復(fù)變函數(shù)論課件：7-1 解析變換的特性

1、 第七章 共形映射 1解析變換的特性 2分式線性變換 3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射 4關(guān)于共形映射的黎曼存在定理和邊界對應(yīng)定理7.1 解析變換的特性(共形映射)7.1.1 解析變換的保域性7.1.2 解析變換的保角性7.1.3 解析變換的保形性 定理7.1 (保域定理)設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)也是一個區(qū)域.證 首先證明G的每一點都是內(nèi)點.設(shè)w0G,則有一點z0D,使w0=f(z0).要證w0是G的內(nèi)點,只須證明w*與w0充分接近時,w*亦屬于G,即當(dāng)w*與w0充分接近時,方程w*=f(z)在D內(nèi)有解.為此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0

2、-w*,)由解析函數(shù)零點的孤立性,必有以z0為心的某個圓C:|z-z0|=R,顯然 f(z0)-w0=0,使得f(z)-w0在C上及C的內(nèi)部(除z0外)C及C的內(nèi)部全含于D,均不為零.因而在C上:7.1.1解析變換的保域性內(nèi)的點w*及在C上的點z有因此根據(jù)儒歇定理6.10,在C的內(nèi)部與f(z)-w0有相同零點的個數(shù).于是w*=f(z)在D內(nèi)有解.由于D是區(qū)域,可在D內(nèi)部取一條聯(lián)結(jié)z1,z2的折線C:z=z(t) t1tt2,z(t1)=z1,z(t2)=z2.于是：就是聯(lián)結(jié)w1,w2的并且完全含于D的一條曲線.從而,參照柯西積分定理的古莎證明第三步,可以找到對在鄰域其次,要證明G中任意兩點w1

3、=f(z1),w2=f(z2)均可以用一條完全含于G的折線聯(lián)結(jié)起來.一條連接w1,w2,內(nèi)接于 且完全含于G的折線1證: 因f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉,必f(z)在D內(nèi)不恒為常數(shù).總結(jié)以上兩點,即知G=f(D)是區(qū)域.定理7.2 設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則D的象G=f(D)也是一個區(qū)域.注 定理7.1可以推廣成這樣的形式:“w=f(z)在擴充z平面的區(qū)域D內(nèi)除可能有極點外處處解析,且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)為擴充z平面上的區(qū)域.證: 因f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉,必f(z)在D內(nèi)不恒為常數(shù).定理7.2 設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則D的象G=f(D)也是一個區(qū)域. 結(jié)合定理7.

4、2,合本定理條件的解析變換w=f(z)將z0的一個充分小的鄰域內(nèi)變成w0=f(z0)的一個曲邊鄰域. 定理7.3 設(shè)函數(shù)w=f(z)在點z0解析,且f (z0)0,則f(z)在z0的一個鄰域內(nèi)單葉解析.7.1.2 解析變換的保角導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)w=f(z)于區(qū)域D內(nèi)解析,z0D,在點z0有導(dǎo)數(shù)通過z0任意引一條有向光滑曲線C:z=z(t)(t0tt1),z0=z(t0).因此C在z0有切線,就是切向量,經(jīng)變換w=f(z) 的參數(shù)方程應(yīng)為 則且必存在它的傾角為Cx0yzw=f(z)uv0wz0w0C之象曲線Cx0yzz0z0+z圖7.1由定理7.3及第三章習(xí)題(一)13, 在點w0=w(t0)的

5、鄰域內(nèi)w=f(z)是光滑的.又由于故 在w0=f(z0)也有, uv0ww0w0+w設(shè)其傾角為，則且就是切向量,切線(7.2)說明:象點間無窮小距離與原象點間的如果我們假定x軸與u軸,y軸與v軸的正方向相同,而且將原曲線切線的正方向與變換后象曲線的切線正方向間的夾角,理解為原曲線經(jīng)過變換后的旋轉(zhuǎn)角,則：(7.1)說明:象曲線 在點w0=f(z0)的切線正向,可由原曲線C在點z0的切線正向旋轉(zhuǎn)一個角度argf(z0)得出：argf(z0)僅與z0有關(guān),而與經(jīng)過Z0的曲線C的選擇無關(guān),稱為變換w=f(z)在點z0的旋轉(zhuǎn)角導(dǎo)數(shù)輻 角的幾何意義.無窮小距離之比的極限是R=|f(z0)|,它僅與z0有關(guān)

6、,而與過z0的曲線C之方向無關(guān),稱為變換w=f(z)在點z0的伸縮率.這也就是導(dǎo)數(shù)模的幾何意義. 上面提到的旋轉(zhuǎn)角與C的選擇無關(guān)的這個性質(zhì),稱為旋轉(zhuǎn)角不變性;伸縮率與C的方向無關(guān)這個性質(zhì),稱為伸縮率不變性. 從幾何意義上看:如果忽略高階無窮小,伸縮率不變性就表示w=f(z)將z=z0處無窮小的圓5變成w=w0處的無窮小的圓,其半徑之比為|f(z)|. 上面的討論說明:解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不為零的地方具有旋轉(zhuǎn)角不變性與伸縮率不變性.解反之放大.經(jīng)點z0的兩條有向曲線C1,C2的切線方向所構(gòu)成的角稱為兩曲線在該點的夾角. 定義7.1 若函數(shù)w=f(z)在點z0的鄰域內(nèi)有定義,且在點z0具有: (1)伸縮

7、率不變性; (2)過z0的任意兩曲線的 夾角在變換w=f(z)下,又保持方向;則稱函數(shù)w=f(z)在點z0是保角的.或稱w=f(z)在點z0是保角變換.如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處都是保角的,則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的,或稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角變換. 定理7.4 如w=f(z)在區(qū)域 D內(nèi)解析,則它在導(dǎo)數(shù)不為零的點處是保角的. 推論7.5 如w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的.(由定理6.11,在D內(nèi)f(z)0.) 7.1.3 解析變換的保形性 定義7.2 如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是單葉且保角的,則稱此變換w=f(z)在D內(nèi)是保形的,也稱它為

8、D內(nèi)的保形變換. 定理7.6 設(shè)w=f(z)在 區(qū)域D內(nèi)單葉解析.則 (1)w=f(z)將D保形變換成區(qū)域G=f(D). (2)反函數(shù) 在區(qū)域G內(nèi)單葉解析,且證 (1)由推論7.2G是區(qū)域,由推論7.5及定義7.2,w=f(z)將D保形變換成G. (2)由定理6.11,f(z0)0(z0D),又因w=f(z)是D到G的單葉滿變換,因而是D到G的一一變換.于是,當(dāng)ww0時,zz0,即反函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)單葉.故 證 (1)由推論7.2G是區(qū)域,由推論7.5及定義7.2,w=f(z)將D保形變換成G. (2)由定理6.11,f(z0)0(z0D),又因w=f(z)是D到G的單葉滿變換,因而是D到G的一一變換.于是,當(dāng)ww0時,zz0,即反函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)單葉.故由假設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解