北京市東城區(qū)2023年高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

1、2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知過點且與曲線相切的直線的條數(shù)有（ ）A0B1C2D32已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD3如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（ ）ABCD4

2、某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.A互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的C互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多D互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）ABCD6若滿足，且目標函數(shù)的最大值為2，則的最小值為( )A8B4CD67已知集合，集合，則等于（ ）ABCD8已知復(fù)數(shù)滿足，且，則（ ）A3BC

3、D9已知甲、乙兩人獨立出行，各租用共享單車一次（假定費用只可能為、元）甲、乙租車費用為元的概率分別是、，甲、乙租車費用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為（ ）ABCD10若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限11如圖，拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，若直線與以為圓心，線段（為坐標原點）長為半徑的圓交于，兩點，則關(guān)于值的說法正確的是（ ）A等于4B大于4C小于4D不確定12已知函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n，兩個不

4、同平面、，有下列四個命題：若且，則；若且，則；若且，則；若，且，則.其中正確命題的序號為_.14在矩形中，為的中點，將和分別沿，翻折，使點與重合于點.若，則三棱錐的外接球的表面積為_.15已知向量，滿足，且已知向量，的夾角為，則的最小值是_16記數(shù)列的前項和為，已知，且.若，則實數(shù)的取值范圍為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）據(jù)人民網(wǎng)報道，美國國家航空航天局（NASA）發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計，中國新增綠化面積的來自于植樹造林，下表是中國十個地區(qū)在去年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).（造林總面積為

5、人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和）單位：公頃地區(qū)造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新內(nèi)蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629

6、寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）請根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；（2）在這十個地區(qū)中，任選一個地區(qū)，求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率；（3）在這十個地區(qū)中，從退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中，任選兩個地區(qū)，記X為這兩個地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.18（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心的軌跡為，過作斜率為的直線與交于兩點，過分別作的切線，兩切線的交點為，直線與交于兩點（1）證明：點始終在直線上且；（

7、2）求四邊形的面積的最小值19（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，求的極值；（2）證明：. （參考數(shù)據(jù)： ）20（12分）2018年反映社會現(xiàn)實的電影我不是藥神引起了很大的轟動，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當務(wù)之急為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費用（百萬元）和銷量（萬盒）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：研發(fā)費用（百萬元）2361013151821銷量（萬盒）1122.53.53.54.56（1）求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01，并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時，可用線性回歸方程模型擬合）；（2）該藥企準備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型，并對其進行兩次檢測，當?shù)谝淮螜z測

8、合格后，才能進行第二次檢測第一次檢測時，三類劑型，合格的概率分別為，第二次檢測時，三類劑型，合格的概率分別為，兩次檢測過程相互獨立，設(shè)經(jīng)過兩次檢測后，三類劑型合格的種類數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望附：（1）相關(guān)系數(shù)（2），21（12分）已知橢圓的短軸的兩個端點分別為、，焦距為（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個不同的交點、，設(shè)為直線上一點，且直線、的斜率的積為證明：點在軸上22（10分）某校共有學(xué)生2000人，其中男生900人，女生1100人，為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間，采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時間（單位：小時）.（1）應(yīng)抽查男生與女生各多少人？（2）根

9、據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表：時間（小時）0,1(1,2(2,3(3,4(4,5(5,6頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時，請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”？男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附：K2.P（K2k0）0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在

10、每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】設(shè)切點為，則，由于直線經(jīng)過點，可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關(guān)于的方程，從而可求方程【詳解】若直線與曲線切于點，則，又，解得，過點與曲線相切的直線方程為或，故選C【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題2B【解析】由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是故選

11、：B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中等題.3B【解析】分別取、的中點、，連接、，利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，且、分別為、的中點，所以，所以，所以二面角的平面角為，則，且，所以，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線

12、與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內(nèi)，如下圖所示，由圖形可知，在中，所以，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題4D【解析】根據(jù)兩個圖形的數(shù)據(jù)進行觀察比較，即可判斷各選項的真假【詳解】在A中，由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%，所以是正確的；在B中，由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到：，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的，所以是正確的；在C中，由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90

13、后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到：，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運營崗位的人數(shù)90后比80后多，所以是正確的；在D中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為，所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多故選：D.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定，以及統(tǒng)計圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.5D【解析】利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因為，由，解得，即函數(shù)的增區(qū)間為，所以當時，增區(qū)間的一個子集為.故選D.【點睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點在于把握正弦

14、函數(shù)的單調(diào)性，同時對于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡,難度較易.6A【解析】作出可行域，由，可得.當直線過可行域內(nèi)的點時，最大，可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域，如圖所示由，可得.平移直線，當直線過可行域內(nèi)的點時，最大，即最大，最大值為2.解方程組，得.，當且僅當，即時，等號成立.的最小值為8.故選：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查基本不等式，屬于中檔題.7B【解析】求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎(chǔ)題目.8C【解析】設(shè),則,利用和求得,

15、即可.【詳解】設(shè),則,因為,則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用,考查共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用.9B【解析】甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨立事件的概率公式計算即得【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是，甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為故選：B【點睛】本題考查獨立性事件的概率掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ)10D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，化簡得到，再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示，即可求解，得到答案【詳解】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，可得，所對應(yīng)的點為位于第四象限.故選D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，其中解答中熟記

16、復(fù)數(shù)的運算法則，準確化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題11A【解析】利用的坐標為，設(shè)直線的方程為，然后聯(lián)立方程得，最后利用韋達定理求解即可【詳解】據(jù)題意，得點的坐標為.設(shè)直線的方程為，點，的坐標分別為，.討論：當時，；當時，據(jù)，得，所以，所以.【點睛】本題考查直線與拋物線的相交問題，解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程，屬于基礎(chǔ)題12B【解析】構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù),，即函數(shù)為減函數(shù),，則不等式等價為，則不等式的解集為,即的解為，由得或，解得或,故不等式的解集為.故選:.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)

17、性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,是難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷【詳解】若且，的位置關(guān)系是平行、相交或異面，錯；若且，則或者，錯；若，設(shè)過的平面與交于直線，則，又，則，正確；若，且，由線面垂直的定義知，正確故答案為：【點睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間的位置關(guān)系，掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ)14.【解析】計算外接圓的半徑，并假設(shè)外接球的半徑為R，可得球心在過外

18、接圓圓心且垂直圓面的垂線上，然后根據(jù)面，即可得解.【詳解】由題意可知，所以可得面，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，即，設(shè)三棱錐外接球的半徑，因為外接球的球心為過底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用，屬于中檔題.15【解析】求的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以AB為直徑的圓到點O的最小距離，由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示，設(shè)，由題，得，又，所以，則點C在以AB為直徑的圓上，取AB的中點為M，則，設(shè)以AB為直徑的圓與線段OM的交點為E，則的最小值是，因為，又，所以的最小值是.故答案為：【點睛】本題主要考查向量的綜合應(yīng)用問題

19、，涉及到圓的相關(guān)知識與余弦定理，考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.16【解析】根據(jù)遞推公式，以及之間的關(guān)系，即可容易求得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，求得其最大值，則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當時，解得.所以.因為，則，兩式相減，可得，即，則.兩式相減，可得.所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以，則.令，則.當時，數(shù)列單調(diào)遞減，而，故，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式，涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷，屬綜合困難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省，人工造林面

20、積與總面積比最小的地區(qū)為青海??；（2）；（3）分布列見詳解，數(shù)學(xué)期望為【解析】（1）通過數(shù)據(jù)的觀察以及計算人工造林面積與造林總面積比值，可得結(jié)果.（2）通過數(shù)據(jù)的觀察以及計算新封山育林面積與造林總面積比值，得出比值超過的地區(qū)個數(shù)，然后可得結(jié)果.（3）計算退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中選兩個地區(qū)總數(shù)，退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù)為，列出所有取值并計算相應(yīng)概率，然后可得結(jié)果.【詳解】（1）人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海省.（2）記事件A：在這十個地區(qū)中，任選一個地區(qū)，該地區(qū)新封山育林面積占總面積的比值超過根據(jù)數(shù)據(jù)可知：青海地區(qū)人工造林

21、面積占總面積比超過，則（3）退化林修復(fù)面積超過一萬公頃有6個地區(qū)：內(nèi)蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆，其中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃有3個地區(qū)：內(nèi)蒙、河北、重慶，所以X的取值為0，1，2所以，隨機變量X的分布列如下：【點睛】本題考查數(shù)據(jù)的處理以及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，審清題意，細心計算，屬基礎(chǔ)題.18（1）見解析（2）最小值為1【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，判斷出的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡的方程.設(shè)出兩點的坐標，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，由此求得點的坐標.寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，根據(jù)韋達定理求得點的坐標，并由此判斷出始終在直線上，且.（2）設(shè)直線的傾斜角為，

22、求得的表達式，求得的表達式，由此求得四邊形的面積的表達式進而求得四邊形的面積的最小值【詳解】(1)動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心到定點和定直線的距離相等，動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，軌跡的方程為：，設(shè)，直線的方程為：，即：，同理，直線的方程為：，由可得：， 直線方程為：，聯(lián)立可得：， ，點始終在直線上且；（2）設(shè)直線的傾斜角為，由（1）可得：， 四邊形的面積為：，當且僅當或，即時取等號，四邊形的面積的最小值為1.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中四邊形面積的最值的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.19（1）見解析；（1）見證明【解析】

23、（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（1）問題轉(zhuǎn)化為證exx1xlnx10，根據(jù)xlnxx（x1），問題轉(zhuǎn)化為只需證明當x0時，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可【詳解】（1），當，當，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.（1）要證f（x）+1exx1即證exx1xlnx10，先證明lnxx1，取h（x）lnxx+1，則h（x），易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+）遞減，故h（x）h（1）0，即lnxx1，當且僅當x1時取“”，故xlnxx（x1），exx1xlnx

24、ex1x1+x1，故只需證明當x0時，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），則k（x）ex4x+1，令F（x）k（x），則F（x）ex4，令F（x）0，解得：x1ln1，F(xiàn)（x）遞增，故x（0，1ln1時，F(xiàn)（x）0，F(xiàn)（x）遞減，即k（x）遞減，x（1ln1，+）時，F(xiàn)（x）0，F(xiàn)（x）遞增，即k（x）遞增，且k（1ln1）58ln10，k（0）10，k（1）e18+10，由零點存在定理，可知x1（0，1ln1），x1（1ln1，1），使得k（x1）k（x1）0，故0 xx1或xx1時，k（x）0，k（x）遞增，當x1xx1時，k（x）0，k（x）遞減，故k（x）的最小值是k（0）0或k（x1），由k（x1）0，得4x11，k（x1）1+x11（x11）（1x11），x1（1ln1，1），k（x1）0，故x0時，k（x）0，原不等式成立【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題20（1）0.98;可用線性回歸模型擬合（2）【解析】（1）根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出，代入相關(guān)系數(shù)公式求出，根據(jù)的大小來確定結(jié)果；（2）求出藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率，發(fā)現(xiàn)它們