng)用：1已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計(jì)算出三角形的第三個(gè)角，由正弦定理可以計(jì)算出三角形的另兩邊；2已知三角形的任意兩邊和其中一邊的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理，可以計(jì)算出另一邊的對(duì)角的正弦值，進(jìn)而確定這個(gè)角和三角形其他的邊和角2余弦定理有兩方面的應(yīng)用：1已知三角形的兩邊和它們的夾角可以由余弦定理求出第三邊，進(jìn)而求出其他兩角；2已知三角形的三邊，利用余弦定理求出一個(gè)角，進(jìn)而求出其他兩角例1（2022江西卷17）（本

4、小題滿分12分）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，求及例2（2022北京理）在中，角的對(duì)邊分別為，。（）求的值；（）求的面積1（2022上海文數(shù)）18若的三個(gè)內(nèi)角滿足，則（A）一定是銳角三角形（B）一定是直角三角形（C）一定是鈍角三角形（D）可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形2（2022天津理數(shù)）（7）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，則A=（A）（B）（C）（D）3（2022全國(guó)二17）（本小題滿分10分）在中，（）求的值；（）設(shè)的面積，求的長(zhǎng)專題二：正、余弦定理、三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用例3在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若（）判斷ABC的形狀；（）若的值例4

5、（2022浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，（I）求的面積；（II）若，求的值4（2022岳陽一中第四次月考）已知中，則（）ABCD或52022年安徽ABC的面積是30，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，cosAeqf12,131求eqoAB,sup6eqoAC,sup6；2若cb1，求a的值專題三：三角形面積例5在中，,求的值和的面積。6（2022遼寧卷17）（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積專題四：解三角形的實(shí)際應(yīng)用正弦定理、余弦定理在實(shí)際生產(chǎn)生活中有著非常廣泛的應(yīng)用常見題有距離問題、高度問題、角度問題

6、以及求平面圖形的面積問題等解決這類問題時(shí)，首先要認(rèn)真分析題意，找出各量之間的關(guān)系，根據(jù)題意畫出示意圖，將要求的問題抽象為三角形模型，然后利用正、余弦定理求解，最后將結(jié)果還原為實(shí)際問題eq實(shí)際問題eqo,sup7抽象,sdo5概括eq解三角形問題eqo,sup7推理,sdo5演算eq三角形問題的解eqo,sup7還原,sdo5說明eq實(shí)際問題的解例5：如圖，ACD是等邊三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2（）求的值；（）求例6：（2022遼寧卷理）如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的

7、仰角分別為，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，）7如圖3，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos的值圖38如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)與現(xiàn)測(cè)得，并在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，求塔高本章思維總結(jié)1解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由ABC=求C，由正弦定理求a、b；

8、（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用ABC=，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由ABC=求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由ABC=，求角C。2三角學(xué)中的射影定理：在ABC中，3兩內(nèi)角與其正弦值：在ABC中，4解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來幫助理解”。答案：例題1解：由得，又由得即由正弦定理得例2【解析】本題主要考查三角形中的三角函數(shù)變換及求值、誘導(dǎo)公式、

9、三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，主要考查基本運(yùn)算能力解（）A、B、C為ABC的內(nèi)角，且，（）由（）知，又，在ABC中，由正弦定理，得ABC的面積1解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得，所以角C為鈍角2【答案】A【解析】本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題。由由正弦定理得，所以cosA=，所以A=300【溫馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運(yùn)算或?qū)⒔腔癁檫呥\(yùn)算。3解：（）由，得，由，得所以5分（）由得，由（）知，故，8分又，故，所以10分例3解：（I）即為等腰三角形（II）由（I）知例4解（1）因?yàn)?，又由得，?）對(duì)于，又，或，由余弦定理得

10、，4答案C5思維突破：1根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，由cosAeqf12,13得sinA的值，再根據(jù)ABC面積公式得bc156；直接求數(shù)量積eqoAB,sup6eqoAC,sup62由余弦定理a2b2c22bccosA，代入已知條件cb1及bc156，求a的值解：由cosAeqf12,13，得sinAeqr1blcrcavs4alco1f12,132eqf5,13又eqf1,2bcsinA30，bc1561eqoAB,sup6eqoAC,sup6bccosA156eqf12,131442a2b2c22bccosAcb22bc1cosA12156eqblcrcavs4alco11f12,1325a5例

11、5解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,。解法二：由計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式的值。=1*GB3,=2*GB3=1*GB3=2*GB3得。=1*GB3=2*GB3得。從而。以下解法略去。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡(jiǎn)單呢？6本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力滿分12分解：（）由余弦定理及已知條件得，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得4分聯(lián)立方程組解得，6分（）由題意得，即，8分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，所以的面積12分例5：解：（）因?yàn)樗裕ǎ┰谥?，故由正弦定理得故?解:在ABC中，DAC=30,ADC=60DAC=30,所以CD=AC=又BCD=1806060=60，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為0.33km。點(diǎn)評(píng)：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低，對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識(shí)、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。圖37解：在ABC中，AB40