線性代數(shù)第二講

1、上周內(nèi)容回顧 線性代數(shù)簡介。 引入二階行列式。 消元法求解二元線性方程組。 引入二階行列式的定義及對角線法則。 發(fā)現(xiàn)二元線性方程組求解的克拉默法則。 第一頁，共四十九頁。用消元法解二元線性方程組由消元法結(jié)果，引入二階行列式的定義第二頁，共四十九頁。主對角線副對角線對角線法則 (便于記憶)二階行列式的計算第三頁，共四十九頁。若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式發(fā)現(xiàn)二元線性方程組求解的克拉默法則第四頁，共四十九頁。則二元線性方程組的解為注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.發(fā)現(xiàn)二元線性方程組求解的克拉默法則第五頁，共四十九頁。例解第六頁，共四十九頁。本講主要內(nèi)容三階行列式的定義及對角線計算法則。 n 階

2、行列式的定義。 預(yù)備知識：全排列及其逆序數(shù)。 基于排列奇偶性的n 階行列式的定義。第七頁，共四十九頁。三階行列式第八頁，共四十九頁。用消元法解三元線性方程組第九頁，共四十九頁。方程組的解為由方程組的系數(shù)確定。第十頁，共四十九頁。三階行列式之定義定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.第十一頁，共四十九頁。 列標行標第十二頁，共四十九頁。注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式三階行列式的計算對角線法則第十三頁，共四十九頁。 說明2 三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負.第

3、十四頁，共四十九頁。 如果三元線性方程組的系數(shù)行列式 利用三階行列式求解三元線性方程組-克拉默法則第十五頁，共四十九頁。若記或第十六頁，共四十九頁。記即第十七頁，共四十九頁。第十八頁，共四十九頁。得第十九頁，共四十九頁。得第二十頁，共四十九頁。則三元線性方程組的解為:第二十一頁，共四十九頁。誰第一個發(fā)現(xiàn)、提出了行列式的概念？第二十二頁，共四十九頁。G. Leibniz (1646-1716),德國哲學家、數(shù)學家、科學家第二十三頁，共四十九頁。G. Leibniz (1646-1716),德國哲學家、數(shù)學家、科學家 獨立地發(fā)明了微積分，與牛頓齊名。 發(fā)明了微積分的符號，沿用至今。 發(fā)明了二進制數(shù)

4、，奠定了現(xiàn)代計算機技術(shù)的基礎(chǔ)原理。 著述極豐：數(shù)學，物理學，政治學，法學，倫理學，神學，歷史，哲學，語言學。 17世紀西方三大理性主義者之一。第二十四頁，共四十九頁。例 解按對角線法則，有第二十五頁，共四十九頁。例解方程左端第二十六頁，共四十九頁。例 解線性方程組解由于方程組的系數(shù)行列式第二十七頁，共四十九頁。同理可得故方程組的解為:第二十八頁，共四十九頁。小結(jié)第二十九頁，共四十九頁。 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的。 二階與三階行列式的計算對角線法則。第三十頁，共四十九頁。 習題 pp. 25-6: 1 (2) (3)第三十一頁，共四十九頁。預(yù)備知識：全排列及其逆序數(shù)第三十

5、二頁，共四十九頁。概念的引入引例用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解1 2 3123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法種放法.共有第三十三頁，共四十九頁。全排列及其逆序數(shù)問題定義把 個不同的元素排成一列，叫做這 個元素的全排列（或排列）. 個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用 表示.由引例同理第三十四頁，共四十九頁。 在一個排列 中，若數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.例如 排列32514 中， 定義 我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序, n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序.排列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序第三十五頁，共四十九頁。定義 一個排

6、列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.排列的逆序數(shù)第三十六頁，共四十九頁。計算排列逆序數(shù)的方法方法1分別計算出排在 前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出 這 個元素的逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性第三十七頁，共四十九頁。分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).方法2例 求排列32514的逆序數(shù).解在排列32514中,3排在首

7、位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為1;第三十八頁，共四十九頁。3 2 5 1 4于是排列32514的逆序數(shù)為5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;1的前面比1大的數(shù)有3個,故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個,故逆序數(shù)為1;第三十九頁，共四十九頁。全排列及其逆序數(shù)小結(jié)第四十頁，共四十九頁。2 排列具有奇偶性.1 個不同的元素的所有排列種數(shù)為第四十一頁，共四十九頁。 習題 p. 26: 2 (6) 第四十二頁，共四十九頁。n 階行列式的定義第四十三頁，共四十九頁。概念的引入三階行列式說明（1）三階行列式共有 項，即 項（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積第四十四

8、頁，共四十九頁。（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標排列例如列標排列的逆序數(shù)為列標排列的逆序數(shù)為偶排列奇排列第四十五頁，共四十九頁。n 階行列式的定義定義第四十六頁，共四十九頁。第四十七頁，共四十九頁。說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、 階行列式是 項的代數(shù)和;3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 個元素的乘積;4、 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆;5、 的符號為第四十八頁，共四十九頁。內(nèi)容總結(jié)上周內(nèi)容回顧?；谂帕衅媾夹缘膎 階行列式的定義。（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.。三階行列式的計算對角線法則。G. Leibniz (1646-1716),德國哲學家