專題08＋含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題解題規(guī)律（文）

1、PAGE32專題08含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題解題規(guī)律一知識點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)C_C為常數(shù);_；2_；eqblcrcavs4alco1f1,_；eqr_2初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式n_；sin_；cos_；e_；a_；ln_；loga_5導(dǎo)數(shù)的運算法則1fg_；2fg_；3eqblcrcavs4alco1ff（）,g（）_6復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1對于兩個函數(shù)yfu和ug，如果通過變量u，y可以表示成的函數(shù)，那么稱這兩個函數(shù)函數(shù)yfu和ug的復(fù)合函數(shù)為yfg（二）構(gòu)造函數(shù)例2已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng),為兩個不相等的正數(shù)，證明：【答案】（1）時，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；時，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在

2、區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；（2）見解析【解析】1求出，分兩種種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）設(shè)，原不等式等價于，令，則原不等式也等價于即設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，從而可得結(jié)論【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，若，則在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若，令，得則當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)（2）當(dāng)時，不妨設(shè)，則原不等式等價于，令，則原不等式也等價于即下面證明當(dāng)時，恒成立設(shè)，則，故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，即，所以【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明，屬于難題不等式證明問題是近年高考命題的熱點，利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法

3、有兩個，一是比較簡單的不等式證明，不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點，結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形，并運用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明練習(xí)1已知函數(shù)（1）證明:有兩個零點；（2）已知，若,使得，試比較與的大小【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】試題分析：1在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的最值情況確定零點個數(shù)；2由，可得：，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又在上是增函數(shù)，即試題解析：（1）據(jù)題知，求導(dǎo)得：令，有；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，有；令，有故在和各有1個零點有兩個

4、零點（2）由，而令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，又在上是增函數(shù)，即（三）極值點偏移例3已知函數(shù)其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，R1討論函數(shù)的單調(diào)性；2當(dāng)函數(shù)有兩個零點時，證明：【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題。（1）求導(dǎo)數(shù)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性。（2）根據(jù)題意將證明的問題轉(zhuǎn)化為證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可。試題解析：（1）解：。當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增。當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增（2）證明：當(dāng)時，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增

5、，不存在兩個零點。所以。設(shè)函數(shù)的兩個零點為，則，設(shè)，解得，所以，要證，只需證，設(shè)設(shè)單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故練習(xí)1已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）已知存在兩個極值點，令，若，求的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求得單調(diào)區(qū)間（2）將變形為，利用韋達(dá)將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)，求得最值，即可得到的取值范圍當(dāng)時，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減當(dāng)時，在和上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增（2），則，由（1）可知，且則，從而令，則因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，則，即因為，即，所以，即的取值范圍為【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值

6、的關(guān)系，以及函數(shù)的能成立的問題，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運算能力，屬于難題（四）多變量問題例4已知函數(shù)（），（）（）求的單調(diào)區(qū)間；（）求證：1是的唯一極小值點；（）若存在，滿足，求的取值范圍（只需寫出結(jié)論）【答案】1單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）見解析（3）【解析】試題分析：（）求出，求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（）先求得（），可得，又可證明在定義域內(nèi)遞增，即可證明是g的唯一極小值點；（）令兩函數(shù)的值域有交集即可（）因為令，得因為，所以當(dāng)變化時，的變化情況如下：極大值故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為（）證明：（），設(shè)，則故在是單調(diào)遞增函數(shù)，又，故方程只有唯

7、一實根當(dāng)變化時，的變化情況如下：1極小值故在時取得極小值，即1是的唯一極小值點（）（五）與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)問題例5已知函數(shù)（）1若，求函數(shù)的極大值；2若時，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，對其求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，故而可得其極值；（2）對求導(dǎo)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，不等式成立；當(dāng)時，對其進(jìn)行二次求導(dǎo)，可得恒成立，單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在定理可得有唯一零點，進(jìn)而可得當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，即不恒成立；試題解析：（1）時，當(dāng)，時，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，取得極大值，（2）當(dāng)，即時，所以單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，所以單調(diào)遞增，所以有唯一零點，記

8、為，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，即不恒成立；綜上所述，的取值范圍是練習(xí)1已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為1求的值2求函數(shù)在值域【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由已知切線的方程可得的方程組，解方程即可得到所求；（2）求得的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可得到函數(shù)在值域試題解析：（1）為），又，解得（2）由（1）知，函數(shù)在上遞增，函數(shù)在上的值域為（六）構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)例6設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)，對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）無極大值；（2）【解析】試題分析：1當(dāng)時，定義域為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)沒有極大值2由

9、已知，構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，分類討論可得：當(dāng)時，當(dāng)時，綜上，由得：（2）由已知，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，所以，整理：設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以最大值是當(dāng)時，所以，整理：設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以最大值是，綜上，由得：練習(xí)1已知函數(shù)在處的切線斜率為（1）若函數(shù)在上單調(diào)，求實數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時，若存在不等的使得，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】1先根據(jù)切線的斜率求出，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)，得到恒成立，求出b的最大值2轉(zhuǎn)化為存在不等的，且使得，進(jìn)而得到0【詳解】（1）函數(shù)在處的切線斜率為解得所以，故因為函數(shù)在上單調(diào)故或在上恒成立顯然即在上不恒成立所以恒成

10、立即可因為可知在上單減，單增故，所以實數(shù)的最大值為1（2）當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增不妨設(shè)，使得即為存在不等的，且使得其否定為：任意，都有即：函數(shù)在上單調(diào)遞增由（1）知：即所以若存在不等的使得實數(shù)的取值范圍為（七）討論參數(shù)求參數(shù)例7已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）（）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；（）若函數(shù)有兩個零點，試求的取值范圍；（）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】12（3）【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，根據(jù)這兩點可以寫出切線方程。（2）對函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性的研究，分，,三種情況討論單調(diào)性，研究函數(shù)的圖像變換趨勢，得到參數(shù)方位。（3）原不等式等價于恒成立，對右側(cè)函數(shù)

11、研究單調(diào)性得最值即可。解析：（）當(dāng)時，所以函數(shù)在點處的切線方程為（）函數(shù)的定義域為，由已知得當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點；當(dāng)，因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又，因為，所以，所以，所以取，顯然且所以，由零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)有兩個零點當(dāng)時，由，得，或當(dāng)，則當(dāng)變化時，變化情況如下表：注意到，所以函數(shù)至多有一個零點，不符合題意當(dāng)，則，在單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個零點，不符合題意若，則當(dāng)變化時，變化情況如下表：注意到當(dāng)，時，所以函數(shù)至多有一個零點，不符合題意綜上，的取值范圍是（）當(dāng)時，即,令，則令，則當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增又，所以，當(dāng)時，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，即

12、，所以單調(diào)遞增，所以，所以點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分離參數(shù)法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，分類討論的能力，屬于較難的題利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略1構(gòu)造差函數(shù)根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)練習(xí)1設(shè)函數(shù)，（）證明：；（）若對所有的，都有，求實數(shù)的取值范圍【答案】（）見解析；（）【解析】試題分析：（）令，求導(dǎo)得單調(diào)性，進(jìn)而得，從而得證；（）記求兩次導(dǎo)得在遞增，又，進(jìn)而討論的正負(fù)

13、，從而得原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求最值試題解析：（）令，由在遞減，在遞增，即成立（）記，在恒成立，在遞增，又，當(dāng)時，成立，即在遞增，則，即成立；當(dāng)時，在遞增，且，必存在使得則時，即時，與在恒成立矛盾，故舍去綜上，實數(shù)的取值范圍是點睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（八）利用特值縮小范圍例8已知，其中為實常數(shù)，曲線在點處的切線的縱截距為，（其中是無理數(shù)）（1）求；（2）不等式對恒成立，求實數(shù)的最大值【答案】1;2實數(shù)的最大值為【解析】試題分

14、析：（1）根據(jù)曲線的切線的幾何意義得到切線方程為，由截距已知，可以求出參數(shù)值。（2）不等式恒成立求參變量分離可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，代入特值時，得到，現(xiàn)在驗證M的最大值可以是e,即可。再構(gòu)造函數(shù)，研究最值即可。（），曲線在處的切線方程為時，解得（）當(dāng)時，得到；下證當(dāng)時，不等式對恒成立設(shè)，則設(shè)，時，時，所以時，時，時，所以，結(jié)論成立；綜述：實數(shù)的最大值為點睛：這個題目考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的幾何意義，也考查了函數(shù)恒成立求參的問題。第二問的解決方法常見的是：變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，或者直接含參討論，研究函數(shù)最值；還有就是這個題目中用到的方法，先猜后證。練習(xí)1已知函數(shù)（1）當(dāng)a=5時，求的

15、單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個極值點,且，求取值范圍（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】1單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；2【解析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)，將函數(shù)存在極值問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根的分布情況進(jìn)行求解試題解析：（1）的定義域為，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）因為，令若有兩個極值點，則方程g=0有兩個不等的正根，所以,即舍或時，且，又，于是，則恒成立，在單調(diào)遞減，即，故的取值范圍為（九）分參法求參數(shù)例9已知函數(shù)1求在上的最小值；2若存在使得成立，求實數(shù)m的取值范圍【答案】1，；，；2【解析】1首先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，分類討論可得：

16、，；，；2原問題等價于，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)h的性質(zhì)可得實數(shù)m的取值范圍是試題解析：（1）令，解得，則時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減時，函數(shù)在單調(diào)遞增因此，函數(shù)取得極小值即最小值，時，則時，函數(shù)數(shù)取得極小值即最小值，綜上，；，2存在使得令，則令，則，可知時單調(diào)增，時單調(diào)減且，因此令，解得，可得是函數(shù)的極大值點，即最大值，實數(shù)m的取值范圍點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：1考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積

17、分相聯(lián)系2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值極值，解決生活中的優(yōu)化問題4考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（）=，g（）=1-a2（1）若函數(shù)f（）和g（）的圖象在=1處的切線平行，求a的值；（2）當(dāng)0，1時，不等式f（）g（）恒成立，求a的取值范圍【答案】1a=2a【解析】試題分析：（1）分別求出f（），g（）的導(dǎo)數(shù)，計算得到f（1）=g（1），求出a的值即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為1-a在01，恒成立，令h（）=，0，1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可試題解析：（1）f（）=，f（1）=-，g（）=-2a，g（1）=-2a，由題意

18、得：-2a=-，解得：a=；（2）當(dāng)0，1時，不等式f（）g（）恒成立，即1-a在0，1恒成立，令h（）=，0，1，則h（）=0，故h（）在0，1遞增，故h（）h（1）=，故1-a，解得：a練習(xí)2已知函數(shù)1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值【答案】1當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;22【解析】試題分析：1首先對函數(shù)求導(dǎo)，然后對參數(shù)分類討論可得當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;2將原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，考查函數(shù)的性質(zhì)可得整數(shù)的最小值是2試題解析：1，函數(shù)的定義域為當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，

19、令，則或舍負(fù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為2解法一：由得，原命題等價于在上恒成立，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，由，存在唯一，使，當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，時，又，則，由，所以故整數(shù)的最小值為2解法二：得，令，時，在上單調(diào)遞減，該情況不成立時，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，恒成立，即令，顯然為單調(diào)遞減函數(shù)由，且，當(dāng)時，恒有成立，故整數(shù)的最小值為2綜合可得，整數(shù)的最小值為2點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：1考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值極值，解決生活中的優(yōu)化問題4考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（十）任意存在問題例10函數(shù)（1）當(dāng)，時，求的