定積分的換元法和分部積分法解析課件

1、第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法內(nèi)容提要一、定積分的換元法二、定積分分部積分法三、定積分的常用公式重點(diǎn)、難點(diǎn)：定積分的換元法和分部積分法教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)手段：多媒體課件和面授相結(jié)合教學(xué)課時(shí)：6課時(shí) 指導(dǎo)思想：由牛頓萊布尼茲公式，求解 只要利用不定積分，先求出 的一個(gè)原函數(shù) ，再求出 即可。我們知道，某些不定積分的求解過(guò)程還是很復(fù)雜或煩繁瑣的，有必要找到一個(gè)簡(jiǎn)單一些的計(jì)算方法，定積分的換元法和分部積分法，就是在不定積分的換元法和分部積分法的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)化了的計(jì)算方法。定理：設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，變換 滿足：（1）（2）在區(qū)間 上， 單調(diào)且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有上式稱為定積分的換元公式一、定積

2、分的換元法證明： 在 上連續(xù) 的原函數(shù)存在，設(shè)為 則有由牛頓萊布尼茲公式又 在 上單調(diào)，故 在 上有定義，且所以 也是 的一個(gè)原函數(shù)由牛頓萊布尼茲公式，有 因此 例1、計(jì)算 解：設(shè) ，則 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí) ； 當(dāng)t從1變到2時(shí)， 單調(diào)地從0變到3，于是由定積分的換元公式，得 由例1可見，不定積分的換元法與定積分的換元法的區(qū)別在于：不定積分的換元法在求得關(guān)于新變量t的積分后，必須代回原變量x，而定積分的換元法在積分變量由x換成t的同時(shí)，其積分限也由 和 相應(yīng)地?fù)Q成 和 ，在完成關(guān)于變量t的積分后，直接用t的上下限 和 代入計(jì)算定積分的值，而不必代回原變量。例2、求解：設(shè) 當(dāng) 時(shí)， ； 時(shí)， 于是

3、例3、設(shè) 求解：設(shè) 則 當(dāng) 時(shí) ；當(dāng) 時(shí) ， 于是換元公式也可以反過(guò)來(lái)使用，即這時(shí)通常不寫出中間變量t，而寫作 注意這里積分上下限不作變換，計(jì)算更為簡(jiǎn)便。例4 求解 可見，這種計(jì)算方法對(duì)應(yīng)于不定積分的第一換元法，即湊微分法。 二、定積分的分部積分法設(shè)u(x)和v(x)在區(qū)間a,b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分運(yùn)算法則，有 移項(xiàng)得 兩邊在區(qū)間a,b上積分，得因 或 上述公式稱為定積分的分部積分公式。 例5 求 解 可見，定積分的分部積分法，本質(zhì)上是先利用不定積分的分部積分法求出原函數(shù)，再用牛頓萊布尼茲公式求得結(jié)果，這兩者的差別在于定積分經(jīng)分部積分后，積出部分就代入上、下限，即積出一步代一步，不必等到最后

4、一起代。 例6 求定積分 解 例7 求定積分 解 先換元，設(shè) 則 dx=2udu,當(dāng)u=0時(shí)，x=0,u=1時(shí)，x=1.于是， 三、定積分的幾個(gè)常用公式1 設(shè)f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間-a,a,上可積，則 （1）當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)， （ 2）當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)， 證 由定積分的性質(zhì)3，有 對(duì)積分 則dx=-dt, 當(dāng)x=-a 時(shí)，t=a,當(dāng)x=0時(shí)t=0, 于是從 從而 當(dāng) f(x)為奇函數(shù)時(shí)，f(-x)+f(x)=0,因此當(dāng) f(x)為偶函數(shù)時(shí)，f(-x)=f(x)，得 例8 計(jì)算下列定積分 （1） （2） 解 （1）因?yàn)閒(x)=sin7x在 上為奇函數(shù)，所以 (2)在 中，令f(x)= ，因?yàn)?f(-x)=所以f(x)在 上為奇函數(shù)，于是2、設(shè)f(x)是以T為周期的周期函數(shù)，且可積，則對(duì)任一實(shí)數(shù)a，有證 由定積分性