數(shù)的概念數(shù)學(xué)教案

1、; i 的必要性和作用 ;理; i 的必要性和作用 ;理解 i 的性質(zhì) . ; ;然后說明， 數(shù)集的每一次i 及其性質(zhì)，接著，將數(shù)的范教學(xué)目標(biāo)(1)了解數(shù)的概念發(fā)展的過程和動力(2)了解引進(jìn)虛數(shù)單位(3)正確對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系(4)了解數(shù)系從自然數(shù)到有理數(shù)到實數(shù)再到復(fù)數(shù)擴(kuò)充的基本思想 . 教學(xué)建議1.教材分析(1)知識結(jié)構(gòu)首先簡明扼要地對已經(jīng)學(xué)過的數(shù)集因生產(chǎn)與科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充的過程作了概括擴(kuò)充，對數(shù)學(xué)學(xué)科本身來說，也解決了原有數(shù)集中某種運算不是永遠(yuǎn)可以實施的矛盾，使得某些代數(shù)方程在新的數(shù)集中能夠有解。從而引出虛數(shù)單位圍擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，并指出復(fù)數(shù)后來由于在科學(xué)技術(shù)中得到應(yīng)

2、用而進(jìn)一步發(fā)展。從實際生產(chǎn)需要推進(jìn)數(shù)的發(fā)展自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)無理數(shù)從解方程的需要推進(jìn)數(shù)的發(fā)展負(fù)數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)虛數(shù)(2)重點、難點分析- 1 - ;為了表示具有相反意義;由于測量的需要產(chǎn)生了有理數(shù)(如正方形對角線的長度與邊長的比值(現(xiàn)在是實數(shù)集 )的性質(zhì)，;由于;為了表示具有相反意義;由于測量的需要產(chǎn)生了有理數(shù)(如正方形對角線的長度與邊長的比值(現(xiàn)在是實數(shù)集 )的性質(zhì)，;由于)的從正整數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，從整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)，從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)，數(shù)的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的動力來自兩個方面。解決實際問題的需要由于計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)的量的需要產(chǎn)生了整數(shù)表示量與量的比值需要產(chǎn)生了無理數(shù) (既無限不循環(huán)小數(shù)

3、 )。解方程的需要。為了使方程有解， 就引進(jìn)了負(fù)數(shù) ;為了使方程有解， 就要引進(jìn)分?jǐn)?shù) ;為了使方程有解，就要引進(jìn)無理數(shù)。引進(jìn)無理數(shù)后，我們已經(jīng)能使方程永遠(yuǎn)有解，但是，這并沒有徹底解決問題，當(dāng)時，方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解。為了使方程 ()有解，就必須把實數(shù)概念進(jìn)一步擴(kuò)大，這就必須引進(jìn)新的數(shù)。(二)注意數(shù)的概念在擴(kuò)大時要遵循的原則第一，要能解決實際問題中或數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾?，F(xiàn)在要解決的就是在實數(shù)集中，方程無解這一矛盾。第二，要盡量地保留原有數(shù)集特別是它的運算性質(zhì)。(三)正確確認(rèn)識數(shù)集之間的關(guān)系- 2 - 0 的循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)”每一次. ; ; . . . 0 的循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)”每一次. ;

4、; . . . 就是分?jǐn)?shù)集 . “循環(huán)節(jié)不為有理數(shù) = 分?jǐn)?shù) = 循環(huán)小數(shù)，實數(shù) = 小數(shù) . 自然數(shù)集 N、整數(shù)集 Z、有理數(shù)集 Q、實數(shù)集 R、復(fù)數(shù)集 C 之間有如下的包含關(guān)系：2.教法建議(1)注意知識的連續(xù)性： 數(shù)的發(fā)展過程是漫長的，發(fā)展都來自于生產(chǎn)、生活和計算等需要，所以在教學(xué)時要注意使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)的發(fā)展的兩個動力(2)創(chuàng)造良好的課堂氣氛： 由于本節(jié)課要了解擴(kuò)充實數(shù)集的必要性，所以，教師可以多向?qū)W生介紹一些數(shù)的發(fā)展過程中的一些科學(xué)史，課堂學(xué)習(xí)的氣氛可以營造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。數(shù)的概念的發(fā)展教學(xué)目的1.使學(xué)生了解數(shù)是在人類社會的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，了解虛數(shù)產(chǎn)生

5、歷史過程2.理解并掌握虛數(shù)單位的定義及性質(zhì)3.掌握復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的分類教學(xué)重點虛數(shù)單位的定義、性質(zhì)及復(fù)數(shù)的分類- 3 - . .對于復(fù)數(shù) (a、b. .對于復(fù)數(shù) (a、b 都是實數(shù) );當(dāng)時叫虛數(shù)，當(dāng)時，叫做純虛數(shù).可虛數(shù)單位的性質(zhì) . 教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入原始社會，由于計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)的概念，隨著文字的產(chǎn)生和發(fā)展，出現(xiàn)了記數(shù)的符號，進(jìn)而建立了自然數(shù)的概念。自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集為了表示具有相反意義的量引進(jìn)了正負(fù)數(shù)以及表示沒有的零，這樣將數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集有些量與量之間的比值，如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結(jié)果，無法用有理數(shù)表示，為解決這種矛盾，人們又引進(jìn)了無理數(shù)，有理數(shù)和無

6、理數(shù)合并在一起，構(gòu)成實數(shù)集. 數(shù)的概念是人類社會的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，數(shù)學(xué)理論的研究和發(fā)展也推動著數(shù)的概念的發(fā)展，數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代社會生活和科學(xué)技術(shù)時刻離不開的科學(xué)語言和工具. 二、新課教學(xué)(一)虛數(shù)的產(chǎn)生我們知道，在實數(shù)范圍內(nèi)，解方程是無能為力的，只有把實數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集才能解決來說，當(dāng)時，就是實數(shù)- 4 - ? (1501 1576) 在 1545 ? (1501 1576) 在 1545 年10 分成兩部分，40 時，他把答案寫成，盡管他認(rèn)為和這40.給出“虛數(shù)”(1596 1650) ，他在幾何. 于是引起了數(shù)學(xué)界的一.德國數(shù)學(xué)家菜不尼茨.瑞士數(shù).法國數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾的事，那么，

7、歷史上是如何引進(jìn)虛數(shù)的呢16 世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)發(fā)表的重要的藝術(shù) 一書中， 公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為 “卡當(dāng)公式” .他是第一個把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把使它們的乘積等于兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把 10 分成了兩部分，并使它們的乘積等于這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾學(xué)(1637 年發(fā)表 )中使“虛的數(shù) 與“實的數(shù)”相對應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星虛數(shù)，片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)(1664 1716) 在 1702 年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所， 它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”學(xué)大師歐拉

8、 (1707 1783) 說：“一切形如，習(xí)的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因為它們所表示的是負(fù)數(shù)的平方根.對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻 .”然而，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地- 5 - (a、b 都).法國數(shù)學(xué)并且是i 來表示 -1 的平i 作為虛數(shù)的單位 .“虛數(shù)”實際上不是.挪威的測量學(xué)家未塞爾. .在直角坐標(biāo)系中， (a、b 都).法國數(shù)學(xué)并且是i 來表示 -1 的平i 作為虛數(shù)的單位 .“虛數(shù)”實際上不是.挪威的測量學(xué)家未塞爾. .在直角坐標(biāo)系中， 橫軸上取對

9、b 的點 B，并過這兩點C 就表示復(fù)數(shù) .象這樣，后來又稱“高斯.統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式算規(guī)則對虛數(shù)進(jìn)行運算，那么它的結(jié)果總是的形式是實數(shù) )(說明：現(xiàn)行教科書中沒有使用記號而使用家棣莫佛 (1667 1754) 在 1730 年發(fā)現(xiàn)公式了， 這就是著名的探莫佛定理 .歐拉在 1748 年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，他在微分公式 (1777 年)一文中第一次用方根，首創(chuàng)了用符號想象出來的，而它是確實存在的(1745 1818) 在 1779 年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視德國數(shù)學(xué)家高斯 (1777 1855) 在 1806 年公布了虛數(shù)的圖象

10、表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示應(yīng)實數(shù) a 的點 A，縱軸上取對應(yīng)實數(shù)引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點由各點都對應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”平面” .高斯在 1831 年，用實數(shù)組 (a，b) 代表復(fù)數(shù)，并建立了復(fù)數(shù)的某些運算，使得復(fù)數(shù)的某些運算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化” .他又在 1832 年第一次提出了 “復(fù)數(shù)” 這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)一對應(yīng)，擴(kuò)展為平面- 6 - .高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一對應(yīng)的關(guān).至此，復(fù)數(shù)理論才比較完. 200 年的幽靈虛數(shù)揭.虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，. . 原有的加.高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一對應(yīng)的關(guān).至此，復(fù)數(shù)理論才比較完. 200 年的幽靈虛數(shù)揭.虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，. . 原有的加、 乘運算律仍然而且還看作是一種向量，系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法整和系統(tǒng)地建立起來了經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵從而實數(shù)集才