天體運動的“四類熱點”問題

1、專題強化五 天體運動的“四類熱點”問題【專題解讀】1本專題是萬有引力定律在天體運行中的特殊運用，同步衛(wèi)星是與地球表面相對 靜止的衛(wèi)星；而雙星或多星模型有可能沒有中心天體，近年來常以選擇題形式在高考題中出現(xiàn) 2學(xué)好本專題有助于學(xué)生更加靈活地應(yīng)用萬有引力定律，加深對力和運動關(guān)系的理解 3需要用到的知識：牛頓第二定律、萬有引力定律、圓周運動規(guī)律等熱點一近地衛(wèi)星、同劣衛(wèi)星和赤道上物體的運行問題1 衛(wèi)星的軌道赤道軌道：衛(wèi)星的軌道在赤道平面內(nèi)，同步衛(wèi)星就是其中的一種極地軌道：衛(wèi)星的軌道過南、北兩極，即在垂直于赤道的平面內(nèi)，如極地氣象衛(wèi)星其他軌道：除以上兩種軌道外的衛(wèi)星軌道所有衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球

2、心2同步衛(wèi)星問題的“四點”注意(1)(1)基本關(guān)系：GMMmV2=ma=m=mrm2r4n2=mT2 r重要手段：構(gòu)建物理模型，繪制草圖輔助分析物理規(guī)律：不快不慢：具有特定的運行線速度、角速度和周期.不高不低：具有特定的位置高度和軌道半徑.不偏不倚：同步衛(wèi)星的運行軌道平面必須處于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的點 運行重要條件：地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，其自轉(zhuǎn)周期為1天(24小時)，地球半徑約為6.4X103 km,地球表 面重力加速度g約為9.8 m/s2.月球的公轉(zhuǎn)周期約 27.3天，在一般估算中常取27天.人造地球衛(wèi)星的運行半徑最小為r=6.4X 103 km,運行周期最小為T=84.8

3、 min,運行速度 最大為 v=7.9 km/s.兩個向心加速度衛(wèi)星繞地球運行的向心加速度物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度產(chǎn)生原因由萬有引力產(chǎn)生由萬有引力的一個分力(另一分 力為重力)產(chǎn)生方向指向地心垂直且指向地軸大小a=GM(地面附近a近似等于g)a=rm2, r為地面上某點到地軸 的距離，為地球自轉(zhuǎn)的角速 度特點隨衛(wèi)星到地心的距離的增大而減小從赤道到兩極逐漸減小兩種周期自轉(zhuǎn)周期是天體繞自身某軸線轉(zhuǎn)動一周所需的時間，取決于天體自身轉(zhuǎn)動的快慢公轉(zhuǎn)周期是運行天體繞中心天體做圓周運動一周所需的時間，T=2n 舖，取決于中心 天體的質(zhì)量和運行天體到中心天體的距離例1 (2019安徽宣城市第二次模擬)有a、

4、b、c、d四顆地球衛(wèi)星，衛(wèi)星a還未發(fā)射，在地球 赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動，衛(wèi)星b在地面附近近地軌道上正常運動，c是地球同步衛(wèi)星，d 是高空探測衛(wèi)星，各衛(wèi)星排列位置如圖 1，則有( )圖1Aa 的向心加速度等于重力加速度 gBb 在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最長nc在4 h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是6d的運動周期有可能是20 h答案 B解析 同步衛(wèi)星的周期、角速度與地球自轉(zhuǎn)周期、角速度相同，則知a與c的角速度相同， 根據(jù)afr知，c的向心加速度大于a的向心加速度由二mg，解得：g二呼，衛(wèi)星 的軌道半徑越大，向心加速度越小，則c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加 速度約為g ,則a的向心加速度小于重力加

5、速度g ,故A錯誤；由GMm = m2，解得：v二 r2r，衛(wèi)星的半徑r越大，速度v越小，所以b的速度最大，在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最 長，故B正確；c是地球同步衛(wèi)星，周期是24 h ,貝比在4 h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是24x4二3，故 C錯誤；由開普勒第三定律T!二k可知：衛(wèi)星的半徑r越大，周期T越大，所以d的運動周期大于c的周期24 h，即不可能是20 h ,故D錯誤.r變式1】(多選)(2019甘肅蘭州市第一次診斷)中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球 衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，是繼美國全球定位系統(tǒng)(GPS)、俄羅斯格洛納斯衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)、歐洲伽利略衛(wèi) 星導(dǎo)航系統(tǒng)之后第四個成熟的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng).2018年1

6、2月27日北斗三號基本系統(tǒng)完成建設(shè)， 即日起提供全球服務(wù)在北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，有5 顆地球靜止軌道衛(wèi)星，它們就好像靜止 在地球上空的某一點對于這5 顆靜止軌道衛(wèi)星，下列說法正確的是( )它們均位于赤道正上方它們的周期小于近地衛(wèi)星的周期它們離地面的高度都相同它們必須同時正常工作才能實現(xiàn)全球通訊答案 AC解析 所有地球靜止軌道衛(wèi)星的位置均位于赤道正上方，故A項正確；地球靜止軌道衛(wèi)星的 軌道半徑大于近地衛(wèi)星的軌道半徑，據(jù)開普勒第三定律知，地球靜止軌道衛(wèi)星的周期大于近 地衛(wèi)星的周期，故B項錯誤；據(jù)GMm二m(T)2r知，地球靜止軌道衛(wèi)星的軌道半徑相同，離 地面的高度相同，故C項正確；同步衛(wèi)星離地高度較

7、高，有三顆地球靜止軌道衛(wèi)星工作就能 實現(xiàn)全球通訊，故D項錯誤.詡點二衛(wèi)星變軌和能冒問題1 . 變軌原理為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道I上.如圖2所示.圖2在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供衛(wèi)星在軌道I上做圓周運 動的向心力，衛(wèi)星做離心運動進(jìn)入橢圓軌道II.在B點(遠(yuǎn)地點)再次點火加速進(jìn)入圓形軌道III.2. 變軌過程分析速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道I和III上運行時的速率分別為冬，在軌道II上過A點和B點時 速率分別為vA、B.在A點加速，則vAV,在B點加速，則v3vB，又因v1v3,故有vAv1v3vB.加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故

8、不論從軌道I還是軌道II上經(jīng)過A點， 衛(wèi)星的加速度都相同，同理，衛(wèi)星在軌道II或軌道III上經(jīng)過B點的加速度也相同.周期：設(shè)衛(wèi)星在I、11、III軌道上的運行周期分別為TT2、T3,軌道半徑分別為s r2(半r3長軸)、r3，由開普勒第三定律元=幺可知ttt3.機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒.若衛(wèi)星在I、II、III軌道的機械能分 別為 E、E2、E3，則 E1E2E3.例2】(2019遼寧大連市第二次模擬)2018年12月12日在北京飛控中心工作人員的精密 控制下，“嫦娥四號”開始實施近月制動，成功進(jìn)入環(huán)月圓軌道I.12月30日成功實施變軌， 進(jìn)入橢圓著陸軌道II，為下一步月

9、面軟著陸做準(zhǔn)備.如圖3所示,B為近月點,A為遠(yuǎn)月點.關(guān) 于“嫦娥四號”衛(wèi)星，下列說法正確的是()圖3衛(wèi)星在軌道II上A點的加速度大于在B點的加速度衛(wèi)星沿軌道I運動的過程中，衛(wèi)星中的科考儀器處于超重狀態(tài)衛(wèi)星從軌道I變軌到軌道II,機械能增加衛(wèi)星在軌道II經(jīng)過A點時的動能小于在軌道II經(jīng)過B點時的動能答案 D解析 根據(jù)萬有引力提供向心力有:G詈二ma，點距月心更近，所以加速度更大,A錯誤；在軌道I運動的過程中，萬有引力全部提供向心力，所以處于失重狀態(tài)，B錯誤；衛(wèi)星從高 軌道變軌到低軌道，需要點火減速，近心運動到低軌道，所以從軌道I變軌到軌道II，外力 做負(fù)功，機械能減小，C錯誤；從A點到B點，萬有

10、引力做正功，動能增大，所以B點動能 大，D正確.1變式2】(2019山東濰坊市二模)如圖4所示，繞月空間站繞月球做勻速圓周運動，航天飛機 僅在月球引力作用下沿橢圓軌道運動，M點是橢圓軌道的近月點，為實現(xiàn)航天飛機在M點與 空間站對接，航天飛機在即將到達(dá)M點前經(jīng)歷短暫減速后與空間站對接.下列說法正確的是()圖4航天飛機沿橢圓軌道運行的周期大于空間站的周期航天飛機在對接前短暫減速過程中，機內(nèi)物體處于完全失重狀態(tài)航天飛機與空間站對接前后機械能增加航天飛機在對接前短暫減速過程中機械能不變答案 A解析 因航天飛機沿橢圓軌道運行的半長軸大于空間站運動的圓軌道半徑，根據(jù)開普勒第三 定律可知，航天飛機沿橢圓軌道

11、運行的周期大于空間站的周期，選項A正確；航天飛機在對 接前接近月球的短暫減速過程中，加速度方向背離月球，則機內(nèi)物體處于超重狀態(tài)，選項B 錯誤；航天飛機與空間站對接前后因速度不變，則機械能守恒，選項C錯誤；航天飛機在對 接前短暫減速過程要克服阻力做功，則機械能減小，選項D錯誤.r變式3 （多選）（2019湖南婁底市下學(xué)期第二次模擬）如圖5所示，設(shè)地球半徑為人，假設(shè)某地球衛(wèi)星在距地球表面高度為h的圓形軌道I上做勻速圓周運動，運行周期為廠，到達(dá)軌道 的A點時點火變軌進(jìn)入橢圓軌道II,到達(dá)軌道的近地點B時，再次點火進(jìn)入近地軌道III繞地 球做勻速圓周運動，引力常量為G,不考慮其他星球的影響，則下列說法

12、正確的是（）圖5該衛(wèi)星在軌道III上B點的速率大于在軌道II上A點的速率衛(wèi)星在圓軌道I和圓軌道III上做圓周運動時，軌道I上動能小，引力勢能大，機械能小衛(wèi)星從遠(yuǎn)地點A向近地點B運動的過程中，加速度變小地球的質(zhì)量可表示為4n2咚尹答案 AD解析 在軌道I上A點時點火減速變軌進(jìn)入橢圓軌道II ,所以在軌道I上A點速率大于在軌道II上A點的速率，在軌道III上B的速率大于在軌道I上A點的速率，即在軌道III上B點的速率大于在軌道II上A點的速率，故A正確；從軌道I到軌道III ,引力做正功，動能增加， 引力勢能減小，在A點和B點變軌過程中，發(fā)動機點火減速運動，則機械能減小，即在軌道 I上動能小，引力

13、勢能大，機械能大，故B錯誤；根據(jù)公式GMMm = ma可得a二乎，所以距 離地球越近，向心加速度越大，故從遠(yuǎn)地點到近地點運動過程中，加速度變大，故 C 錯誤； 在軌道I上運動過程中萬有引力充當(dāng)向心力故有二mg + h)解得M產(chǎn)(R + h)212GT2故 D 正確基礎(chǔ)考點/主悟透熱點三雙星或多星模型1基礎(chǔ)考點/主悟透熱點三雙星或多星模型1雙星模型(2)特點：各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即GmmGmm嚴(yán),r=m2r兩顆星的周期及角速度都相同，即T1 = T2, 1 = 2-兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1+r2=L.兩顆星到圓心的距離 r1、mrr2與星體質(zhì)量成反比，即m

14、2誘雙星的運動周期T=2n :L3G(m1+m2)雙星的總質(zhì)量m1+m2 =4n2L3T2G -2多星模型定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的 角速度或周期相同三星模型：三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為人的圓形軌道 上運行（如圖7 甲所示）三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上（如圖乙所示）.:M 1乙屮丙乙屮丙圖7（3）四星模型：其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道 做勻速圓周運動（如圖丙所示）.另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O

15、,外圍 三顆星繞 O 做勻速圓周運動（如圖丁所示）.例 3 （多選）（2018全國卷20）2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力 波.根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時，它們相距約400 km,繞二 者連線上的某點每秒轉(zhuǎn)動12圈.將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、 萬有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星（）質(zhì)量之積B.質(zhì)量之和C速率之和D各自的自轉(zhuǎn)角速度答案 BC解析 兩顆中子星運動到某位置的示意圖如圖所示每秒轉(zhuǎn)動 12 圈，角速度已知中子星運動時，由萬有引力提供向心力得Gmm1 2Gmm1 212-mrn2r1 G

16、mm1 212l = r1 + r2 由式得G働2）二2l，所以m1+m2G 質(zhì)量之和可以估算由線速度與角速度的關(guān)系v = rnr得v1二叭v2 二 er2 由式得匕+ v2二rn（r1 + r2）二ml，速率之和可以估算.質(zhì)量之積和各自自轉(zhuǎn)的角速度無法求解1變式4 （2019安徽A10聯(lián)盟開年考）宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此的萬有引 力作用，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動，稱為雙星系統(tǒng).由恒星A 與恒星B組成的雙星系統(tǒng)繞其連線上的O點做勻速圓周運動，如圖8所示.已知它們的運行 周期為廠，恒星A的質(zhì)量為恒星B的質(zhì)量為3M,引力常量為G,則下列判斷正確的是 （）圖8

17、圖8GMT2nGMT2n2A恒星A與恒星B的向心力大小之比為3 : 1恒星A與恒星B的線速度大小之比為1 ： 3恒星A與恒星B的軌道半徑之比為-羽:1 答案 A解析 兩恒星做勻速圓周運動的向心力來源于兩恒星之間的萬有引力，所以向心力大小相等，即喋rA二3M4Tn2rB ,解得恒星A與恒星B的軌道半徑之比為rA：rB = 3：1,故選項B、D錯誤；設(shè)兩恒星相距L，則rA + rB二L , rA二3L ,根據(jù)牛頓第二定律有：- G譽，解得L二寸GMT，選項a正確；由。寺r得，恒星A與恒星B的線速度大小之比為3 ： 1 ,選項C 錯誤.【變式5 （多選）如圖9,天文觀測中觀測到有三顆星位于邊長為l的

18、等邊三角形三個頂點上,并沿等邊三角形的外接圓做周期為T的勻速圓周運動.已知引力常量為G,不計其他星體對它們的影響，關(guān)于這個三星系統(tǒng)，下列說法正確的是()B某顆星的質(zhì)量為，4n2,33GTB某顆星的質(zhì)量為，4n2,33GT2C它們的線速度大小均為生畀D它們兩兩之間的萬有引力大小為9GT4答案 BDi _解析 軌道半徑等于等邊三角形外接圓的半徑，r二cos；。=咅1根據(jù)題意可知其中任意兩顆星對第三顆星的合力指向圓心，所以這兩顆星對第三顆星的萬有引力等大，由于這兩顆星到第三顆星的距離相同，故這兩顆星的質(zhì)量相同，所以三顆星的質(zhì)量一定相同，設(shè)為加，則有(A2G管cos 30。二mT*3/，解得m二3GT

19、，它們兩兩之間的萬有引力F = G二- 愕，故A錯誤，B、D正確；線速度大小為v二錯二爺會二害，C錯誤.9GT4T T 3 3T微點進(jìn)朋杲列天體的追及相遇問題能力爭點師生躲研1 相距最近 兩衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)方向相同,且位于和中心連線的半徑上同側(cè)時,兩衛(wèi)星相距最近,從運動關(guān)系 上，兩衛(wèi)星運動關(guān)系應(yīng)滿足(eAeB)t=2nn(n=l,2,3).2相距最遠(yuǎn) 當(dāng)兩衛(wèi)星位于和中心連線的半徑上兩側(cè)時，兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)，從運動關(guān)系上，兩衛(wèi)星運動關(guān) 系應(yīng)滿足(eAeB)t=(2nl)n(n= 1,2,3).例4】當(dāng)?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且三者幾乎排成一條直線時，稱之為“木星沖日”，2016 年 3 月 8 日出現(xiàn)了一

20、次“木星沖日”.已知木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽 近似做勻速圓周運動，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5 倍.則下列說法正確的是（）下一次的“木星沖日”時間肯定在2018年下一次的“木星沖日”時間肯定在2017年木星運行的加速度比地球的大木星運行的周期比地球的小答案 B解析 由T二2n 侖可知地球公轉(zhuǎn)周期珂二1年土星公轉(zhuǎn)周期T2二譏丟T11.18年設(shè)經(jīng)時間t，再次出現(xiàn)“木星沖日”，則有1t - e2t = 2n , 其中m1=jn ,2二竽，解得t1-1121 T12 T2年，因此下一次“木星沖日”發(fā)生在2017年，故A錯誤，B正確；設(shè)太陽質(zhì)量為M,行星質(zhì)量為m，軌道半徑為

21、r，周期為T,加速度為a.對行星由牛頓第二定律可得= ma =r2m4nZr，解得a = GM. T=2n%，由于木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍，T2r2GM因此，木星運行的加速度比地球的小，木星運行的周期比地球的大，故C、D錯誤.變式6 （多選）（2020山西太原市質(zhì)檢）如圖10,三個質(zhì)點a、b、c的質(zhì)量分別為mm2、M（M遠(yuǎn)大于m1及m2）,在萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時針方向做勻速圓a、b運動的周期之比為T : T =1 : 4ab從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線12次從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線14次答案 AD解析

22、 根據(jù)開普勒第三定律：周期的平方與半徑的三次方成正比，則as b運動的周期之比為1 ： 8 ,A對；設(shè)圖示位置ac連線與bc連線的夾角為en , b轉(zhuǎn)動一周（圓心角為2n）的時間為 t=Tb ,則 a、b 相距最遠(yuǎn)時：普 Tb-判二（n - 0） + n2n（n 二 0,1,2,3 ），可知 n6.75 , n 可取 7 ab個值；a b相距最近時：fTb-判二（2n -0） + m2n（m 二 0,l,2,3），可矢口mRB，所以A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量，故A錯誤；根據(jù)線速度與角速度的 mB RA關(guān)系有：eA二RA、vB二RB，因為角速度相等，半徑RARB ,所以A的線速度大于B的線速 度，

23、故B正確；又因為T二2n ,聯(lián)立可得周期為：T二2n 綸，所以總質(zhì)量M 定，兩星 m弋GM間距離L越大，周期T越大，故C錯誤，D正確.(2019山東濟(jì)寧市第二次摸底)設(shè)月球和地球同步通信衛(wèi)星都繞地球做勻速圓周運動，其軌 道半徑分別為rr2；向心加速度大小分別為aa2；環(huán)繞速度大小分別為vv2下列關(guān)系 式正確的是( )ria2C2v2 riD. a1r12=a2r22答案 D解析 根據(jù)萬有引力提供向心力dMMm = ma = 命,因為同步衛(wèi)星周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，小于月球公轉(zhuǎn)周期，所以r1r2 , a1a2 , A、B錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力二礙，所以冬二r2,C錯誤；根據(jù)dMm = ma

24、,所以ar2 = GM是定值，所以D正確.v2r1r2宜綜合提升癟(2019山西運城市5月適應(yīng)性測試)2018年5月21 日,我國成功發(fā)射了為探月任務(wù)執(zhí)行通 信中繼服務(wù)的“鵲橋”衛(wèi)星，并定點在如圖4所示的地月連線外側(cè)的位置上.“鵲橋”衛(wèi)星 在位置L2時，受到地球和月球共同的引力作用，不需要消耗燃料就可以與月球保持相對靜止， 且與月球一起繞地球運動.“鵲橋”衛(wèi)星、月球繞地球運動的加速度分別為a鵲、a 月，線速鵲月度大小分別為v鵲、v 月，周期分別為T鵲、T 月，軌道半徑分別為r鵲、r 月，下列關(guān)系正確的是 鵲 月鵲 月鵲 月()圖4AT TBa vD.-鵲二-月鵲 月r 3 r 3鵲月答案 C解析 因為“鵲橋”衛(wèi)星與月球一起繞地球運動，與月球保持相對靜止，所以周期相同：T鵲 二T月，A錯誤；對月球有：4n對月球有：4n2a曰二.r曰月T月2月對衛(wèi)星有：_ 對衛(wèi)星有：_ 4n2a鵲_r鵲鵲鵲T鵲2因為周期相同，所以a鵲a月,B錯誤；根據(jù)v_晉，周期相同，而衛(wèi)星的半徑大，所以衛(wèi)星線速度大，v鵲v月，C正確；因為周期相同，而半徑不同，且衛(wèi)星半徑大，所以鵲國,D錯誤.尸