多面體外接球半徑常見的種求法柯建華

1、多面體外接球半徑常見的5 種求法如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球. 有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn). 研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用.知識(shí)回顧：1、球心到截面的距離d 與球半徑 R及截面的半徑 r 有以下關(guān)系2、球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫3、球的表面積表面積S；球的體積 V4、球心一定在過多邊形（頂點(diǎn)均在球面上）

2、外接圓圓心且垂直此多邊形所在平面的垂線上方法一：公式法例 1 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn) 9，底面周長為，則這個(gè)球的體積都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為8.為3,6x1 ,x解設(shè)正六棱柱的底面邊長為，高為，則有 2 xh396xh, 3h 8431. 正六棱柱的底面圓2的半徑，球心到底面的距離d r22 4. .外接球的半徑22V1 rRd 球3 小結(jié)：本題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公222dr R式.（R-球的半徑； d-球心到球截面圓的距離，注意球截面圓通常是頂點(diǎn)在球上多邊形的外接圓； r- 頂點(diǎn)在球上多邊形的外接圓的半徑）方

3、法二：多面體幾何性質(zhì)法例 2已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為 16，則這個(gè)球的表面積是（）A.B.C.D.16322420解：設(shè)正四棱柱的底面邊長為，外接球的半徑為，則有，解得. 2164xx2 xR. 這個(gè)球的表面積是 . 選 C. 2222244 R6R2R 2 2 42 6,小結(jié)：本題是運(yùn)用“正四棱柱體（包括正方體、長方體）對(duì)角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.方法三：補(bǔ)形法例 3：若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積3 是 .解：據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長為的正方體，于是正方體的外接球就是三

4、棱錐的外接球 .392222. 設(shè)其外接球的半徑為，則有 293332R RR 4 故其外接球的表面積.9S 4 R 小結(jié)：一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為， c、a、b 則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，于是長方體的體對(duì)角線的長就是該三棱錐，則有設(shè)其外接球的半徑為 .的外接球的直徑222cb a R2RPC 兩兩垂直采用補(bǔ)形法PA、PB、方法四：尋求軸截面圓半徑法都在的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)4正四棱錐 例2D、C、S、AS 、ABCDB.同一球面上，則此球的體積為SDCO 1BA3 圖. 3 所示，如圖 解設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為OO1.由球的截面的

5、性質(zhì)，可得ABCD 平面 OO 1.所在的直線上， 球心又必在ABCD 平面 SO OSO11.外接圓的半徑就是外接球的半徑的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，ASC.中，由，得在2222SCAC 2，SAACSCSAASC .Rt 為斜邊的 AC 是以 ASC 4AC 故 .是外接圓的半徑， 也是外接球的半徑1V 球32 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的：小結(jié)本題提供的這種思路是探.一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.值得我們學(xué)習(xí)方法五：確定球心位置法折成一個(gè)直二面角，沿將矩形5在矩形中，例 3 4,BCABABCDABCDAC，則四面體的外接球的體積為D.A.B.C.36129 D COAB4 圖. 則由矩形對(duì)角線互相平分，可知，解：設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為OODOB OCOA 為四面體的外接球的球到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)點(diǎn)OOD、 BA 、C12545C. . 選故 . 外接球的半徑心，如圖 2 所示 . 3R VOAR球632 小結(jié)：若四面體或三棱錐的一條棱所對(duì)的兩個(gè)頂角都是直角，則利用直